高中数学 25 数学归纳法(2)课件 理 新人教A版选修2-2 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3,数学归纳法,(2),数学归纳法的概念,证明一个与正整数,n,有关的命题,可按下列步骤来进行,(1)(,归纳奠基,),证明当,n,取第一个值,n,0,时命题成立,(2)(,归纳递推,),假设,当,n=,k(k,N,*,，,kn,0,),时命题成立,证明,当,n=k+1,时命题也成立,只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从,n,0,开始的所有正整数,n,都成立。这种证明方法叫做,数学归纳法。,验证,n=n,0,时命题成立,若,当,n=k(,kn,0,),时命题成立,证明当,n=k+1,时命题也成立,命题对从,n,0,开始的所有正整数,n,都成立。,归纳奠基,归纳递推,3,、数学归纳法只适用于,和正整数有关,的命题。,2,、在第二步的证明中,必须用到前面的归纳假设,，否则就不是数学归纳法了。,1,、三个步骤缺一不可,:,第一步是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为,归纳基础,。,第二步是,归纳递推,，是推理的依据，是判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中,“,假设,n=k,时成立,”,称为,归纳假设,(,注意是,“,假设,”,，而不是确认命题成立,),。,没有第一步，第二步就没有了意义；没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没有可靠性。,注意,第三步是总体结论，也不可少。,注意,(1)(,归纳奠基,),是递推的基础,.,找准,n,0,(2)(,归纳递推,),是递推的依据,n,k,时命题成立作为必用的条件运用，而,n,k+1,时情况则有待,利用假设,及已知的定义、公式、定理等加以证明,第二步中证明,n=k+1,命题成立是全局的主体，力求详细，不可随意省略。,方法：“凑”成,n=k,时的形式,（这样才好利用归纳假设）,证明：,（,1,）当,n=1,时，左边,1,，右边,等式成立。,（,2,）假设当,n=k,时，等式成立，就是,那么,例,2.,用数学归纳法证明,:,当,这就是说，当,n=k+1,时等式也成立。,根据（,1,）和（,2,），可知等式对任何,nN,都成立。,如下证明对吗？,证明：,当,n=1,时，左边,右边,等式成立。,设,n=k,时，有,即,n=k+1,时，命题成立。,根据,问可知，对,nN,，等式成立,。,第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。,1,）,第一步应做什么？此时,n,0,=,，左,=,，,2,）假设,n=k,时命题成立，即,当,n=k,时，等式左边共有,项，,第,k,项是,。,k,k,2,思考？,1,1,2,例,3,用数学归纳法证明,3,）当,n=k+1,时，命题的形式是,4,）此时，左边增加的项是,5),从左到右如何变形？,证明1,）当,n=1,时，左边,1,2,1,，右边,等式成立。,（,2,）假设当,n=k,时，等式成立，就是,那么,用数学归纳法证明,这就是说，当,n=k+1,时等式也成立。,根据（,1,）和（,2,），可知等式对任何,nN,都成立。,1.,用数学归纳法证明等式,1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1),时，,当,n,1,时，左边所得项是,；,当,n,2,时，左边所得项是,；,1+2+3,1+2+3+4+5,A、1,B、1+a,C、1+a+a,2,D、1+a+a,2,+a,3,C,课堂练习：,练习,例题,1,、求证,:,(,n+1)(n+2),(n+n)=2,n,1,3,(2n-1),证明：,n=1,时：左边,=1+1=2,，右边,=2,1,1=2,，,左边,=,右边，等 式成立。,假设当,n=k(kN,）,时有：,(k+1)(k+2),(k+k)=2,k,1,3,(2n-1),当,n=k+1,时：,左边,=(k+2)(k+3),(k+k)(k+k+1)(k+k+2),=(k+1)(k+2)(k+3),(k+k),=2,k,1,3,(2k-1)(2k+1),2,=2,k+1,1,3,(2k-1),2(k+1)-1=,右边，,当,n=k+1,时等式也成立。,由、可知，对一切,nN,原等式均成立。,1,.,已知,:,则 等于,(),A:B:,C:D:,C,练习：,点拨,:,对这种类型的题目,一般先利用,n,的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数,n,都成立,.,1.,数学归纳法,是一种证明与,正整数,有关的数学命题的重要方法,.,主要有,两个步骤一个结论,:,【,归纳奠基,】,（,1,）证明当,n,取第一个值,n,0,（,如,n,0,=1,或,2,等）时结论正确,（,2,）假设,n=k,时结论正确，证明,n=k+1,时结论也正确,（,3,）由（,1,）、（,2,）得出结论,【,归纳递推,】,找准起点,奠基要稳,用上假设,递推才真,写明,结论,才算完整,课后小结：,小结,重点：,两个步骤、一个结论；,注意：,递推基础不可少，,归纳假设要用到，,结论写明莫忘掉,。,作业,P,96,B,组,2,P,98,A,组,7,