八年级上册—最短路径问题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,课题学习,上高中学,初二（,6,）班,最短路径问题,13.4,如图所示，从,A,地到,B,地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短,(),两点在一条直线异侧,已知：如图，,A,，,B,在直线,L,的两侧，在,L,上求一点,P,，使得,PA+PB,最小。,P,连接,AB,线段,AB,与直线L,的交点,P,，就是所求。,思考？,为什么这样做就能得到最短距离呢？,根据：,两点之间线段最短,.,引言：,前面我们研究过一些关于,“,两点的所有连线中，线,段最短,”,、,“,连接直线外一点与直线上各点的所有线段,中，垂线段最短,”,等的问题，我们称它们为最短路径问,题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节,将利用数学知识探究数学史中著名的,“,将军饮马问题,”,引入新知,问题,1,相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久,负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访,海伦，求教一个百思不得其解的问题：,从图中的,A,地出发，到一条笔直的河边,l,饮马，然,后到,B,地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程,最短？,探索新知,B,A,l,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的,知识回答了这个问题这个问题后来被称为,“,将军饮马,问题,”,你能将这个问题抽象为数学问题吗？,探索新知,B,A,l,追问,1,这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将,A,，,B,两地抽象为两个点，将河,l,抽象为一条直 线,探索新知,B,A,l,（,1,）从,A,地出发，到河边,l,饮马，然后到,B,地；,（,2,）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与,A,，,B,连接起来的两条线段的长度之和，就是从,A,地,到饮马地点，再回到,B,地的路程之和；,探索新知,追问,2,你能用自己的语言说明这个问题的意思，,并把它抽象为数学问题吗？,探索新知,追问,2,你能用自己的语言说明这个问题的意思，,并把它抽象为数学问题吗？,（,3,）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最,短的直线,l,上的点设,C,为直线上的一个动点，上,面的问题就转化为：当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小（如图）,B,A,l,C,追问,1,对于问题,2,，如何,将点,B,“,移,”,到,l,的另一侧,B,处，满足直线,l,上的任意一点,C,，都保持,CB,与,CB,的长度,相等？,探索新知,问题,2,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直,线上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,追问,2,你能利用轴对称的,有关知识，找到上问中符合条,件的点,B,吗？,探索新知,问题,2,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直,线上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,作法：,（,1,）作点,B,关于直线,l,的对称,点,B,；,（,2,）连接,AB,，与直线,l,相交,于点,C,则点,C,即为所求,探索新知,问题,2,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直,线上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,B,C,探索新知,问题,3,你能用所学的知识证明,AC,+,BC,最短吗？,B,l,A,B,C,证明：,如图，在直线,l,上任取一点,C,（与点,C,不,重合），连接,AC,，,BC,，,B,C,由轴对称的性质知，,BC,=,B,C,，,BC,=,B,C,AC,+,BC,=,AC,+,B,C,=,AB,，,AC,+,BC,=,AC,+,B,C,探索新知,问题,3,你能用所学的知识证明,AC,+,BC,最短吗？,B,l,A,B,C,C,探索新知,问题,3,你能用所学的知识证明,AC,+,BC,最短吗？,B,l,A,B,C,C,证明：,在,AB,C,中,，,AB,AC,+,B,C,，,AC,+,BC,AC,+,BC,即,AC,+,BC,最短,若直线,l,上任意一点（与点,C,不重合）与,A,，,B,两点的距离,和都大于,AC,+,BC,，就说明,AC,+,BC,最小,探索新知,B,l,A,B,C,C,追问,1,证明,AC,+,BC,最短时，为什么要在直线,l,上,任取一点,C,（与点,C,不重合），证明,AC,+,BC,AC,+,BC,？这里的,“,C,”,的作用是什么？,探索新知,追问,2,回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的,过程、借助什么解决问题的？,B,l,A,B,C,C,1.,如图，,A.B,两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥,MN,，桥造在何处才能使从,A,到,B,的路径,AMNB,最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,A,B,M,N,E,作法：,1.,将点,B,沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到,E,，,2.,连接,AE,交河对岸与点,M,则点,M,为建桥的位置，,MN,为所建的桥,。,证明：由平移的性质，得,BNEM,且,BN=EM,MN=CD,BD,CE,BD=CE,所以,A.B,两地的距,:,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在,CD,处，连接,AC.CD.DB.CE,则,AB,两地的距离为：,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在,ACE,中，,AC+CE,AE,AC+CE+MN,AE+MN,即AC+CD+DB,AM+MN+BN,所以桥的位置建在,MN,处，,AB,两地的路程最短。,A,B,M,N,E,C,D,(),一点在两相交直线内部,已知：如图,A,是锐角,MON,内部任意一点，在,MON,的两边,OM,，,ON,上各取一点,B,，,C,，组成三角形，使三角形周长最小,.,B,C,D,E,分析：,当,AB,、,BC,和,AC,三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小,(),一点在两相交直线内部,已知：如图,A,是锐角,MON,内部任意一点，在,MON,的两边,OM,，,ON,上各取一点,B,，,C,，组成三角形，使三角形周长最小,.,分别作点,A,关于,OM,，ON,的对称点,A,，,A,；连接,A,，,A,，分别交,OM,，,ON,于点,B,、点,C,，则点,B,、点,C,即为所求,例,1,例,2,A,是锐角,MON,内部任意一点，在,MON,的两边,OM,，,ON,上各取一点,B,，,C,，组成三角形，使三角形周长最小（如图所示）,例,3,解：作,A,关于,OM,的对称点,A,，关于,ON,的,A,对称点,A,，与,OM,、,ON,相交于,B,、,C,，连接,ABC,即为所求三角形证明：,A,与,A,关于,OM,对称，,A,与,A,关于,ON,对称，,AB=AB,，,AC=AC,，,于是,AB+BC+CA=AB+BC+AC=AA,，,根据两点之间线段最短，,AA,为,ABC,的最小值,练习,课堂小结：,1,、将军饮马问题,2,、造桥选址问题,3,、角内部三角形周长最短问题,作业布置：,课本,93,页，,14,题、,15,题,谢谢！,再见！,八年级六班,