高考数学 第一章课件1.2回归分析课件 新人教B版选修1-2 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2,回归分析,1.40,1.50,1.60,1.70,1.80,1.90,2.00,2.10,1.70,1.79,1.88,1.95,2.03,2.10,2.16,2.21,（一）线性回归直线方程的求法,例,1,研究某灌溉渠道水的流速,Y,与水深,x,之间是关系，测得一组数据如下：,水深,x,/,m,流速,Y,/(,m,s,),（,1,）求,Y,对,x,的回归直线方程；,（,2,）预测水深为,1.95,m,时水的流速是多少？,分析：从散点图可以直观地看出变量,x,与,Y,之间有无线性相关关系，为此把这,8,对数据在平面直角坐标系中，得到平面上,8,个点,.,由图可以看出，,x,与,Y,之间有近似的线性相关关系，或者说，可以用一个回归直线方程 来反映这种关系，这些是我们在必修,3,中学过的知识。,用什么方法求？,最小二乘法,:,利用最小二乘法可以得到 的计算公式为,由此得到的直线 就称为这对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程其中 分别为,a,，,b,的估计值，称为回归截距,称为回归系数，称为回归值,进一步观察这,8,个点，容易发现，它们并不是“严格地”在一条直线上。对于某个,x,i,，由上式能确定一个,一般地说，由于测量流速可能存在误差，或者受某些随机因素的影响，或者上面的回归方程本身就不够精确，与测得的数据,y,i,很可能不相等，,即,(,i,=1,，,2,，,，,8),，其中 是随机误差项。于是就有,(,i,=1,，,2,，,8),，这就是本题的线性模型。,从上述线性模型出法，我们可以求出,a,与回归系数,b,的估计值 ，使得全部误差 的平方和达到最小，当然，这是一种很好的估计，最后得到的求 的数学公式为,线性回归方程 中，的意义是：以 为基数，,x,每增加,1,个单位，,y,相应地平均增加 个单位,1.40,1.50,1.60,1.70,1.80,1.90,2.00,2.10,1.70,1.79,1.88,1.95,2.03,2.10,2.16,2.21,例,1,研究某灌溉渠道水的流速,Y,与水深,x,之间是关系，测得一组数据如下：,（,1,）求,Y,对,x,的回归直线方程；,（,2,）预测水深为,1.95,m,时水的流速是多少？,水深,x,/,m,流速,Y,/(,m,s,),解：（,1,）由上面的分析，可采用列表的方法计算,a,与回归系数,b,，,序号,x,y,x,2,xy,1,1.40,1.70,1.96,2.380,2,1.50,1.79,2.25,2.685,3,1.60,1.88,2.56,3.008,4,1.70,1.95,2.89,3.315,5,1.80,2.03,3.24,3.654,6,1.90,2.10,3.61,3.990,7,2.00,2.16,4.00,4.320,8,2.10,2.21,4.41,4.641,合计,14.00,15.82,24.92,27.993,Y,对于,x,的回归直线方程为,把,x,=1.95,代入，易得,计算结果表明，当水深为,1.95,m,时可以预测渠水的流速约为,2.12,m,/,s,.,（二）线性回归相关关系的检验,例,2,为了了解某地母亲身高,x,与女儿身高,Y,的相关关系，随机测得,10,对母女的身高如下表所示：,母亲身高,x,/,cm,159,160,160,163,159,154,159,158,159,157,女儿身高,Y,/,cm,158,159,160,161,161,155,162,157,162,156,试对,x,与,Y,进行一元线性回归分析，并预测当母亲身高为,161cm,时女儿的身高为多少？,分析：把这,10,对数据画出散点图如图所示：,可以看出,x,与,Y,之间有近似地线性关系关系。,散点图能帮助我们寻找线性关系关系，既直观又方便。只需一张坐标纸，把已知的成对数据标在直角坐标系中便可得到散点图。即使没有坐标纸，改用普通白纸也可以,.,因为我们并不要求把点标得十分准确，只要能看出这些点大致分布在某条直线附近就可以了。麻烦在于有时很难说这些点是不是分布在某条直线附近，如下图中的两个散点图，都很难下判断，右边那个图散布的那些点更像在一条曲线附近。,此外，假如不考虑散点图，按照例,1,给出的计算,a,与回归系数,b,的公式，我们可以根据一组成对的数据，求出一个回归直线方程。但它能不能反映这组成对数据的变化规律？如不能，这又有多少实际意义呢？,为了解决上述问题，我们有必要对,x,与,Y,作,线性相关检验,，简称,相关性检验,。,对于变量,x,与,Y,随机抽到的,n,对数据,(,x,1,，,y,1,),，,(,x,2,，,y,2,),，,，,(,x,n,，,y,n,),，检验统计量是样本相关系数,r,具有以下性质：,|,r,|1,，并且,|,r,|,越接近,1.,线性相关程度越强,，,|,r,|,越接近,0,，线性相关程度越弱,。,检验的步骤如下：,（1,）作统计假设：,x,与,Y,不具有线性相关关系,;,（,2,）根据小概率,0.05,与,n,2,在附表中查出,r,的一个临界值,r,0.05,；,（,3,）根据样本相关系数计算公式求出,r,的值；,（,4,）作统计推断，如果,|,r,|,r,0.05,，表明有,95%,的把握认为,x,与,Y,之间具有线性相关关系。,如果,|,r,|,r,0.05,，我们没有理由拒绝原来的假设。这时寻找回归直线方程是毫无意义的。,解：由以上分析，先对,x,与,Y,作相关性检验。,（,1,）作统计假设：,x,与,Y,不具有线性相关关系；,（,2,）由小概率,0.05,与,n,2=8,在附表中查得,r,0.05,=0.632,；,（,3,）,所以,（,4,）,|,r,|=0.710.632,，即,|,r,|,r,0.05,，所以有,95%,的把握认为,x,与,Y,之间具有线性相关关系，去求回归直线方程是有意义的。,回归系数,所以,Y,对,x,的回归直线方程是,回归系数,0.78,反映出当母亲身高每增加,1,cm,时女儿身高平均增加,0.78,cm,。可以解释为女儿身高不受母亲身高变化影响的部分。,当,x,=161,时，,也就是说当母亲的身高为,161,cm,时女儿的身高大致也接近,161,cm,。,例,3.,某市居民,19962003,年货币收入,x,与购买商品支出,Y,的统计资料如下表所示：,年份,1996,1997,1998,1999,2000,2001,2002,2003,货币收入,x,36,37,38,40,42,44,47,50,购买商品支出,Y,30.0,31.0,32.0,33.2,34.8,36.5,39.0,41.6,试对,x,与,Y,的关系进行相关性检验，如,x,与,Y,具有线性相关关系，求出,Y,对,x,的回归直线方程,(,结果保留,3,个有效数字,).,单位：亿元,解,：（,1,）画出散点图,(,单位：亿元,),（,2,）作统计假设：,x,与,Y,不具有线性相关关系,.,（,3,）由小概率事件,0.05,与,n,2=6,在附表中查得,r,0.05,=0.707,4,）使用计算器或计算机进行计算得,|,r,|=0.9090.707,，即,|,r,|,r,0.05,.,从而有,95%,的把握认为,x,与,Y,具有线性相关关系,.,（,5,）算出线性回归方程中的,a,和,b,得,a,=0.851,，,b,=0.812.,从而线性回归方程为,例,4.,某种书每册的成本费,Y,(,元,),与印刷册书,x,(,千册,),有关，经统计得到数据如下：,x,1,2,3,5,10,20,30,50,100,200,Y,10.15,5.52,4.08,2.85,2.11,1.62,1.41,1.30,1.21,1.15,检验每册书的成本费,Y,与印刷册书的倒数 之间是否具有线性相关关系，如有，求出,Y,对,x,的回归方程,.,分析：本例与前三个例子不同，是非线性回归分析问题。由于题目已给出了所要求的曲线类型，只要通过已知的,10,对样本数据，把,a,与,b,确定下来，就找到了描述,x,与,Y,相关关系的一条函数曲线。,在此我们特别指出，确定性关系（如公式、函数关系等）和相关关系之间并没有一条不可逾越的鸿沟。由于有试验误差、测量误差等存在，变量之间的确定性关系往往通过研究相关关系表现出来。反过来，在有些问题中，可以通过研究相关关系来深入了解变量变化的内在规律，从而找到它们的确定性关系。,解：首先作变量置换 ，得到,u,1,0.5,0.33,0.2,0.1,005,0.03,0.02,0.01,0.005,Y,10.15,5.52,4.08,2.85,2.11,1.62,1.41,1.30,1.21,1.15,然后做线性相关检验,作统计假设：,u,与,Y,不具有线性相关关系,.,2.,由小概率事件,0.05,与,n,2=8,在附表中查得,r,0.05,=0.632,3.,使用计算机进行计算,.,（,4,）,|,r,|=0.9980.632,，即,|,r,|,y,0.05,，从而有,95%,的把握认为,u,与,Y,之间具有线性相关关系。求,Y,对于,u,的回归直线方程有意义。,（,5,）计算可得,把,u,换回原来的变量，即,u,=,得到,这就是,Y对于,x,的回归方程,.,例,5,以下是收集到的新房屋的销售价格,y,和房屋的大小,x,的数据：,（,1,）画出数据的散点图；,（,2,）用最小二乘估计求回归直线方程，并在散点图上加上回归直线；,（,3,）此回归直线有意义吗？,解：,(1),数据的散点图见右图,（,2,）,=109,，,回归直线方程为,=1.8166,0.1962,x,（,3,）,y,与,x,的相关系数,查表，,n,2=3,时，临界值,r,0.05,=0.878,，由,r,r,0.05,知，变量,y,与,x,之间具有线性相关关系，回归直线是有意义的,练 习 题,1,设有一个回归方程为,=2,1.5,x,，则变量,x,增加一个单位时（）（,A,）,y,平均增加,1.5,单位 （,B,）,y,平均增加,2,单位 （,C,）,y,平均减少,1.5,单位 （,D,）,y,平均减少,2,单位,C,2,回归直线方程,=,a,bx,必定过点（,）,（,A,）（,0,，,0,）（,B,）（，,0,）（,C,）（,0,，）（,D,）（，）,D,3,回归直线方程的系数,a,，,b,的最小二乘估计,A,使函数,Q,(,a,，,b,),最小，,Q,函数指（）（,A,）（,B,）（,C,）（,D,）,4,下列说法中正确的是（）,A,任何两个变量都具有相关关系,B,人的知识与其年龄具有相关关系,C,散点图中的各点是分散的没有规律,D,根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的,B,5,若用水量,x,与某种产品的产量,y,的回归直线方程是,=2,x,1250,，若用水量为,50,k,g,时，预计的某种产品的产量是（）,A,1350,k,g,B,大于,1350,k,g,C,小于,1350,k,g,D,以上都不对,A,6,若变量,y,与,x,之间的相关系数,r,=,0.9362,，查表得到相关系数临界值,r,0.05,=0.8013,，则变量,y,与,x,之间（）,A,不具有线性相关关系,B,具有线性相关关系,C,它们的线性关系还要进一步确定,D,不确定,B,