河北省高考数学第一轮总复习知识点检测 9.3空间点、直线、平面之间的位置关系课件 旧人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系,基础梳理,1.,平面的基本性质,名称,图形,文字语言,符号语言,公理,1,如果一条直线上有两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内,公理,2,经过不在同一条直线上的三个点确定一个平面,A,、,B,、,C,不共线,A,、,B,、,C,平面,且,是唯一的,公理,3,如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线,若,P,P,则,=a,且,Pa,公理,4,平行于同一条直线的两条直线互相平行,若,ab,bc,则,ac,公理,2,的推论,推论,1,经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,若点,A,直线,a,则,A,和,a,确定一个平面,推论,2,两条相交直线确定一个平面,ab,=P,有且只有一个平面,使,a,b,推论,3,两条平行直线确定一个平面,ab,有且只有一个平面,使,a,b,2.,空间直线与直线的位置关系,(1),位置关系,相交,共面,共面与否 平行,异面,一个公共点,:,相交,公共点个数 平行,无公共点,异面,(2),公理,4(,平行公理,):,平行于同一直线的两条直线互相平行,.,(3),定理,:,空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,.,（,4,）异面直线的夹角,定义：已知两条异面直线,a,、,b,，经过空间任意一点,O,作直线,aa,bb,，我们把两相交直线,a,、,b,所成的角叫做异面直线,a,、,b,所成的角（或夹角）,.,范围：,（,0,.,特别地，如果两异面直线所成的角是 ，我们就称这两条直线垂直，记作,ab,.,3.,空间中的直线与平面的位置关系,直线在平面内,有无数个公共点,直线与平面相交,有且只有一个公共点,直线在平面外,直线与平面平行,无公共点,4.,平面与平面的位置关系,平行,无公共点,相交,有且只有一条公共直线,典例分析,题型一 点、线、面的位置关系,【,例,1】,下列命题,:,空间不同三点确定一个平面,;,有三个公共点的两个平面必重合,;,空间两两相交的三条直线确定一个平面,;,三角形是平面图形,;,平行四边形、梯形、四边形都是平面图形,;,垂直于同一直线的两直线平行,;,一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交,;,两组对边相等的四边形是平行四边形,.,其中正确的命题是,_.,分析,根据公理及推论作判断,.,解,由公理,2,知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题、均错,中有可能出现两平面只有一条公共线,(,当这三个公共点共线时,);,空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面,;,正确,;,中平行四边形及梯形由公理,2,的推论及公理,1,可得必为平面图形而四边形有可能是空间四边形,;,如图,在正方体,ABCD-ABCD,中,直线,BBAB,BBBC,但,AB,与,BC,不平行,所以错,;ABCD,BBAB=B,但,BB,与,CD,不相交,所以错,;,四边形,ADBC,中,AD=DB=BC=CA,但它不是平行四边形,所以也错,.,学后反思,平面性质的三个公理及其推论是论证线面关系的依据,在判断过程中要注意反例和图形的应用,.,举一反三,1.,给出下列命题：,如果平面,与平面,相交,那么它们只有有限个公共点,;,经过空间任意三点的平面有且只有一个,;,如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合为一个平面,;,不平行的两直线必相交,.,其中正确命题的序号为,_.,解析,由公理,3,知，错,;,由公理,2,知，错,;,对,;,不平行的两直线可能异面，故错,.,答案,题型二 证明三点共线,【,例,2】,已知,ABC,的三个顶点都不在平面,内,它的三边,AB,、,BC,、,AC,延长,后分别交平面,于点,P,、,Q,、,R.,求证,:P,、,Q,、,R,三点在同一条直线上,.,分析,要证明,P,、,Q,、,R,三点共线,只需证明这三点都在,ABC,所在的平面和平面,的交线上即可,.,证明,由已知条件易知,平面,与平面,ABC,相交,.,设交线为,即,=,面,ABC.,PAB,P,面,ABC.,又,PAB,P,即,P,为平面,与面,ABC,的公共点,P.,同理可证,点,R,和,Q,也在交线 上,.,故,P,、,Q,、,R,三点共线于,.,学后反思,证明多点共线的方法是：以公理,3,为依据，先找出两个平面的交线，再证明各个点都是这两个面的公共点，即在交线上，则多点共线,.,或者，先证明过其中两点的直线是这两个平面的交线，然后证明第三个点也在交线上,.,同理，其他的点都在交线上，即多点共线,.,举一反三,2.,如图，已知,E,、,F,、,G,、,H,分别是空间四边形,ABCD(,四条线段首尾相接,且连接点不在同一平面内,所组成的空间图形叫空间四边形,),各边,AB,、,AD,、,CB,、,CD,上的点,且直线,EF,和,GH交于点,P,如图所示,.,求证,:,点,B,、,D,、,P,在同一条直线上,.,证明,由于直线,EF,和,GH,交于点,P,PEF,又,EF,平面,ABD,P,平面,ABD.,同理,P,平面,CBD.,P,在平面,ABD,与平面,CBD,的交线,BD,上,即,B,、,D,、,P,三点在同一条直线上,.,题型三 证明点线共面,【,例,3】,求证,:,两两相交且不共点的四条直线在同一平面内,.,分析,由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条交于一点，另一种是任何三条都不共点，故分两种情况证明,.,要证明四线共面，先根据公理,2,的推论证两条直线共面，然后再证第三条直线在这个平面内，同理第四条直线也在这个平面内，故四线共面,.,证明,(1),如图,设直线,a,b,c,相交于点,O,直线,d,和,a,b,c,分别相交于,A,B,C,三点,直线,d,和点,O,确定平面,由,O,平面,A,平面,O,直线,a,A,直线,a,知直线,a,平面,.,同理,b,平面,c,平面,故直线,a,b,c,d,共面于,.,(2),如图,设直线,a,b,c,d,两两相交,且任何三线不共点,交点分别是,M,N,P,Q,R,G,由直线,ab,=M,知直线,a,和,b,确定平面,.,由,ac,=,N,bc,=Q,知点,N,、,Q,都在平面,内,故,c,.,同理可证,d,故直线,a,b,c,d,共面于由,(1),、,(2),可知,两两相交且不共点的四条直线必在同一平面内,.,学后反思,证多线共面的方法：,（,1,）以公理、推论为依据先证两直线共面，然后再由公理,1,证第三条也在这个平面内,.,同理其他直线都在这个平面内,.,（,2,）先由部分直线确定平面，再由其他直线确定平面,然后证明这些平面重合,.,举一反三,3.,在正方体,ABCD-,中,E,是,AB,的中点,F,是 的中点,.,求证,:E,、,F,、,C,四点共面,.,证明,如图，连接,EF,.,E,是,AB,的中点,F,是 的中点,EF .,EF .,故,E,、,F,、,C,四点共面,.,题型四 证明三线共点,【,例,5】,12,分,),已知四面体,A-BCD,中,E,、,F,分别是,AB,、,AD,的中点,G,、,H,分别是,BC,、,CD,上的点,且,.,求证,:,直线,EG,、,FH,、,AC,相交于,同一点,P.,分析,先证,E,、,F,、,G,、,H,四点共面，再证,EG,、,FH,交于一点，然后证明这一点在,AC,上,.,证明,E,、,F,分别是,AB,、,AD,的中点,EFBD,且,EF=BD.2,又,GHBD,且,GH=BD,EFGH,且,EFGH,4,四边形,EFHG,是梯形,其两腰所在直线必相交,设两腰,EG,、,FH,的延长线相交于一点,P,.6,EG,平面,ABC,FH,平面,ACD,P平面,ABC,P,平面,ACD.8,又平面,ABC,平面,ACD=AC,PAC,10,故直线,EG,、,FH,、,AC,相交于同一点,P12,学后反思,证明三线共点的方法,:,首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线；由公理,3,可知，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，即三条直线交于一点,.,举一反三,4.,（,2010,曲靖模拟）已知：如图所示的空间四边形,ABCD,，,E,、,F,分别是,AB,、,AD,的中点，,G,、,H,分别是,BC,、,CD,上的点，且,CG=CB,，,CH=CD.,求证：（,1,）,E,、,F,、,G,、,H,四点共面；,（,2,）三直线,FH,、,EG,、,AC,共点,.,解析,：（,1,）如图，连接,EF,、,GH.,故,EF,与,GH,共面，即,E,、,F,、,G,、,H,四点共面,.,（,2,）,EFGH,，但,EFGH,故,EFHG,是梯形,.,如图，设,FH,与,EG,交于,O,点，,则,OFH,平面,DAC,OEG,平面,BAC,O(,平面,DAC,平面,BAC)=AC,即直线,AC,过,O,点，,故三直线,FH,、,EG,、,AC,共点,.,易错警示,【,例,】,过已知直线,a,外一点,P,与直线,a,上的四个点,A,、,B,、,C,、,D,分别画四条直线,.,求证,:,这四条直线在同一平面内,.,错解,P,、,A,、,B,三点不共线,P,、,A,、,B,共面,即,PA,、,PB,、,AB,共面,同理,PB,、,PC,、,BC,共面,;PC,、,PD,、,CD,共面,.,A,、,B,、,C,、,D,均在直线,a,上,PA,、,PB,、,PC,、,PD,四条直线在同一平面内,.,错解分析,错解在证明了四条直线分别在三个平面,(,平面,PAB,、平面,PBC,、平面,PCD),内后,通过,A,、,B,、,C,、,D,均在,a,上,而认为三个平面重合在同一个平面内,这种方法是错误的,.,错误在于没有根据地用一条直线来保证三个平面重合,.,正解,过直线,a,及点,P,作一平面,A,、B,、,C,、,D,均在,a,上,A,、,B,、,C,、,D,均在,内,.,直线,PA,、,PB,、,PC,、,PD,上各有两点在,内,由公理,1,可知,直线,PA,、,PB,、,PC,、,PD,均在平面,内,即四直线共面,.,10.G,、,H,、,M,、,N,分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH,、,MN,是异面直线的图形有,.,（填上所有正确答案的序号）,解析,:,对于（,1,），连接,GM,，显然四边形,GMNH,是平行四边形；对于（,3,），连接,GM,，易知,GMHN,，故（,1,）、（,3,）中,GH,与,MN,共面；（,2,）、（,4,）中,GH,与,MN,是异面的,.,答案,:,（,2,）（,4,）,11.,设,ABCD,的各边和对角线所在的直线与平面,依次相交于,求证,:,六点在同一条直线上,.,解析,：如图，设,ABCD,所在的平面为,A,B,AB,.,又 ,AB,.,又 ,在平面,与平面,的交线上,设交线为,l,则 ,l.,同理可证,都在直线,l,上,六点在同一条直线上,.,证明,如图，,ab,a,、,b,可以确定一个平面,.,又,a=A,b=,B,Aa,Bb,A,B,AB,;,又,A,B,.,另一方面,bc,b,、,c,可以确定一个平面,.,同理可证,.,平面,、,均经过直线,b,、,且,b,和 是两条相交直线,它们确定的平面是唯一的,平面,与,是同一个平面,a,、,b,、,c,、共面,.,12.,已知直线,abc,直线,a=A,b=B,c=C.,求证,:a,、,b,、,c,、共面,.,