向量在平面几何中的应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4.1,向量在平面几何中的应用,平面几何中的向量方法,向量的概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。,由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。,例如，向量数量积对应着几何中的长度,.,如图：平行四边行,ABCD,中，,设 ，则,向量 的夹角为,BAD,.,例,1.,如图，已知平行四边形,ABCD,中，,E,、,F,在对角线,BD,上，并且,BE,=,FD,，求证,AECF,是平行四边形。,证明：由已知设,即边,AE,、,FC,平行且相等，,AECF,是平行四边形,（,1,）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；,（,2,）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；,（,3,）把运算结果,“,翻译,”,成几何元素。,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,简述：,形到向量 向量的运算 向量和数到形,例,2.,求证平行四边形对角线互相平分,证明：如图，已知平行四边形ABCD,的两条对角线相交于,M,，设,则,根据平面向量基本定理知，这两个分解式是相同的，所以,解得,所以点,M,是,AC,、,BD,的中点，即两条对角线互相平分,.,例,3.,已知正方形,ABCD,，,P,为对角线,AC,上任意一点，,PE,AB,于点,E,，,PF,BC,于点,F,，连接,DP,、,EF,，求证,DP,EF,。,证明：选择正交基底,在这个基底下,设,所以,因此,DP,EF,.,例,4,、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和,A,B,D,C,已知：平行四边形,ABCD,。,求证：,解：,设 ，则,分析：,因为平行四边形对边平行且相,等，故设 其它线段对应向,量用它们表示。,例,5,如图，,ABCD,中，点,E,、,F,分别是,AD,、,DC,边的中点，,BE,、,BF,分别与,AC,交于,R,、,T,两点，你能发现,AR,、,RT,、,TC,之间的关系吗？,A,B,C,D,E,F,R,T,猜想：,AR=RT=TC,由于 与 共线，故设,又因为 共线，,所以设,因为,所以,A,B,C,D,E,F,R,T,解：设,则,线,，,故,AT,=,RT,=,TC,A,B,C,D,E,F,R,T,