高一数学(24 函数的单调性)课件课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,基础知识,一、单调性定义,1,单调性定义：给定区间,D,上的函数,f,(,x,),，若对于,D,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，则,f,(,x,),为区间,D,上的增函数对于,D,，当,x,1,2,证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手,(1),利用定义证明函数单调性的一般步骤是：,；,；,(2),设函数,y,f,(,x,),在某区间内可导,如果,f,(,x,),0,，则,f,(,x,),为增函数；如果,f,(,x,),0,，则,f,(,x,),为减函数,任取,x,1,、,x,2,D,，且,x,1,二、单调性的有关结论,1,若,f,(,x,),，,g,(,x,),均为增,(,减,),函数，则,f,(,x,),g,(,x,),函数,2,若,f,(,x,),为增,(,减,),函数，则,f,(,x,),为,函数,3,互为反函数的两个函数有,的单调性,4,y,f,g,(,x,),是定义在,M,上的函数，若,f,(,x,),与,g,(,x,),的单调性相同，则其复合函数,f,g,(,x,),为,；若,f,(,x,),与,g,(,x,),的单调性相反，则其复合函数,f,g,(,x,),为,5,奇函数在其对称区间上的单调性,；偶函数在其对称区间上的单调性,仍为增,(,减,),减,(,增,),相同,增函数,减函数,相同,相反,三、函数单调性的应用有：,(1),利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小,(2),求某些函数的值域或最值,(3),解证不等式,(4),作函数图象,易错知识,一、不理解函数单调性概念而失误,1,函数,f,(,x,),的单调减区间为,_,答案：,(,，,0),和,(0,，,),2,已知,f,(,x,),为偶函数，在,(0,，,),为减函数，若,f,(),0,f,(),，则方程,f,(,x,),0,的根的个数是,_,答案：,2,二、求函数的单调性时忽视函数定义域而失误,3,函数,y,log,0.7,x,2,3,x,2),的单调性为,_,答案：,在,(,，,1),上为增函数，在,(2,，,),上为减函数,三、函数与方程思想应用失误,4,若 则,a,，,b,，,c,的大小关系为,_,答案：,c,a,b,解题思路：,方法一：,方法二：构造函数,f,(,x,),(,x,0),，,y,.,令,y,0,，,ln,x,1,，,x,e.,f,(,x,),在,(e,，,),上是减函数，在,(0,，,e),上是增函数,解法一：,a,.,5,4,3,e,，,f,(5),f,(4),f,(3),b,a,c,.,解法二：由,y,在,(e,，,),上为减函数，,又,e,3,5,，,，,b,c,.,a,c,(6,a,6,b,),(ln8,ln9),0,，,a,b,.,a,c,(10,a,10,b,),(ln32,ln25),0,，,a,c,，故,b,a,c,.,错因分析：,误区,1,：解题思路不清，找不到解题方法，不会构造函数,f,(,x,),(,x,0),；,误区,2,：能构造出函数，判断出函数单调性，但,2,、,3,、,5,不在一个单调区间，而,a,这一巧变学生很难过渡解法二中比较,a,、,b,，,a,、,c,的技巧，在于系数找最小公倍数,启示：,思想方法是数学中考查的一个重点，方法灵活多变，平时学生注意多积累,回归教材,1,下列函数中，在区间,(0,2),上是增函数的是,(,),A,y,x,1,B,y,C,y,x,2,4,x,5 D,y,解析：,A,是减函数，,B,中,y,2,x,(,x,0),由二次函数的图象可知,x,(0,2),上是增函数，,C,中,y,(,x,2),2,1,在,x,(0,2),上是减函数，,D,是反比例函数是减函数,答案：,B,2,(,教材,P,160,1,题改编,),函数,y,(2,k,1),x,b,在,(,，,),上是减函数，则,(,),A,k,B,k,C,k,D,k,解析：,x,R,，,y,(2,k,1),x,b,是减函数，,2,k,1,0,，得,k,.,答案：,D,3,(,教材,P,60,2,题改编,),反比例函数,y,.,若,k,0,，则函数的递减区间是,_,若,k,0,，则函数的递增区间是,_,答案：,(,，,0),，,(0,，,),(,，,0),，,(0,，,),4,(2009,华东师大附中,),若函数,y,mx,2,x,5,在,2,，,),上是增函数，则,m,的取值范围是,_,解析：,根据题意可得：当,m,0,，,y,x,5,在,(,2,，,),上是增函数；当,m,0,时，且,2,，解得：,0,m,.,综上所述，,m,的取值范围是,0,m,.,答案：,0,m,5,函数,f,(,x,),log,5,(,x,2,2,x,8),的增区间是,_,；减区间是,_,答案：,(4,，,),(,，,2),【,例,1,】,已知函数,f,(,x,),log,2,，求函数,f,(,x,),的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性,解析,(1),x,须满足,所以函数,f,(,x,),的定义域为,(,1,0),(0,1),(2),因为函数,f,(,x,),的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意,x,，有,研究,f,(,x,),在,(0,1),内的单调性，任取,x,1,、,x,2,(0,1),，且设,x,1,0,，即,f,(,x,),在,(0,1),内单调递减,由于,f,(,x,),是奇函数，所以,f,(,x,),在,(,1,0),内单调递减,总结评述,由于函数,f,(,x,),是奇函数，只要判断其在,(0,1),上的单调性便可知道它在对称区间,(,1,0),上的单调性，故在判断其单调性时，首先在,(0,1),上任取,x,1,、,x,2,，否则，若直接在,(,1,0),(0,1),上任取,x,1,x,2,，则,f,(,x,1,),f,(,x,2,),变形后的符号便不能判断综合利用函数的单调性与奇偶性是解决本题的关键,判断下列函数的单调性并证明,(1),f,(,x,),，,x,(,1,，,),；,(2),f,(,x,),x,2,2,x,1,，,x,1,，,),；,(3),f,(,x,),，,x,1,，,),命题意图：,先判断单调性，再用单调性的定义证明,(1),采用通分进行变形，,(2),采用因式分解进行变形，,(3),采用分子有理化的方式进行变形,解析：,(1),函数,f,(,x,),在,(,1,，,),上为减函数,利用定义证明如下：,任取,x,1,、,x,2,(,1,，,),，且,1,x,1,x,2,，,则有,x,1,x,2,x,1,1,，,x,2,x,1,1,，,x,2,x,1,0,，,x,2,x,1,2,，,x,2,x,1,20,，,f,(,x,1,),f,(,x,2,),(,x,2,x,1,)(,x,2,x,1,2)0,，,即有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),故函数,f,(,x,),x,2,2,x,1,在,1,，,),上为减函数,(3),函数,f,(,x,),在,1,，,),上为增函数，,证明如下：,任取,x,1x,2,1,，,),且,1,x,1,x,2,，,则有,x,1,x,2,1,时,f,(,x,)0,，,(1),判断函数,f,(,x,),在,1,，,),上的单调性；,(2),在,(1),的条件下解不等式,f,(,x,2,2,x,3),x,2,1,，则,x,1,x,2,0,，,x,1,x,2,11,，所以,f,(,x,1,x,2,1)0.,又,f,(,x,1,x,2,1),f,(,x,1,x,2,),f,(1),2(,x,1,x,2,),1,，所以,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,2,(,x,1,x,2,),f,(,x,2,),f,(,x,1,x,2,),2,x,2,(,x,1,x,2,),1,f,(,x,1,x,2,1),2(,x,1,x,2,)(,x,2,1)0.,所以,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，即,f,(,x,),在,1,，,),上单调递增,(2),令,y,1,，则,f,(,x,1),f,(,x,),1,2,x,，所以,f,(,x,1),f,(,x,),2,x,1.,所以,f,(2),f,(1),3,，,f,(3),f,(2),5,，,f,(4),f,(3),7,，,，,f,(,n,),f,(,n,1),2(,n,1),1,2,n,1,，上述等式两边分别相加得,f,(,n,),f,(1),3,5,7,(2,n,1),n,2,1,，又因为,f,(1),0,，所以,f,(,n,),n,2,1,，而当,n,2,1,120,时，,n,11,，所以不等式,f,(,x,2,2,x,3)120,等价于,f,(,x,2,2,x,3),f,(11),，又因为,x,2,2,x,3,(,x,1),2,2,2.,所以不等式又等价于,x,2,2,x,311,，所以,2,x,4.,即不等式,f,(,x,2,2,x,3)120,的解集为,x,|,2,x,1,时，,f,(,x,)0,，且,f,(,x,y,),f,(,x,),f,(,y,),(1),求,f,(1),；,(2),证明,f,(,x,),在定义域上是增函数；,(3),如果,f,(),1,，求满足不等式,f,(,x,),f,(),2,的,x,的取值范围,分析：,(1),的求解是容易的；对于,(2),，应利用单调性定义来证明，其中应注意,f,(,x,y,),f,(,x,),f,(,y,),的应用；对于,(3),，应利用,(2),中所得的结果及,f,(,x,y,),f,(,x,),f,(,y,),进行适当配凑，将所给不等式化为,f,g,(,x,),f,(,a,),的形式，再利用,f,(,x,),的单调性来求解,解析：,(1),令,x,y,1,，得,f,(1),2,f,(1),，故,f,(1),0.,总结评述：,本题中的函数是抽象函数，涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式的求解在本题的求解中，一个典型的方法技巧是根据所给式子,f,(,x,y,),f,(,x,),f,(,y,),进行适当的赋值或配凑这时该式及由该式推出的,f,(),f,(,x,),实际上已处于公式的地位，在求解中必须依此为依据,1,单调性首先要求函数的定义域，单调区间是定义域的子区间,2,单调性的定义中,x,1,，,x,2,要有任意性，且不能用两个特殊值的大小判断函数在区间上的单调性例如：对函数,f,(,x,),，由于,f,(,1),f,(2),，所以函数是单调递减函数这是错误的说法其实函数,f,(,x,),在,(,，,0),上是单调递增，在,(0,，,),上是单调递增,3,单调区间不能用并集表示因为两个区间的并集，并不一定是一个区间,4,重要性质：,(1),注意函数,y,f,(,x,),与,y,kf,(,x,),的单调性与,k,(,k,0),的相关性,(2),注意函数,y,f,(,x,),与,y,的单调性间的关系,请同学们认真完成课后强化作业,