1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1.3,空间向量基本定理,1,、平行向量基本定理,复习,对于任意两个向量,，则向量,与共线的充要条件是存在实数,使得,2.,平面向量基本定理,如果 是平面内的两个,不共线,向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数,1,2,，使得,这表明,:,平面内任一向量可以用该平面内的两个,不共线,向量,线性表示,.,我们把不共线的两个向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组,基底,.,新定义,共面向量,：,对于两个不共线向量,则向量,与向量,共面的充要条件是存在,唯一,的实数对,(,x,y),使得,3.
2、共面向量定理,共面向量也称线性相关。,我们怎样表示空间向量中的任一向量呢,?,(1),两个不共线向量能否表示空间任一向量,?,通过,平面向量基本定理,来类似地推出,空间向量基本定理,.,猜想,:,空间向量基本定理的内容是什么,?,(2),空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗,?,空间向量分解定理,:,建构数学,:,如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量,存在唯一有序实数组,(x,y,z),使得,O,A,P,A,C,B,B,P,证明,:,（,1,）先证,存在性,过点,P,作直线,PPOC,，交平面,OAB,于点,P,；,在平面,OAB,内，过点,P,作直线,PAOB,，,PBOA,，
3、分别 交直线,OA,，,OB,于点,A,，,B.,空间向量分解定理,:,存在实数则,(x,y,z),使,C,(2),再证,惟一性,用反证法,2.,假设存在实数组,使,所以,即,因,从而,共面,这与,不共面矛盾,所以有序实数组,(x,y,z),惟一,.,空间向量分解定理,:,建构数学,(2),空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底,.,强调：对于基底,(4),基底指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量,二者是,相关联的不同概念,。,如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫,正交基底,.,特别地,，,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称为,单位正交基底,，,
4、通常用,建构数学,:,1.,可以根据空间向量的基本定理,确定空间任意一点的位 置,。这样，就建立了,空间任意一点,与惟一的,有序实数组（,x,、,y,、,z,）,之间的关系，从而为空间向量的坐标运算作准备，也为用向量方法解决几何问题提供了可能。,2.,推论中若,x+y+z=1,，则必有,P,、,A,、,B,、,C,四点共面,.,推论说明：,数学运用,练习,共线,共面,例,2,、,如下图,在正方体,OADB-CADB,中,点,E,是,AB,与,OD,的交点,M,是,OD,与,CE,的交点,试分别用向量,OA,OB,OC,表示向量,OD,和,OM,。,A,A,D,D,B,O,C,B,E,数学运用,M,思考,解：由正三角形的性质知,BO,1,=2O,1,E,，,AO,2,=2O,2,E,O,1,O,2,AB,，且,O,1,O,2,=1/3 AB,。,4,、如图，在空间四边形,OABC,中，已知,E,F,分别是,BC,OA,的中点，,G,在,AE,上，且,AG=2GE,，试用向量,OA,、,OB,、,OC,表示向量,.,(2)OG,(1)EF,F,小结,:,空间向量基本定理,:,当,x+y+z=1,时，必有,P,、,A,、,B,、,C,四点共面,.,
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