温州地区数学学科教学资料 算术平均数与几何平均数1 浙江省温州地区高二数学 算术平均数与几何平均数课件{整理二课时}人教版 浙江省温州地区高二数学 算术平均数与几何平均数课件{整理二课时}人教版.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,算术平均数与几何平均数（1）,引入新课,例题：某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为,4800m,3,深为,3m,，如果池底每,1m,2,的造价为,150,元，池壁每,1m,2,的造价为,120,元问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少？,重要不等式及其应用,一、重要不等式的推导,课题,ii,重要不等式,1,如果,a,、,bR,那么,a+b2ab,(,当且仅当,a=b,时取“,=”,号,),以公式,(1),为基础,运用不等式的性质推导公式,(2),这种由已知推出未知,(,或要求证的不等式,),的证明方法通常叫做,综合法,。,i,如果,a,、,bR,那么有,(a-b)0 (1),把,(1),式左边展开，得,a -2ab+b 0,a+b 2ab (2),(2),式中取等号成立的充要条件是什么？,公式,2,、探索,设,a,、,b,、,cR,，,依次对其中的两个运用,公式,(2),，有,a,+b,2ab;,b,+c,2bc;,c,+a,2ca.,把以上三式叠加，得,a,+b,+c,ab+bc+ca,(3),(,当且仅当,a=b=c,时取“,=”,号,),从以上推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法,迭代与叠加,.,a+b2ab(a,、,bR,，当且仅当,a=b,时取“,号,),由于,a+b=(a+b)(a-ab+b),启示我们把,公式,(2),变成,a-ab+bab,两边同乘以,a+b,，,为了得到同向不等式，这里要求,a,、,b0,得到,a+bab+ab,。,(4),重要不等式,2,如果,a,、,b,、,c,0,那么,a+b+c,3abc,(,当且仅当,a=b=c,时取“,=”,号,),公式,3,、再探索,考查两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果呢？,考查三个实数的立方和又具有什么性质呢？,由,公式,(3),的推导方法，再增加一个正实数,c,，对,b,、,c,c,、,a,迭代,(4),式，并应用公式,(2),，得,2(a+b+c)a(bc)+b(c+a)+c(a+b),a 2bc+b 2ca+c 2ab=6abc,a+b+c3abc,(5),(,当且仅当,a=b=c,时取“,=”,号）,a+b2ab(a,、,bR,当且仅当,a=b,时取“,=”,号,),4,、定理,定理,1,的推广 如果,a,、,b,、,c,0,那么(,a+b+c)/3,(,当且仅当,a=b=c,时取“,=”,号,),定理,1,：,如果,a,、,b,0,那么(,a+b)/2,(,当且仅当,a=b,时取“,=”,号,),(6),(,当且仅当,a=b,时取“,=”,号,),在公式,(5),中用 、分别替换,a,、,b,、,c,，,可得,()+()+()3,a b +c 3,（,a+b+c)/3 (7),(,当且仅当,a=b=c,时取“,=”,号）,a+b2ab(a,、,bR,当且仅当,a=b,时取“,=”,号,),公式,a+b+c 3abc (,a,b,c,R,+,当且仅当,a=b=c,时取“,=”,号,),问题：若,a,b,都为正数，试比较 与 的大小关系,.,重要不等式及其应用,重要不等式,1,如果,a,、,bR,那么,a+b2ab,(,当且仅当,a=b,时取“,=”,号,),重要不等式,2,如果,a,、,b,、,c 0,那么,a+b+c,3abc,(,当且仅当,a=b=c,时取“,=”,号,),定理,1,如果,a,、,b 0,那么(,a+b)/2,(,当且仅当,a=b,时取“,=”,号,),ab,定理,1,的推论,：如果,a,、,b,、,c 0,那么(,a+b+c)/3,(,当且仅当,a=b=c,时取“,=”,号,),5,、两 个 概 念,公式,如果,a,1,，,a,2,，,，,a,n,0,，,且,n1,，,那么,(a,1,+a,2,+a,n,)/n,叫做这,n,个正数的,算术平均数,，,叫做这,n,个正数的,几何平均数,。,a,1,a,2,a,n,n,定理表明：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。,a+b2ab(a,、,bR,当且仅当,a=b,时取“,=”,号,),公式,a+b+c 3abc (,a,bc,R,+,当且仅当,a=b=c,时取“,=”,号,),说明,公式,（,1,）,a+b2ab,成立的条件是,a,、,bR,，而均值不等式,成立的条件是,a,、,b R,（,2,）若把 看作是正数,a,b,的等差中项，看作是正数,a,b,的等比,中项，那么这个定理可叙述为“两个正数的等差中项不小于它们的等,比中项,”,（,3,）若以,a+b,为直径作圆，在直径上取点,C,，使,AC,a,CB,=b,过点,C,作垂直于,AB,的弦,DE,，连接,AD,BD.,可知,（,4,）不等式 的变式有,这些变式对我们今后解题会有很大的帮助的,.,例,1,：,例,2,：已知,x,y,都为正数，求证：,（,1,）如果积,xy,为定值,P,，那么当,x=y,时，和,x+y,有最小值,（,2,）若,x+y,为定值,S,，那么当,x=y,时，积,xy,有最大值,例,3,：已知,a,b,c,d,都为正数，求证：,课本：,P11,练习,如果,a,、,b,、,cR,那么有,(a-b)0 ,a+b 2ab,a +b +c ,ab+bc+ca,如果,a,、,b,、,c0,那么有,a+b ab+ab ,a+b+c 3abc,(a+b)/2 ,（,a+b+c)/3 ,(,当且仅当,a=b=c,时取“,=”,号）,公式总汇,