2排列与组合课件 人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版文本样式,1,排列的定义,(1),一般地，从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,),个元素，按照,排成一列，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的,(2),两个排列相同，当且仅当两个排列的,，且元素的,(3),n,个不同元素,的一个排列，叫做,n,个元素的一个全排列,一定的顺序,一个排列,元素完全相同,排列顺序也相同,全部取出,2,排列数的定义和排列数公式,(1),排列数：从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,),个元素的,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的,，用符号,A,n,m,表示,全排列数公式：,A,n,n,n,(,n,1)(,n,2),321,n,！也叫做,所有不同排列的个数,排列数,n,的阶乘,(3),记住下列几个阶乘：,0,！,1,1,！,1,2,！,2,3,！,6,4,！,24,5,！,120,6,！,720,7,！,5040.,3,组合的定义,(1),一般地，从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,),个元素合成一组，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的,(2),只要两个组合的,，不论元素的顺序如何，都是,一个组合,元素相同,相同的组合,(3),排列与组合的共同点与区别：两者都是从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,),个元素，这是排列、组合的共同点两者的不同点是，,4,组合数的定义和组合数公式,(1),从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,),个元素的,，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的,，用符号,C,n,m,表示,排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关,所有不同组合的个数,组合数,1,(2009,四川卷理,),3,位男生和,3,位女生共,6,位同学站成一排，若男生甲不站两端，,3,位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是,(,),A,360,B,188,C,216,D,96,解析,本小题考查排列综合问题，基础题,解法一：,6,位同学站成一排，,3,位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,A,3,3,C,3,2,A,4,2,A,2,2,332,种，其中男生甲站两端的有,A,21,A,2,2,C,3,2,A,3,2,A,2,2,144,，符合条件的排法故共有,188.,解法二：,由题意有,2A,2,2,(C,3,2,A,2,2,)C,2,1,C,3,1,A,2,2,(C,3,2,A,2,2,)A,4,2,188,，选,B.,答案,B,2,(2011,惠州二模,),从,4,名男生和,3,名女生中选出,4,人参加迎新座谈会，若这,4,人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有,(,),A,140,种,B,120,种,C,35,种,D,34,种,解析,由题意，可分为三种情况：,1,男,3,女，,2,男,2,女，,3,男,1,女，其选法分别为,C,4,1,C,3,3,，,C4,2,C,3,2,，,C,4,3,C,3,1,，故共有,C,4,1,C,3,3,C,4,2,C,3,2,C,4,3,C,3,1,34,种选法，故选,D.,答案,D,3,(2010,北京，,4),8,名学生和,2,位老师站成一排合影，,2,位老师不相邻的排法种数为,(,),A,A,8,8,A,9,2,B,A,8,8,C,9,2,C,A,8,8,A,7,2,D,A,8,8,C,7,2,解析,不相邻问题用插空法，,8,名学生先排有,A,8,8,种，产生,9,个空，,2,位老师插空有,A,9,2,种排法，所以最终有,A,8,8,A,9,2,种排法故选,A.,答案,A,3,名男生,4,名女生排成一列求满足下列不同要求下的排法数,(1),甲、乙两人排在两头；,(2),甲、乙两人必须排在一起；,(3),男生必须排在一起；,(4),男生互不相邻；,(5),甲、乙、丙三人自左而右的顺序保持不变；,(6),甲、乙两人之间恰有,3,人；,(7),若,7,人高矮互不相同，要求从左到右，女生从矮到高排列,解,(1),先排甲、乙两人，共有,A,2,2,种排法，其余,5,人有,A,5,5,种排法，故共有,A,2,2,A,5,5,240,种排法,(2),将甲、乙两人看成一个元素，与其余,5,人一起进行全排列，有,A,6,6,种排法，又甲、乙两人之间有,A,2,2,种排法，故共有,A,6,6,A,2,2,1440,种排法,解法二：,由于甲、乙、丙顺序一定，故只需在,7,个位置中任选,4,个位置让其余,4,人进行排列即可，故所求不同的排列数为,A,7,4,840.,(6),先选,3,人排在甲、乙之间，有,A,5,3,种排法，而甲、乙之间有,A,2,2,种排法再把这,5,人看成一个整体，当成一个元素与剩余,2,人进行全排列，有,A,3,3,种排法故共有,A,5,3,A,2,2,A,3,3,720,种排法,(7),先在,7,个位置上任取,4,个位置排男生，有,A,7,4,种排法，剩下,3,个位置排女生，因要求,“,从矮到高,”,，只有一种排法，故共有,A,7,4,1,840,种排法,点评与警示,“,站队问题,”,是排列中具有典型意义的问题在解答有关排列问题的应用题时，要遵循,“,先分类后分步,”,、,“,先特殊后一般,”,、,“,先选元后排队,”,等原则对受条件限制的特殊元素或特殊位置，一般采用直接法，即特殊者优先考虑，再考虑一般的元素和位置对于必须相邻的元素通常采用,”,捆绑,“,法，即可以把相邻元素看作一个整体再与其他元素进行排列，注意相邻元素之间是否还要排列，即,“,松绑,”,对于元素不相邻的排列，通常采用,“,插空法,”,，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面已排好的元素之间的空档中或两端,此外，对于分类较多、限制条件较多等情形可用间接法，,“,正难则反,”,是处理较复杂排列问题的一个重要策略,3,名男生,4,名女生排成一列，求满足下列不同要求下的排法数,(1),甲、乙两人不能排在一起；,(2),甲不在最左边，乙不在最右边；,(3),男生站在一起，女生也站在一起；,(4),男女生相间；,(5),甲必须站在乙的左边,(,可不相邻,),；,(6),若,7,人身高均不相同，要求正中间的个子最高，从中间向两边看，一个比一个矮；,(7),甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起,解,(1),先排其余,5,人，有,A,5,5,种排法，此五人之间及两端有,6,个位置让甲、乙去排，有,A,6,2,种排法，故共有,A,5,5,A,6,2,3600,种排法,(2),解法一先排最左边，让除了甲之外的,6,人中的一人去排，有,A,6,1,种排法，其余,6,个位置的全排列有,A,6,6,种排法，其中乙排在最右边时的排法有,A,5,1,A,5,5,种，故共有,A,6,1,A,6,6,A,5,1,A,5,5,3720,种排法,解法二：,由于甲不在最左边，因此分为两类：第一类是甲排在第二、三、四、五、六个位置时，有,A,5,1,种排法，此时乙有,A,5,1,种排法，剩下的,5,人有,A,5,5,种排法；第二类是甲排在最右边时，其余,6,人有,A,6,6,种排法,综上所述，共有,A,5,1,A,5,1,A,5,5,A,6,6,3720,种排法,解法三：,7,个人的全排列有,A,7,7,种排法，其中甲在最左边时有,A,6,6,种排法，乙在最右边时有,A,6,6,种排法，这两种情形都包含了甲在最左边，乙在最右边的情形，此时有,A,5,5,种排法，故共有,A,7,7,2A,6,6,A,5,5,3720,种排法,(3),分别将,3,名男生，,4,名女生看成一个元素，其排法有,A,2,2,种排法，而男生间的排法有,A,3,3,种，女生间的排法有,A,4,4,种，故共有,A,2,2,A,3,3,A,4,4,288,种排法,(4)3,名男生、,4,名女生要求男女生相间排列，是指,“,女男女男女男女,”,，故共有,A,3,3,A,4,4,144,种排法,有,9,本不同的书下列情况各共有多少种不同分法？,(1),分成,3,堆，每堆,3,本；,(2),分成,3,堆，每堆分别为,2,本，,3,本，,4,本；,(3),分给甲,2,本，乙,3,本，丙,4,本；,(4),分给甲、乙、丙,3,人，其中甲、乙各得,2,本，丙得,5,本；,(5),分给甲、乙两人各,1,本，丙、丁两人各,2,本，戊,3,本；,(2),分为三步：第一步从,9,本书中选,2,本，有,C,9,2,种选法，第二步从余下的,7,本书中选,3,本，有,C,7,3,种选法，最后余下的四本全选，有,C,4,4,种选法，由分步乘法计数原理，共有,C,9,2,C,7,3,C,4,4,1260,种方法,(3),先从,9,本书中取,2,本给甲，再从余下的,7,本书中取,3,本给乙，最后剩下的,4,本书全给丙，故共有,C,9,2,C,7,3,C,4,4,1260,种给法本题实质上与问题,(2),一致,(4),分步可得：共有,C,9,2,C,7,2,C,5,5,756,种分法,(5),甲先选，有,C,9,1,种方法，乙再选，有,C,8,1,种方法，丙再选，有,C,7,2,种方法，丁再选，有,C,5,2,种，剩下的,3,本给戊，所以共有,C,9,1,C,8,1,C,7,2,C,5,2,C,3,3,15120,种分法,点评与警示,本题是一个分堆，分配问题，解决的关键是要搞清事件是否与顺序有关，前者堆与堆之间只要元素个数相同是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因组不同，仍然是可区分的解决这类问题的方法是以位置为主，或以元素为主，或先分堆后排列注意平均分堆问题要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不需要除，避免产生计数的重复或遗漏,有,9,本不同的书，下列情况各有多少种不同分法？,(1),分给,3,个人，每人,3,本；,(2),分给甲、乙、丙,3,人，一人,3,本，一人,4,本，一人,2,本；,(3),分成,3,堆，其中有,2,堆各,2,本，另一堆,5,本；,(4),分成的本数分别为,1,1,2,2,3,的五堆；,(5),摆在,3,层书架上，每层,3,本,有,5,张卡片，它们的正、反面分别写着,0,与1,2,与,3,4,与,5,6,与,7,8,与,9,，将其中任意三张并排放在一起组成三位数共可组成多少个不同的三位数？,解,解法一：,由于,0,不能排在百位，而,0,与,1,在同一卡片上，故可从,0,与,1,这张卡片入手，分为三类：,第一类：取,0,不取,1.,先从另外,4,张卡片中任选一张排在百位，有,C,4,1,种方法；,0,可排在十位或个位，有,C,2,1,种排法；再从剩下的三张卡片中任取一张排在余下的位置上，有,C,3,1,种方法；又除含,0,的那张外，其它两张都有正面、反面两种可能，故共有,C,4,1,C,2,1,C,3,1,2,2,96,个不同的三位数,第二类：取,1,不取,0.先从另外四张卡片中任取两张，有,C,4,2,种取法，其中每张卡片都有正、反面两种排法三张卡片排成三位数，有,A,3,3,C,4,2,2,2,144,个,第三类：,0,和,1,都不取有,C,4,3,A,3,3,2,3,192,个不同的三位数,综上所述，共有不同的三位数为,96,144,192,432,个,解法二：,从五张卡片中任取三张可以组成不同的三位数有,C,5,3,A,3,3,2,3,480,个，其中不符合题意的是,0,排在百位时有,C,4,2,2,2,A,2,2,48,个,故共有不同的三位数有,480,48,432,个,点评与警示,本题考查有条件限制的排列组合问题的解决方法和分类讨论的数学思想每张卡片都有正面与反面两种可能，因此既可以用直接法，也可以用间接法特别需要注意的是分类讨论时要做到不漏不重,(1),四面体的一个顶点为,A,，从其他顶点和各棱中点中取,3,个点，使它们和点,A,在同一个平面上，有多少种不同取法？,(2),四面体的顶点和各棱中点共,10,个点，在其中取,4,个不共面的点，有多少种不同取法？,解,(1),如图，含顶点,A,的,3,个面上，除点,A,外都有,5,个点，从中取出,3,点必与点,A,共面，共有,C,5,3,3,30,种取法；含顶点,A,的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有,3,种取法因此，与顶点,A,共面的,3,点的取法有,30,333,种,(2)(,间接法,),从,10,个顶点中取,4,个点有,C,10,4,种取法，其中从四面体每一个面上的,6,个点任取出的,4,点必定共面，有,4C,6,4,60,种取法；四面体的每一条棱上,3,点与相对棱中点必共面，共有,6,种情况；三对对棱中点中任两对对棱中点必共面，有,C,3,2,3,种情况,综上所述，从四面体的顶点和各棱中点共,10,个点中取出,4,点的不共面的取法有,C,10,4,60,6,3,141,种,4,个不同的球，,4,个不同的盒子，把球全部放入盒内,(1),恰有,1,个盒不放球，共有几种放法？,(2),恰有,1,个盒内有,2,个球，共有几种放法？,(3),恰有,2个盒不放球，共有几种放法？,分析,把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空,解,(1),为保证,“,恰有,1,个盒不放球,”,，先从,4,个盒子中任意取出去一个，问题转化为,“,4,个球，,3,个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？,”,即把,4,个球分成,2,1,1,的三组，然后再从,3,个盒子中选,1,个放,2,个球，其余,2,个球放在另外,2,个盒子内，由分步乘法计数原理，共有,C,4,1,C,4,2,C,3,1,A,2,2,144,种,(2),“,恰有,1,个盒内有,2,个球,”,，即另外,3,个盒子放,2,个球，每个盒子至多放,1,个球，也即另外,3,个盒子中恰有一个空盒，因此，,“,恰有,1,个盒内有,2,个球,”,与,“,恰有,1,个盒不放球,”,是同一件事，所以共有,144,种放法,点评与警示,排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出,(,组合,),或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列其中分组时，要注意,“,平均分组,”,与,“,不平均分组,”,的差异及分类的标准,7,个相同的小球，任意放入,4,个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？,解,解法一：,先将其中,4,个相同的小球放入,4,个盒子中，有,1,种放法；再将其余,3,个相同的小球放入,4,个不同的盒子中，有以下,3,种情况：,(1),某一个盒子放,3,个小球，就可从这,4,个不同的盒子中任选一个放入这,3,个小球，有,C,4,1,种不同的放法；,(2),这,3,个小球分别放入其中的,3,个盒子中，就相当于从,4,个不同的盒子中任选,3,个盒子，分别放入这,3,个相同的小球，有,C,4,3,种不同放法；,(3),这,3,个小球中有两个小球放在,1,个盒子中，另,1,个小球放在另一个盒子中，从这,4,个不同的盒子中任选两个盒子排成一列，有,A,4,2,种不同的方法,综上可知，满足题设条件的放法为,C,4,1,C,4,3,A,4,2,20(,种,),解法二：,“,每个盒子都不空,”,的含义是,“,每个盒子中至少有一个小球,”,，合理的分类是正确解题的关键若用,“,隔板法,”,，可易得,C,6,3,20.,解排列组合问题的一般策略：,(1),特殊元素、特殊位置优先安排的策略；,(2),合理分类与准确分步的策略；,(3),排列、组合混合问题先选后排的策略；,(4),正难则反，等价转化的策略；,(5),相邻问题捆绑处理的策略；,(6),不相邻问题插空处理的策略；,(7),定序问题除法处理的策略；,(8),分排问题直排处理的策略；,(9),“,小集团,”,排列问题中先整体后局部的策略；,(10),平均分组问题除法处理的策略；,(11),相同元素分配问题插板处理的策略；,(12),不尽相异元素排列问题比例法处理的策略；,(13),构造模型的策略,