高三数学一轮复习 3.2 等差数列及其性质课件 文 大纲人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,【,考纲下载,】,1.,理解等差数列的概念,2,掌握等差数列的通项公式与前,n,项和公式，并能解决简单的实,际问题,第,2,讲 等差数列及其性质,1,等差数列的有关概念,(1),等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第,项起，每一项与它的前一项,的差等于,，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数,列的,，通常用字母,d,表示,(2),等差中项：在两个数,a,与,b,之间插入一个常数,A,，使,a,，,A,，,b,成等差数列，则,把,叫做,a,与,b,的等差中项，,，即,a,b,.,(3),等差数列的通项公式：,同一个常数,2,公差,A,A,2A,a,n,a,1,(,n,1),d,(,n,N,*,),提示,：通项公式,a,n,a,1,(,n,1),d,可以写成,a,n,dn,(,a,1,d,),，它是关于,n,的一次函数,(,d,0,时,),或常函数,(,d,0,时,),，它的图象是一条直线上点的横坐标为正整数的一群孤立的点，公差,d,是这条直线的斜率,2,等差数列的前,n,项和公式,等差数列的前,n,项和公式：,S,n,.,【,思考,】,等差数列的前,n,项和,S,n,与函数的关系如何？,(,从,d,0,与,d,0,分别说明,),答案：,当,d,0,时，,S,n,n,2,n,，,S,n,是关于,n,的二次函数，它的图象是过,原点的抛物线上横坐标为正整数的一群孤立点；当,d,0,时，,S,n,na,1,，它的图象,是一条射线上横坐标为正整数的一群孤立点,3,等差数列的重要性质,(1),若,m,n,p,q,，则,.(,m,，,n,，,p,，,q,N,*,),特别地，若,m,n,2,p,，则,2,ap,a,m,a,n,.,(2),等差数列的通项公式,a,n,a,1,(,n,1),d,推广为,a,n,a,m,(,n,m,),d,.,(3),设,S,n,是等差数列,a,n,的前,n,项和，则,S,k,，,S,2,k,S,k,，,S,3,k,S,2,k,，,构成的数列,是等差数列a,m,a,n,a,p,a,q,提示,：,这些重要结论，在解答选择题和填空题时非常有用,(,可直接应用,),，在做解答题时虽然不能作为公式和定理用，但至少可以当作解题的目标或方向，检验结果的正误时可直接套用，运用上述结论时要注意它成立的条件,1,在等差数列,a,n,中，,a,1,a,5,8,，,a,4,7,，则,a,5,等于,(,),A,3 B,7 C,10 D,11,解析：,设公差为,d,，则,.,a,1,2,，,d,3,，,a,5,a,1,4,d,2,3,4,10.,答案：,C,2,已知,a,n,为等差数列，,a,2,a,8,12,，则,a,5,等于,(,),A,4 B,5 C,6 D,7,解析：,a,2,a,8,2,a,5,，,a,5,6.,答案：,C,3,(,2009,湖南,),设,S,n,是等差数列,a,n,的前,n,项和，已知,a,2,3,，,a,6,11,，,则,S,7,等于,(,),A,13 B,35 C,49 D,63,解析：,S,7,49.,答案：,C,4,(,2009,山东,),在等差数列,a,n,中，,a,3,7,，,a,5,a,2,6,，则,a,6,_.,解析,：设公差为,d,，,3,d,a,5,a,2,6.,a,6,a,3,3,d,7,6,13.,答案：,13,1.,等差数列,a,n,中，,a,1,和,d,是两个基本量，用它们可以表示数列中的任何一项，利用等差数列的通项公式与前,n,项和公式，列方程组解,a,1,和,d,，是解决,等差数列问题的常用方法；,2,由,a,1,，,d,，,n,，,a,n,，,S,n,这五个量中的三个量可求出其余两个量，需选用恰当的,公式，利用方程组求解,【,例,1,】,(,2009,全国,卷,),已知等差数列,a,n,中,，,a,3,a,7,16,，,a,4,a,6,0,，,求,S,n,.,思维点拨：,列方程组解,a,1,和公差,d,.,解：,设,a,n,的公差 为,d,，则,即,解得,，或,因此,S,n,8,n,n,(,n,1),n,(,n,9),或,S,n,8,n,n,(,n,1),n,(,n,9),变式,1等差数列的前,n,项和为,S,n,，,若,S,12,84,，,S,20,460,，,求,S,28,.,解：,设等差数列,a,n,的首项为,a,1,，公差为,d,，,则,S,n,na,1,n,(,n,1),d,.,S,12,84,，,S,20,460,，,解得,S,n,15,n,n,(,n,1),4,2,n,2,17,n,.,S,28,2,28,2,17,28,1 092.,证明,a,n,为等差数列的方法：,1,用定义证明：,a,n,a,n,1,d,(,d,为常数，,n,2),a,n,为等差数列,2,用等差中项证明：,2,a,n,1,a,n,a,n,2,a,n,为等差数列,3,通项法：,an,为,n,的一次函数或常函数,a,n,为等差数列,4,前,n,项和法：,S,n,An,2,Bn,或,S,n,a,n,为等差数列,【,例,2,】,已知数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,且满足,a,n,2,S,n,S,n,1,0(,n,2),，,a,1,.,(1),求证,：,是等差数列,；,(2),求,a,n,的表达式,思维点拨：,(1),由,a,n,与,S,n,的关系先转化为,a,n,S,n,S,n,1,(,n,2),，,然后利用定义证明,(2),先求,S,n,，再求,a,n,.,证明,：,(1),a,n,S,n,S,n,1,(,n,2),，,又,a,n,2,S,n,S,n,1,，,Sn,1,S,n,2,S,n,S,n,1,，,S,n,0,，,2(,n,2),由等差数列的定义知 是以,为首项，以,2,为公差的等差数列,(2),解,：,由,(1),知,(,n,1),d,2,(,n,1),2,2,n,，,S,n,.,当,n,2,时,，,有,a,n,2,S,n,S,n,1,.,又,a,1,，,a,n,利用等差数列的性质解题，关键是要敏锐地观察出题中各项的脚标间的数量关系,【,例,3,】,已知两个等差数列,a,n,，,b,n,的前,n,项和分别为,A,n,，,B,n,，,且,，则使得 为整数的正整数,n,的个数是,(,),A,2 B,3 C,4 D,5,思维点拨：,灵活利用,S,2,n,1,公式中的,a,1,a,2,n,1,与,a,n,的关系,解析：,当,n,1,2,3,5,11,时，为整数,答案：,D,变式,3,：,已知,a,n,是等差数列,(1),前四项和为,21,，,末四项和为,67,，,且各项和为,286,，,求项数,；,(2),S,n,20,，,S,2,n,38,，,求,S,3,n,.,解：,(1),a,1,a,n,a,2,a,n,1,a,3,a,n,2,a,4,a,n,3,，,a,1,a,n,(21,67),22.,又,286,，,n,26,，,即数列的项数是,26.,(2),a,n,是等差数列,S,n,，,S,2,n,S,n,，,S,3,n,S,2,n,仍成等差数列,，,设,S,3,n,x,，,则,20,18,，,x,38,成等差数列,，,即,2,18,20,(,x,38),，,x,54,，,即,S,3,n,54.,解决等差数列前,n,项和的最值问题有两种方法，,利用,a,n,：当,a,1,0,，,d,0,时，前,n,项和有最大值，可由,a,n,0,且,a,n,1,0,求得,n,的值；当,a,1,0,时，前,n,项和有最小值，可由,a,n,0,且,a,n,1,0,求得,n,的值,利用,S,n,：,S,n,n,2,n,，,即由二次函数求得当,S,n,取最值时,n,的值,【,例,4,】,设等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，,已知,a,3,12,，,S,12,0,，,S,13,0,，,S,13,0,，,即,又,a,3,a,1,2,d,12,，,解得,d,3.,(2),解法一,：,S,n,na,1,d,(,n,1,2,3,，,，,12),S,n,n,(12,2,d,),d,当,n,6,时，,S,n,有最大值，,即,S,n,的值最大为,S,6,解法二,：,由题意及等差数列的性质可得,a,7,0.,在数列,a,n,中，前,6,项为正，第,7,项起，以后各项为负,(,第,7,项也为负,),，故,S,6,最大,1,在有关等差数列的基本问题中，常常需要根据已知,a,1,，,a,n,，,d,，,n,，,S,n,中的某,些量去求其他未知的量解方程是必不可少的，在运用方程的思想时，还要,注意等差数列性质的运用以及整体代换思想的运用,【,方法规律,】,2,注意设元技巧，利用对称性，减少运算量若奇数个数成等差数列且和为,定值时，可设中间三项为,a,d,，,a,，,a,d,；,若偶数个数成等差数列且和为定,值时，可设中间两项为,a,d,，,a,d,，,其余各项再依等差数列的定义进行对,称设元,3,等差数列的前,n,项和公式是特殊的二次函数关系式，对前,n,项和的最大值或,最小值的求解可以借助函数求最值的方法进行，也可以利用数列的通项公,式进行求解,.,(12,分,),(2009,湖北卷,),已知,a,n,是一个公差大于,0,的等差数列且满足,a,3,a,6,55,，,a,2,a,7,16.,(1),求数列,a,n,的通项公式,；,(2),若数列,a,n,和数列,b,n,满足等式,：,a,n,=,(,n,为正整数,),，,求数列,b,n,的前,n,项和,S,n,.,【,高考真题,】,解,：,(1),设等差数列,a,n,的公差为,d,，则依题设,d,0.,1,分,由,a,2,a,7,16,，得,2,a,1,7,d,16.,由,a,3,a,6,55,，得,(,a,1,2,d,)(,a,1,5,d,),55.,3,分,由,得,2,a,1,16,7,d,，将其代入,得,(16,3,d,)(16,3,d,),220,，,即,256,9,d,2,220,，,d,2,4.,又,d,0,，,d,2.,代入,得,a,1,1.,5,分,a,n,1,(,n,1)2,2,n,1.,6,分,【,规范解答,】,(2),当,n,1,时，,a,1,，,b,1,2.,7,分,当,n,2,时，,两式相减得,a,n,a,n,1,，,b,n,2,n,1,.,9,分,因此,10,分,当,n,1,时，,S,1,b,1,2,；,当,n,2,时，,S,n,b,1,b,2,b,3,b,n,2,2,n,2,6.,当,n,1,时上式也成立，,当,n,为正整数时都有,S,n,2,n,2,6.,12,分,本题第,(1),问的求解体现了方程思想，这种方法是数列中求通项公式,a,n,的常用方法，源于人教版数学第一册,(,上,),“,3.2,等差数列,”,中的例,2,：,“,在等差数列,a,n,中，已知,a,5,10,，,a,12,31,，求首项,a,1,和公差,d,”,，求解的思路和方法是相似的这里，高考试题的题设条件比课本例题增加了计算难度，但是所用的方程思想不变，这样设置命题，有利于高考对考生能力的考查第,(2),问对数列,b,n,的求和，其实就是等比数列的求和，即是运用课本等比数列的前,n,项求和公式解题,【,规范解答,】,由数列,a,n,的通项求数列,b,n,的通项，在使用,“,升降角标,”,特别是,“,降角标,”,时，很多考生都会忽视,n,2,这个前提条件，这样最后的结果就是数列,b,n,的通项公式为,b,n,2,n,1,，导致后面问题也跟着出错在利用数列前,n,项和求数列的通项公式时，一定要注意数列的首项和后面的项是否适用一个表达式，不然就要分,n,1,和,n,2,写成分段形式,解决两类基本数列,(,等差数列、等比数列,),的一个基本方法就是,“,基本量法,”,，如决定等差数列的就是它的首项和公差，只要求出了这两个量，等差数列的一切问题就都明确了,等差数列的一个重要性质是,a,m,a,n,a,t,a,k,(,m,，,n,，,l,，,k,N,*,),m,n,l,k,，利用这个性质往往能使问题简化，能找到更为合理的解题方法如本题中利用,a,2,a,7,a,3,a,6,就把,a,3,，,a,6,归结为一元二次方程的两个根，使我们能够利用一元二次方程的知识解决问题,