辽宁地区高三数学函数的最大值与最小值课件 人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的最大值与最小值,一、复习与引入,1.,当函数,f(x,),在,x,0,处连续时,判别,f(x,0,),是极大,(,小,),值的方,法是,:,如果在,x,0,附近的左侧 右侧,那么,f(x,0,),是极大值,;,如果在,x,0,附近的左侧 右侧,那么,f(x,0,),是极小值,.,2.,导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充,分条件,.,极值只能在函数不可导的点或导数为零的点,取到,.,3.,在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值,.,二、新课,函数的最值,x,X,2,o,a,X,3,b,x,1,y,观察右边一个定义在区间,a,b,上的函数,y=,f(x,),的图象,.,发现图中,_,是极小值，,_,是极大值，在区间上的函数的最大值是,_,，最小值是,_,。,f(x,1,),、,f(x,3,),f(x,2,),f(b,),f(x,3,),问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出,f(x,3,),是最小值，而,f(b,),是最大值呢？,导数的应用,-,求函数最值,.,(2),将,y=f(x),的各极值与,f(a),、,f(b,)(,端点处,),比较,其中最大的一个为最大值，最小的,一个最小值,.,求,f(x),在,闭区间,a,b上的最值的步骤,(1),求,f(x),在区间,(,a,b,),内极值,(,极大值或极小值,),求函数的最值时,应注意以下几点,:,(1),函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念,.,求函数的最值时,应注意以下几点,:,(2),闭区间,a,b,上的连续函数一定有最值,.,开区间,(,a,b,),内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值,.,(3),函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值,(,极小值,),不一定就是最大值,(最小值,),但除端点外在区间内部的最大值,(,或最小值,),则一定是极大值,(,或极小值,).,(4),如果函数不在闭区间,a,b,上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较函数各导数为零的点与端点的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值,.,(5),在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,(,这样的函数称为单峰函数,),那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较,.,三、例题选讲,例,1:,求函数,y=x,4,-2x,2,+5,在区间,-2,2,上的最大值与最小值,.,解,:,令,解得,x=-1,0,1.,当,x,变化时,的变化情况如下表,x,-2,(-2,-1),-1,(-1,0),0,(0,1),1,(1,2),2,y,-,0,+,0,-,0,+,y,13,4,5,4,13,从上表可知,最大值是,13,最小值是,4.,例,2,、,函数,y,=,x,+3,x,9,x,在,4,4,上的最大值为,最小值为,.,分析,:,(1),由,f,(,x,)=3,x,+6,x,9=0,(2),区间,4,4,端点处的函数值为,f,(,4)=20,f,(4)=76,得,x,1,=3，,x,2,=1,函数值为,f,(,3)=27,f,(1)=,5,当,x,变化时，,y,、,y,的变化情况如下表：,x,-4,(-4,-3),-3,(-3,1),11,4),4,y,+,0,-,0,+,0,y,20,27,-,5,76,比较以上各函数值，,可知函数在,4,4,上的最大值为,f,(4)=76,，,最小值为,f,(1)=,5,求下列函数在指定区间内的最大值和最小值,:,练习,:,最大值,f,(,1)=3,，,最小值,f,(3)=,61,最大值,f,(3/4)=5/4,，,最小值,f,(,5)=,5+,设,函数,的最大值为,1,最小值为,求常数,a,b,.,解,:,令 得,x=0,或,a.,当,x,变化时,f(x,),的变化情况如下表,:,x,-1,(-1,0),0,(0,a),a,(a,1),1,f(x,),+,0,-,0,+,f(x,)1-3a/2+b,b,-a,3,/2+b,1-3a/2+b,由表知,当,x=0,时,f(x,),取得极大值,b,而,f(0)f(a),f(0),f(-1),f(1)f(-1).,故需比较,f(1),与,f(0),的大小,.,又,f(-1)-f(a)=(a+1),2,(a-2)/20,所以,f(x,),的最大值为,f(0)=b,故,b=1.,（,04,浙江文,21,）（,本题满分,12,分）,已知,a,为实数，,（,）求导数 ；,（,）若 ，求 在,-2,，,2,上的最大值和最小值；,（,）若 在（,-,，,-2,和,2,，,+,）上都是递增的，求,a,的取值范围。,例3,2,、求最大（最小值应用题的一般方法,:,(1),分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步,;,(2),确定函数定义域，并求出极值点,;,(3),比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，确定最值或最值点,.,1,、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来,:,首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质,;,其次，建立相应的数学模型,将应用问题转化为数学问题,再解,.,四、应用,例,1,、,在边长为,60cm,的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？,解,:,设箱底边长为,x,则箱高,h=(60-x)/2.,箱子容积,V(x,)=x,2,h=(60 x,2,-x,3,)/2(0 x60).,令,解得,x=0(,舍去,),x=40.,且,V(40)=,16000.,由题意可知,当,x,过小,(,接近,0),或过大,(,接近,60),时,箱子的容积很小,因此,16000,是最大值,.,答,:,当,x=40cm,时,箱子容积最大,最大容积是,16000cm,3,.,2,、若函数,f,(,x,),在定义域内,只有一个极值点,x,0,，,则不需与端点比较，,f,(,x,0,),即是所求的最大值或最小值,.,说明,1,、设出变量找出函数关系式；,(,所说区间的也适用于开区间或无穷区间,),确定出定义域；,所得结果符合问题的实际意义,h,r,例,2,、,要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值,V,，,怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？,解,:,设圆柱的高为,h,底半径为,r,则表面积,S=2,rh+2,r,2.,由,V=,r,2,h,得,则,令,解得,从而,即,h=2r.,由于,S(r,),只有一个极值,所以它是最小值,.,答,:,当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省,.,x,y,例,3:,如图,在二次函数,f(x,)=,4x-x,2,的图象与,x,轴所,围成的图形中有一个,内接矩形,ABCD,求这,个矩形的最大面积,.,解,:,设,B(x,0)(0 x2),则,A(x,4x-x,2,).,从而,|AB|=4x-x,2,|BC|=2(2-x).,故矩形,ABCD,的面积,为,:,S(x,)=|AB|BC|=2x,3,-12x,2,+16x(0 x2).,令,得,所以当 时,因此当点,B,为 时,矩形的最大面积是,五、小结,1.,求在,a,b,上连续,(,a,b,),上可导的函数,f(x,),在,a,b,上的,最值的步骤,:,(1),求,f(x,),在,(,a,b,),内的极值,;,(2),将,f(x,),的各极值与,f(a,),、,f(b,),比较,其中最大的一个,是最大值,最小的一个是最小值,2.,求函数的最值时,应注意以下几点,:,(1),要正确区分极值与最值这两个概念,.,(2),在,a,b,上连续,(,a,b,),上可导的函数,f(x,),在,(,a,b,),内未,必有最大值与最小值,.,(3),一旦给出的函数在,(,a,b,),上有个别不可导点的话,不,要忘记在步骤,(2),中,要把这些点的函数值与各极值,和,f(a,),、,f(b,),放在一起比较,.,3.,应用问题要引起重视,.,(1),利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、,不等式的证明及解法中有广泛的作用。,(2),在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内,存在最大,(,小,),值,而且函数在这个定义域内又只有,唯一的极值点,那么立即可以判定,这个极值点的函,数值就是最大,(,小,),值,这一点在解决实际问题时很,有用,.,