2 等差数列课件 (文) 全国.重庆专版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节等差数列,1,等差数列的相关问题,(1),等差数列的定义,一般地，如果一个数列从第,项起，每一项与它的前一项的差都等于,，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的,同一个常数,公差,2,(2),等差中项,在一个等差数列中，从第,2,项起每一项,(,有穷数列最后一项除外,),都是它前一项与后一项的等差中项，即,2,a,n,(,n,N,且,n,2),a,n,1,a,n,1,三数成等差数列时，一般设为,a,d,，,a,，,a,d,；四数成等差数列呢？,【,提示,】,设为,a,d,，,a,，,a,d,a,2,d,或,a,3,d,，,a,d,，,a,d,，,a,3,d,.,(3),等差数列的单调性,当,d,0,时，,a,n,是,数列,当,d,0,时，,a,n,是,当,d,0,时，,a,n,是,数列,递增,常数列,递减,2,等差数列的通项公式及其前,n,项和,S,n,(1),等差数列的前,n,项和,S,n,是用,求得的注意这种思想方法在数列求和中的应用,(2),等差数列的通项公式,a,n,及前,n,项和公式,S,n,，共涉及五个量,a,1,，,a,n,，,d,，,n,，,S,n,，知其三就能求另二,倒序相加法,a,1,(,n,1),d,等差数列的常用性质,已知数列,a,n,是等差数列，,Sn,是其前,n,项和,(1),通项公式的推广：,a,n,a,m,(,n,m,),d,(,n,、,m,N,),(2),若,m,n,p,q,，则,a,m,a,n,a,p,a,q,，,特别：若,m,n,2,p,，则,a,m,a,n,2,a,p,.,(3),a,m,，,a,m,k,，,a,m,2,k,，,a,m,3,k,，,仍是等差数列，公差为,kd,.,(4),数列,S,m,，,S,2,m,S,m,，,S,3,m,S,2,m,，,也是等差数列,(5),S,2,n,1,(2,n,1),a,n,.,(6),数列,c,a,n,，,c,a,n,，,pa,n,qb,n,也是等差数列，其中,c,、,p,、,q均为常数，,b,n,是等差数列,1,等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，且,S,3,6,，,a,3,4,，则公差,d,等于,(,),A,1,C,2 D,3,【,解析,】,设,a,n,首项为,a,1,，公差为,d,，,则,S,3,3,a,1,d,3,a,1,3,d,6,，,a,3,a,1,2,d,4,，,a,1,0,，,d,2.,【,答案,】,C,【,解析,】,根据题意得,a,7,2,a,4,a,1,6,d,2(,a,1,3,d,),1,，,a,1,1.,又,a,3,a,1,2,d,0,，,d,.,【,答案,】,B,【,答案,】,B,4,设等差数列,a,m,的前,n,项和为,S,m,若,a,5,5,a,3,，则,_.,【,解析,】,设等差数列的公差为,d,，首项为,a,1,，,【,答案,】,9,5,设等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，若,a,6,S,3,12,，则,a,n,的通项,a,n,_.,【,答案,】,2,n,在等差数列,a,n,中，,(1),已知,a,15,33,，,a,45,153,，求,a,61,；,(2),已知,a,6,10,，,S,5,5,，求,a,8,和,S,8,；,【,思考点拨,】,在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中,a,1,和,d,是两个最基本量，利用通项公式与前,n,项和公式，先求出,a,1,和,d,1),证明等差数列的方法有定义法、通项公式法、等差中项法、前,n,项和法,(,前,n,项和公式的形式是不含常数项的二次函数,),，但最规范的方法为定义法我们在证明等差数列时，一般就用定义法,(2),用定义证明等差数列时，常采用的两个式子,a,n,1,a,n,d,和,a,n,a,n,1,d,的意义不同，后者必须加上,“,n,2,”,，否则,n,1,时，,a,0,无定义,1,已知数列,a,n,的通项公式,a,n,pn,2,qn,(,p,、,q,R,，且,p,、,q,为常数,),(1),当,p,和,q,满足什么条件时，数列,a,n,是等差数列？,(2),求证：对任意实数,p,和,q,，数列,an,1,a,n,是等差数列,【,解析,】,(1),a,n,1,a,n,p,(,n,1),2,q,(,n,1),(,pn,2,qn,),2,pn,p,q,，要使,a,n,是等差数列，则,2,pn,p,q,应是一个与,n,无关的常数，所以只有,2,p,0,，即,p,0.,故当,p,0,时，数列,a,n,是等差数列,(2),证明：,a,n,1,a,n,2,pn,p,q,，,a,n,2,a,n,1,2,p,(,n,1),p,q,，,而,(,a,n,2,a,n,1,),(,a,n,1,a,n,),2,p,为一个常数,a,n,1,a,n,是等差数列,在等差数列,a,n,中，,(1),若,a,1,20,，前,n,项和为,S,n,，且,S,10,S,15,，求当,n,取何值时，,S,n,最大，并求出它的最大值；,(2),若,a,1,0,，,S,9,S,12,，则该数列前多少项的和最小？,【,解析,】,(1),由,a,1,20,，,S,10,S,15,，,解得公差,d,.,S,10,S,15,，,S,15,S,10,a,11,a,12,a,13,a,14,a,15,0.,a,11,a,15,a,12,a,14,2,a,13,，,a,13,0.,公差,d,0,，,a,1,0,，,a,1,，,a,2,，,，,a,11,，,a,12,均为正数，而,a,14,及以后各项均为负数,当,n,12,或,n,13时，,S,n,有最大值为,S,12,S,13,130.,等差数列前,n,项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：,2,设等差数列,a,n,的首项,a,1,及公差,d,都为整数，前,n,项和为,S,n,.,(1),若,a,11,0,，,S,14,98,，求数列,a,n,的通项公式；,(2),若,a,1,6,，,a,11,0,，,S,14,77,，求所有可能的数列,a,n,的通项公式,【,解析,】,(1),由,S,14,98,得,2,a,1,13,d,14,，,又,a,11,a,1,10,d,0,，,故解得,d,2,，,a,1,20.,因此，,a,n,的通项公式是,a,n,22,2,n,，,又,d,Z,，故,d,1.,将,代入,得,10,a,1,12.,又,a,1,Z,，故,a,1,11,或,a,1,12.,所以，所有可能的数列,a,n,的通项公式是,a,n,12,n,和,a,n,13,n,.,本节主要以考查通项公式、前,n,项和公式为主，同时考查等差数列的性质，在计算中，常有一些方程思想，题型各种形式都有出现，其难度为中、低档题,1,(2009,年安徽卷,),已知,a,n,为等差数列，,a,1,a,3,a,5,105,，,a,2,a,4,a,6,99.,以,S,n,表示,a,n,的前,n,项和，则使得,S,n,达到最大值的,n,是,(,),A,21,B,20,C,19 D,18,【,解析,】,(,a,2,a,1,),(,a,4,a,3,),(,a,6,a,5,),3,d,，,99,105,3,d,.,d,2.,又,a,1,a,3,a,5,3,a,1,6,d,105,，,a,1,39.,(,n,20),2,400.,当,n,20,时，,S,n,有最大值,【,答案,】,B,2,(2009,年全国卷,),设等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，若,S,9,72,，则,a,2,a,4,a,9,_.,【,解析,】,设等差数列的首项为,a,1,，公差为,d,，,则,a,2,a,4,a,9,a,1,d,a,1,3,d,a,1,8,d,3(,a,1,4,d,),，,又,S,9,72,，,S,9,9,a,1,d,9(,a,1,4,d,),72,，,a,1,4,d,8,，,a,2,a,4,a,9,24.,【,答案,】,24,