高三数学一轮复习 平面向量的概念及线性运算课件 北师大版 课件.ppt

了解向量的实际背景,/,理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义,/,理解向量的几何表示,/,掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义,/,掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义,/,了解向量线性运算的性质及其几何意义,),4.1,平面向量的概念及线性运算,1,向量的定义：,既有大小又有方向的量叫做向量,2.,有向线段的定义：,带有方向的线段叫有向线段,.,有向线段包括：起点、方向、长度,.,向量可以用有向线段表示,3,模的定义：,向量 的大小,(,长度,),叫向量的模，记作,长度为,0,的向量叫做零向量，记作,0,；长度为,1,个单位长度的向量叫单位向量,4,向量相等定义：,长,度相等且方向相同的向量叫做相等向量,.,5,共线向量的定义：,如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线,6,向量的加,(,减,),法：,求,两向量和,(,差,),的运算叫向量的加,(,减,),法运算,(1),这种求向量和的方法叫三角形法则,(2),平行四边形法则：由同一点,A,为起点的两个已知向量,a,，,b,为邻边作平行四边形,ABCD,，则以,A,为起点的向量 就是向量,a,，,b,的和这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则，如下图,(3),相反向量的定义：与向量,a,的长度相等、方向相反的向量叫做向量,a,的相反向量，记作：,a,，规定零向量的相反向量仍是零向量,(4),定义,a,b,a,(,b,),7,向量的数乘：,求,实数,与向量,a,的积是一个向量，记作：,a,.,规定：,(1)|,a,|,|,|,a,|,；,(2),当,0,时向量,a,的方向与,a,的方向相同，当,0,时，向量,a,与,a,的方向相反，当,0,时，,a,0.,8,数乘运算律,(1),(,a,),(,),a,；,(2)(,),a,a,a,；,(3),(,a,b,),a,b,.,1,如右图所示，,D,是,ABC,的边,AB,上的中点，则向量 等于,(,),解析：,D,是,AB,的中点，,答案：,A,2,如上图所示，在平行四边形,ABCD,中，下列结论中错误的是,),解析：,A,显然正确，由平行四边形法则知,B,正确,C,中 所以错误,D,中,3,在,ABC,中，已知,D,是,AB,边上一点，若,AD,2,DB,，,CD,CA,CB,，则,等于,(,),解析：,由图知,CD,CA,AD,CD,CB,BD,且,AD,2,BD,0.,2,得：,3,CD,CA,2,CB,，,CD,答案：,A,4,下列各命题中，真命题的个数为,(,),若,|,a,|,|,b,|,，则,a,b,或,a,b,；,若,AB,DC,，则,A,、,B,、,C,、,D,是一个平行四边形的四个顶点；,若,a,b,，,b,c,，则,a,c,；,若,a,b,，,b,c,，则,a,c,.,A4 B,3 C,2 D,1,解析：,由,|,a,|,|,b,|,可知向量,a,，,b,模长相等但不能确定向量的方向，如在正方形,ABCD,中，,|,AB,|,|,AD,|,，但,AB,与,AD,既不相等也不互为相反向量，故此命题错误,由,AB,DC,可得,|,AB,|,|,DC,|,且,AB,DC,，由于,AB,DC,可能是,A,，,B,，,C,，,D,在同一条直线上，故此命题不正确,正确,不正确当,b,0,时，,a,c,不一定成立,答案：,D,正确理解向量有关概念及运算法则，注意区分向量运算与实数运算的异同是解答该类题型的关键,【,例,1,】,给,出下列六个命题：,两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；,若,|,a,|,|,b,|,，则,a,b,；,若,AB,DC,，则,ABCD,为平行四边形；,若,m,n,，,n,p,，则,m,p,；,若,a,b,，,b,c,，则,a,c,.,其中不正确的个数是,(,),A,2 B,3 C,4 D,5,解析：,两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以,不正确；,|,a,|,|,b,|,，但,a,，,b,方向不确定，所以,a,，,b,不一定相等，故,不正确；因为,AB,DC,可能有,A,、,B,、,C,、,D,在同一直线上，所以,不正确；零向量与任一非零向量都平行，当,b,0,时，,a,与,c不一定平行，故,不正确,答案：,C,变式,1.,判,断下列命题是否正确，不正确的说明理由,(1),若向量,a,与,b,同向，且,|,a,|,|,b,|,，则,a,b,；,(2),若,|,a,|,|,b,|,，则,a,与,b,的长度相等且方向相同或相反；,(3),若,|,a,|,|,b,|,，且,a,与,b,的方向相同，则,a,b,；,(4),由于零向量,0,方向不确定，故,0,不能与任意向量平行,解答：,(1),不,正确因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故,不正确,(2),不正确由,|,a,|,|,b,|,只能判断两向量长度相等，不能判断方向,(3),正确,|,a,|,|,b,|,，且,a,与,b,同向，由两向量相等的条件可得,a,b,.,(4),不正确由零向量性质可得,0,与任一向量平行，可知,不正确,.,在求向量时，要尽可能地将其转化到平行四边形或三角形中去，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量的加减法及数乘运算来求解,【,例,2,】,在,ABC,中，,D,、,E,分别为,BC,、,AC,边上的中点，,G,为,BE,上一点，且,GB,2,GE,，设,试用,a,、,b,表示,.,解答：,变式,2.,在,ABC,中，,E,、,F,分别为,AC,，,AB,的中点，,BE,与,CF,相交于,G,点，设,AB,aAC,b,，试用,a,，,b,表示,AG,.,解答：,证,0,明三点,A,、,B,、,C,共线，借助向量，只需要证明由这三点,A,、,B,、,C,所组成的向量中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数,，使,a,b,(,b,0),即可,2,在求与一个已知向量,a,共线的向量时，可设所求向量为,a,(,R,),，然后结合其他条件列出关于,的方程，求出,的值后代入,a,即可得到欲求向量,【,例,3,】,设,两个非零向量,e,1,和,e,2,不共线,(1),如果,AB,e,1,e,2,，,BC,3,e,1,2,e,2,，,CD,8,e,1,2,e,2,，求证：,A,、,C,、,D,三点共线2),如果,AB,e,1,e,2,，,BC,2,e,1,3,e,2,，,CD,2,e,1,k,e,2,，且,A,、,C,、,D,三点共线，求,k,的值,提示：,A,、,C,、,D,三,点共线,存在实数,使,AC,CD,.,证明：,(1),AB,e,1,e,2,，,BC,3,e,1,2,e,2,，,CD,8,e,1,2,e,2,，,AC,AB,BC,4,e,1,e,2,(,8,e,1,2,e,2,),CD,，,AC,与,CD,共线，又,AC,与,CD,有公共点,C,，,A,、,C,、,D,三点共线,(2),解答：,AC,AB,BC,(,e,1,e,2,),(2,e,1,3,e,2,),3,e,1,2,e,2,，,A,、,C,、,D,三,点,共线，,AC,与,CD,共线，从而存在实数,使得,AC,CD,，,即,3,e,1,2,e,2,(2,e,1,k,e,2,),，由平面向量的基本定理，,得 解之得,变式,3.,若,a,，,b,是两个不共线的非零向量，,a,与,b,起点相同，则当,t,为何值时，,a,，,tb,，,(,a,b,),三向量的终点在同一条直线上？,解答：,设,OA,a,，,OB,tb,，,OC,(,a,b,),，,AC,OC,OA,AB,OB,OA,tb,a,.,要使,A,、,B,、,C,三点共线，只需,AC,AB,，即,tb,a,有,当,t,时，三向量终点在同一直线上,.,【,方法规律,】,1,向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用,2,能否正确理解和牢固掌握共线向量、相等向量的概念很重要，它关系到我们今后在解决相关问题时能否灵活应用的问题,3,将向量用其他向量,(,特别是基向量,),线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础,4,首尾相连的若干向量之和等于以最初的向量起点为起点，最后的向量终点为终点的向量；若这两点重合，则和为零向量,(,本题满分,5,分,),如下图,，,OM,AB,，,点,P,在由射线,OM,、,线段,OB,及,AB,的延长线围成的阴影区域内,(,不含边界,),，,且,OP,xOA,yOB,，,则实数对,(,x,，,y,),可以是,(,),解析：,若,x,则,P,、,A,、,B,三点共线；,若,x,则点,P,在直线,OM,上；,若,x,则点,P,在阴影区域内若,x,y,则,P,点应在直线,AB,的右侧，故选,C.,答案,：,C,【,答题模板,】,【,分析点评,】,1.,考题立意新颖，非常深刻全面地考查了向量共线、三点共线，以及向量的加法、减法和数乘运算突出了平面向量基本定理在向量一章中的核心位置，是值得关注的一个动向,2,.,本考题还可探究，当,x,，,y,满足什么条件时，点,P,在阴影区域之内,.,点击此处进入 作业手册,