龙门高三数学 第四篇 第三节 等比数列自主复习课件(理) 北师大版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三节等比数列,考纲点击,1.,理解等比数列的概念,.,2.,掌握等比数列的通项公式与前,n,项和公式,.,3.,能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题,.,4.,了解等比数列与指数函数的关系,.,热点提示,1.,以定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定,.,2.,以考查通项公式、前,n,项和公式为主，同时考查等差、等比数列的综合应用,.,3.,以选择、填空的形式考查等比数列的性质,.,等比数列,定义,如果一个数列从第,2,项起，每一项与它的前一项的,比,等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列,.,通项,公式,a,n,前,n,项和,公式,S,n,1,、等比数列,a,1,q,n,1,等比,中项,设,a,，,b,为任意两个同号的实数，则,a,，,b,的等比中项,G,.,性质,.,(1),若,a,m,，,a,n,是公比为,q,的等比数列的任意两项，则,a,n,.,(2),设,m,，,n,，,k,，,l,N,*,且,m,n,k,l,，则,.,(3),设等比数列,a,n,的公比为,q,，则数列,a,2n,仍为等比数列，公比为,.,(4),设等比数列,a,n,的公比为,q,，则,a,k,，,a,k,m,，,a,k,2m,，,(k,，,m,N,*,),仍为等比数列，公比为,.,a,m,q,n,m,a,m,a,n,a,k,a,l,.,q,2,q,m,性质,.,(5),设等比数列,a,n,的公比为,q,，则数列,ka,n,(k,为常数,),仍为等比数列，公比为,.,(6),设数列,a,n,，,b,n,为等比数列，公比分别为,q,1,，,q,2,，则,a,n,b,n,也为等比数列，公比为,q,q,1,q,2,b,2,=ac,是,a,b,c,成等比的什么条件？,提示：,b,2,=ac,是,a,b,c,成等比的必要不充分条件，当,b=0,a,c,至少有一个为零时，,b,2,=ac,成立，但,a,b,c,不成等比，反之，若,a,b,c,成等比，则必有,b,2,=ac2,等比数列项的取值及变化,(1),等比数列,a,n,中，公比,q0,，,a,n,0.,(2),设等比数列,a,n,中，,a,1,0,，则当公比,q,时，数列,a,n,为递增数列；当公比,q,时，数列,a,n,为,递减数列,(3),设等比数列,a,n,中，,a,1,0,，则当公比,q,时，,数列,a,n,为递增数列；当公比,q,时，数列,a,n,为,递减数列,(4),设等比数列,a,n,中，若公比,q,0,，则该数列各项之,间的符号关系为一正一负或一负一正,(1,，,),(0,1),(0,1),(1,，,),1,设,a,1,2,，数列,a,n,1,是以,3,为公比的等比数列，则,a,4,的值为,(,),A,80,B,81,C,54 D,53,【,解析,】,由已知得,a,n,1,(a,1,1),q,n,1,，,即,a,n,1,3,3,n,1,3,n,，,a,n,3,n,1,，,a,4,3,4,1,80.,【,答案,】,A,2,在等比数列,a,n,中，前,n,项和为,S,n,，若,S,3,7,，,S,6,63,，则公比,q,的值是,(,),A,2 B,2,C,3 D,3,【,解析,】,方法一：依题意，,q,1,，,得,1,q,3,9,，,q,3,8,，,q,2.,方法二：,(a,1,a,2,a,3,),q,3,a,4,a,5,a,6,，,而,a,4,a,5,a,6,S,6,S,3,56,，,7,q,3,56,，,q,3,8,，,q,2.,【,答案,】,A,3,关于数列,3,9,，,，,729,，以下结论正确的是,(,),A,此数列不能构成等差数列，也不能构成等比数列,B,此数列能构成等差数列，但不能构成等比数列,C,此数列不能构成等差数列，但能构成等比数列,D,此数列能构成等差数列，也能构成等比数列,【,解析,】,由等差数列和等比数列的定义验证该数列,3,9,，,，,729,可知是公差为,6,的等差数列也可以是公比为,3,的等比数列,【,答案,】,D,4,在数列,a,n,，,b,n,中，,b,n,是,a,n,与,a,n,1,的等差中项，,a,1,2,，且对任意,nN,*都有,3a,n,1,a,n,0,，则,b,n,的通项公式,b,n,_.,【,解析,】,由已知得,a,n,是以,2,为首项，以 为公比的等比数列，,a,n,2,(),n,1,，,a,n,1,2,(),n,，,2b,n,a,n,a,n,1,2,(),n,1,2,(),n,，,b,n,.,【,答案,】,5,设数列,1,，,(1,2),，,(1,2,2,2,2,n,1,),，,的前,n,项和为,S,n,，则,S,n,_.,【,解析,】,由已知得数列的通项,a,n,2,n,1,，,S,n,(2,2,2,2,n,),n,n,2,n,1,n,2.,【,答案,】,2,n,1,n,2,(2009,年广州模拟),在数列,a,n,中，,a,1,2,，,a,n,1,4a,n,3n,1,，,nN,*,.,(1),证明：数列,a,n,n,是等比数列；,(2),求数列,a,n,的前,n,项和,S,n,；,(3),证明：不等式,S,n,1,4S,n,对任意,nN,*,皆成立,【,思路点拨,】,证明一个数列是等比数列常用定义法，,即,q,，对于本例,(1),适当变形即可求证，证明不等,问题常用作差法证明,【,自主探究,】,(1),由题设,a,n,1,4a,n,3n,1,得,a,n,1,(n,1),4(a,n,n),，,n,N,*,.,又,a,1,1,1,，所以数列,a,n,n,是首项为,1,，且公比为,4,的等比数列,(2),由,(1),可知,a,n,n,4,n,1,，于是数列,a,n,的通项公式,为,a,n,4,n,1,n.,所以数列,a,n,的前,n,项和,S,n,.,(3),对任意的,n,N,*,，,(3n,2,n,4),0.,所以不等式,S,n,1,4S,n,对任意,n,N,*,皆成立,【,方法点评,】,等比数列的判定方法有：,1,定义法：若,q(q,为非零常数,),或,q(q,为非零常数且,n,2),，则,a,n,是等比数列,2,中项公式法：若数列,a,n,中，,a,n,0,且,a,n,1,2,a,n,a,n,2,(n,N,*,),，则数列,a,n,是等比数列,3,通项公式法：若数列通项公式可写成,a,n,c,q,n,(c,，,q,均为不为,0,的常数，,n,N,*,),，则,a,n,是等比数列,4,前,n,项和公式法：若数列,a,n,的前,n,项和,S,n,k,q,n,k(k,为常数且,k,0,，,q,0,1),，则,a,n,是等比数列,【,特别提醒,】,(1),前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定,(2),若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可,1,已知数列,a,n,中，,S,n,是它的前,n,项和，且,S,n,1,4a,n,2(nN,*,),，,a,1,1,，设,b,n,a,n,1,2a,n,，,求证：数列,b,n,是等比数列,【,证明,】,S,n,1,4a,n,2,S,n,2,4a,n,1,2,得,a,n,2,4a,n,1,4a,n,，,a,n,2,2a,n,1,2(a,n,1,2a,n,),，,又,b,n,a,n,1,2a,n,，,b,n,1,2b,n,，,S,2,4a,1,2,6,，,a,2,S,2,a,1,5,，,b,1,a,2,2a,1,3,0,，,b,n,是以,3,为首项，以,2,为公比的等比数列,设数列,b,n,的前,n,项和为,S,n,，且,b,n,2,2S,n,；数列,a,n,为等差数列，且,a,5,14,，,a,7,20.,(1),求数列,b,n,的通项公式；,(2),若,c,n,a,n,b,n,(nN,*,),，,T,n,为数列,c,n,的前,n,项和，,求证：,T,n,.,【,自主探究,】,(1),由,b,n,2,2S,n,，得,b,1,2,2S,1,，,又,S,1,b,1,，,所以,b,1,，由,b,n,2,2S,n,得,b,n,1,2,2S,n,1,得,b,n,1,b,n,2b,n,1,，,3b,n,1,b,n,，,即 ，,【,方法点评,】,等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量,a,1,，,n,，,q,，,a,n,，,S,n,，一般可以,“,知三求二,”,，通过列方程,(,组,),所求问题可迎刃而解解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程,【,特别提醒,】,在使用等比数列的前,n,项和公式时，应根据公比,q,的情况进行分类讨论，切不可忽视,q,的取值而盲目用求和公式,2,设等比数列,a,n,的公比为,q(q,0),，它的前,n,项和为,40,，前,2n,项和为,3 280,，且前,n,项中数值最大项为,27,，求数列的第,2n,项,【,解析,】,若,q,1,，,则,na,1,40,2na,1,3 280,，矛盾,q,1,，,得,1,q,n,82,，,q,n,81,将代入得,q,1,2a,1,又,q,0,，,q,1,，,a,1,0,，,a,n,为递增数列,a,n,a,1,q,n,1,27,由、得,q,3,，,a,1,1,，,n,4.,a,2n,a,8,1,3,7,2 187.,已知等比数列前,n,项的和为,2,，其后,2n,项的和为,12,，,求再往后,3n,项的和,【,思路点拨,】,由已知条件，根据前,n,项和公式列出关于首项,a,1,和公比,q,及,n,的两个方程，应能解出,a,1,和,q,关于,n,的表达式，这样可能较繁琐又不便于求出结果，若采用整体处理的思路，问题就会变得简单，也可采用等比数列的性质使问题简化,【,自主探究,】,方法一：利用等比数列的性质由已知,a,1,a,2,a,n,2,，,a,n,1,a,n,2,a,2n,a2n,1,a,2n,2,a,3n,12.,注意到,(a,1,a,2,a,n,),，,(a,n,1,a,n,2,a,2n,),，,(a,2n,1,a,2n,2,a,3n,),，,(a,3n,1,a,3n,2,a,4n,),，,也成等比数列，其公比为,q,n,，于是，问题转化为已知：,A,1,2,，,A,1,q,n,A,1,q,2n,12,，,要求,A,1,q,3n,A,1,q,4n,A,1,q,5n,的值,由,A,1,2,，,A,1,q,n,A,1,q,2n,12,，,得,q,2n,q,n,6,0,，则,q,n,2,或,q,n,3.,由,A,1,q,3n,A,1,q,4n,A,1,q,5n,A1,q,3n,(1,q,n,q,2n,),2,q,3n,7,14,q,3n,.,方法二：利用求和公式,如果公比,q,1,，则由于,a,1,a,2,a,n,2,，,可知,a,n,1,a,3n,4,，与已知不符，,q,1,，由求和公式，得,式除以式得,q,n,(1,q,n,),6,，,q,2n,q,n,6,，,解得,q,n,2,或,q,n,3.,又再往后,3n,项的和,S,，,【,方法点评,】,等比数列的性质可以分为三类：,1.,通项公式的变形，,2.,等比中项的变形，,3.,前,n,项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口,3,已知数列,a,n,是等比数列，首项为,a,1,，公比不等于,1,，又其中有连续三项分别是一等差数列的第,t,，,k,，,p,项，求等比数列,a,n,的通项公式,【,解析,】,设符合题设的等比数列,a,n,中的连续三项为,a,m,，,a,m,1,，,a,m,2,，则,a,m,1,a,m,q,，,a,m,2,a,m,1,q(q,为公比,),，,两式相减，得,q,，,又,a,m,1,a,m,(k,t)d,，即,a,m,1,a,m,(k,t)d,，,同理,a,m,2,a,m,1,(p,k)d(d,为公差,),，,故,q,，,所求的通项公式为,a,n,1,(2009,年宁夏海南高考,),等比数列,a,n,的前,n,项和为,S,n且,4a,1,2a,2,，,a,3,成等差数列，若,a,1,1,，则,S,4,(,),A,7,B,8,C,15 D,16,【,解析,】,不妨设数列,a,n,的公比为,q,，则,4a,1,2a,2,，,a,3,成等差数列可转化为,2(2q),4,q,2,，得,q,2.,S,4,15.,【,答案,】,C,2,(2009,年辽宁高考,),设等比数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，若,(,),A,2 B.,C.D,3,【,解析,】,设数列,a,n,的公比为,q,，则,=,1,q,3,3,，所以,，,故选,B.,【,答案,】,B,3,(2009,年广东高考,),已知等比数列,a,n,满足,a,n,0,，,n,1,2,，,，且,a,5,a,2n,5,2,2n,(n3),，则当,n1,时，,log,2,a,1,log,2,a,3,log,2,a,2n,1,(,),A,n(2n,1)B,(n,1),2,C,n,2,D,(n,1),2,【,解析,】,设等比数列,a,n,的首项为,a,1,公比为,q,，,a,5,a,2n,5,2,2n,(n3),，,a,1,q,4,a,1,q,2n,6,2,2n,，即,a,1,2,q,2n,2,2,2n,(a,1,q,n,1,),2,2,2n,(a,n,),2,(2,n,),2,，,a,n,0,，,a,n,2,n,，,a,2n,1,2,2n,1,，,log,2,a,1,log,2,a,3,log,2,a,2n,1,log,2,2,log,2,2,3,log,2,2,2n,1,1,3,(2n,1),n,n,2,，故选,C.,【,答案,】,C,4,(2009,年浙江高考,),设等比数列,a,n,的公比,q,，前,n,项和为,S,n,，则,_.,【,解析,】,q,3,q,2,q,1,1,8,4,2,1,15.,【,答案,】,15,5,(2009,年江苏高考,),设,a,n,是公比为,q,的等比数列，,|q|,1,，令,b,n,a,n,1(n,1,2,，,),，若数列,b,n,有连续四项在集合,53,，,23,19,37,82,中，则,6q,_.,【,解析,】,由,a,n,b,n,1,，且数列,b,n,有连续四项在集合,53,，,23,，,19,37,82,中则,a,n,有连续四项在集合,54,，,24,18,36,81,中经分析判断，,比较知,a,n,的四项应为,24,36,，,54,81.,又,|q|,1,，所以数列,a,n,的公比为,q,，则,6q,9.,【,答案,】,9,1,等比数列的判定方法,(1),定义法：即证明 ,q(q0,，,n,N,)(q,是与,n,值无关的常数,),(2),中项法：证明一个数列满足,a,n,1,2,a,n,a,n,2,(n,N,且,a,n,a,n,1,a,n,2,0),2,等比数列的前,n,项和公式,(1)等比数列的前,n,项和公式为,S,n,(2),等比数列前,n,项和公式的推导过程是一种特殊的求和方法,错位相减法，应当掌握，适用于,a,n,b,n,(,其中,a,n,为等差数列，,b,n,为等比数列,),这种类型的数列求和,3,解决等比数列有关问题的常见思想方法,(1),方程的思想：等比数列中五个量,a,1,、,a,n,、,n,、,q,、,S,n,一般可以,“,知三求二,”,通过列方程,(,组,),求关键量,a,1,和,q,，问题可迎刃而解,(2),分类讨论的思想：利用等比数列前,n,项和公式时要分公比,q,1,和,q1,两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当,a,1,0,，,q,1,或,a,1,0,0,q,1,时为递增数列；当,a,1,0,，,q,1,或,a,1,0,0,q,1,时为递减数列；当,q,0,时为摆动数列；当,q,1,时为常数列,(3),函数的思想：等比数列的通项公式,a,n,a,1,q,n,1,q,n,(q,0,且,q1),常和指数函数相联系,(4),整体思想：应用等比数列前,n,项和时，常把,q,n,，当成整体求解,4,巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要,课时作业,点击进入链接,