高考数学专题复习精课件—导数的应用(2)(理) 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,导数的应用,导数的应用举例,1,解,:,(1),由已知,f,(,x,)=3,x,2,-,x,-,2,(2),命题等价于,f,(,x,),在,-,1,2,上的最大值小于,m,.,单调递增区间是,(,-,-,),和,(1,+,).,2,3,设,f,(,x,)=,x,3,-,x,2,-,2,x,+5.,(1),求函数,f,(,x,),的单调递增、递减区间,;(2),当,x,-,1,2,时,f,(,x,),m,恒成立,求实数,m,的取值范围,.,1,2,令,f,(,x,)0,得,-,x,0,得,x,1.,2,3,yf,(,x,),的单调递减区间是,(,-,1);,2,3,2,3,令,f,(,x,)=0,得,x,=,-,或,1.,1,2,f,(,1,)=3 ,f,(,2,)=7,f,(,-,1,)=5,1,2,f,(,-,)=5 ,2,3,27,22,f,(,x,),在,-,1,2,上的最大值为,7.,7,m,.,故实数,m,的取值范围是,(7,+,).,导数的应用举例,2,解,:,(1),函数,f,(,x,),的定义域为,(,-,1,+,).,当,a,0,f,(,x,),在,(,-,1,+,),上为增函数,;,设,f,(,x,)=,x,+1,-,a,ln(,x,+1),a,R,且,a,0,取,e=2.7.(1),求,f,(,x,),的单调区间,;(2),比较,x,+1,与,ln(,x,+1),的大小,并加以证明,.,2(,x,+1,),x,+1,-,2,a,=,.,又,f,(,x,)=,-,2,x,+1,1,x,+1,a,当,a,0,时,令,f,(,x,)0,得,-,1,x,0,得,x,4,a,2,-,1.,当,a,0,时,f,(,x,),在,(,-,1,4,a,2,-,1),上为减函数,在,(,4,a,2,-,1,+,),上为增函数,.,综上所述,当,a,0,时,f,(,x,),的单调递减区间为,(,-,1,4,a,2,-,1),单调递增区间为,(,4,a,2,-,1,+,).,导数的应用举例,2,由,(1),知,g,(,x,),在,(,-,1,3),上为减函数,设,f,(,x,)=,x,+1,-,a,ln(,x,+1),a,R,且,a,0,取,e=2.7.(1),求,f,(,x,),的单调区间,;(2),比较,x,+1,与,ln(,x,+1),的大小,并加以证明,.,解,:,(2),x,+1,ln(,x,+1),证明如下,:,=,2,-,ln40.,g,(,x,),g,(3)0.,即,x,+1,ln(,x,+1),.,设,g,(,x,)=,x,+1,-,ln(,x,+1),又,g,(3)=,3+1,-,ln(3+1),在,(,3,+,),上为增函数,导数的应用举例,3,设函数,f,(,x,)=,-,x,3,+2,ax,2,-,3,a,2,x,+,b,0,a,1.,(1),求函数,f,(,x,),的单调区间、极值,;(2),若当,x,a,+1,a,+2,时,恒有,|,f,(,x,)|,a,试确定,a,的取值范围,.,1,3,解,:,(1),由已知,f,(,x,)=,-,x,2,+4,ax,-,3,a,2,0,a,1,a,3,a,.,令,f,(,x,)=0,得,x,=,a,或,x,=3,a,.,当,x,变化时,f,(,x,),f,(,x,),的变化情况如下表,:,x,(,-,a,),a,(,a,3,a,),3,a,(3,a,+,),f,(,x,),-,0,+,0f,(,x,),极小值,极大值,由上表可知,f,(,x,),的单调递增区间是,(,a,3,a,),单调递减区间是,(,-,a,),和,(3,a,+,).,当,x,=,a,时,f,(,x,),取极小值,f,(,a,),=,-,a,3,+,b,;,4,3,当,x,=3,a,时,f,(,x,),取极大值,f,(3,a,)=,b,.,导数的应用举例,3,设函数,f,(,x,)=,-,x,3,+2,ax,2,-,3,a,2,x,+,b,0,a,1.,(1),求函数,f,(,x,),的单调区间、极值,;(2),若当,x,a,+1,a,+2,时,恒有,|,f,(,x,)|,a,试确定,a,的取值范围,1,3,解,:,(2),0,a,1,2,a,a,+1.,f,(,x,),max,=,f,(,a,+1,)=2,a,-,1,f,(,x,)=,-,x,2,+4,ax,-,3,a,2,在,a,+1,a,+2,上为减函数,.,f,(,x,),min,=,f,(,a,+2,)=4,a,-,4.,当,x,a,+1,a,+2,时,恒有,|,f,(,x,)|,a,即,-,a,f,(,x,),a,恒成立,.,4,a,-,4,-,a,且,2,a,-,1,a,.,解得,a,1.,4,5,又,0,a,1,故,a,的取值范围是,1).,4,5,已知函数,f,(,x,)=,ax,3,+,bx,2,+,cx,+,d,在,x,=0,处取得极值,曲线,y,=,f,(,x,),过原点和点,P(,-,1,2).,若曲线,f,(,x,),在点,P,处的切线与直线,y,=2,x,的夹角为,45,且倾角为钝角,.,(1),求,f,(,x,),的解析式,;(2),若,f,(,x,),在区间,2,m,-,1,m,+1,递增,求,m,的取值范围,.,导数的应用举例,4,解,:,(1),曲线,y,=,f,(,x,),=,ax,3,+,bx,2,+,cx,+,d,过原点,f,(0)=0,d,=0.,f,(,x,)=,a,x,3,+,bx,2,+,cx,f,(,x,)=3,a,x,2,+2,bx,+,c,.,函数,f,(,x,)=ax,3,+,bx,2,+,cx,在,x,=0,处取得极值,f,(0)=0,c,=0.,过点,P(,-,1,2),的切线斜率为,f,(,-,1)=3,a,-,2,b,而,曲线,f,(,x,),在,点,P,的切线与直线,y,=2,x,的夹角为,45,且倾角为钝角,解得,f,(,-,1)=,-,3.,又,f,(,-,1)=,2,|=1,且,f,(,-,1)0,x,0,f,(,x,),的单调递增区间为,(,-,-,2,和,0,+,).,函数,f,(,x,),在区间,2,m,-,1,m,+1,递增,2,m,-,12,m,-,1,0.,2,m,-,1,m,+1,(,-,-,2,或,2,m,-,1,m,1 0,+,).,解得,m,-,3,或,m,2.,1,2,即,m,的取值范围是,(,-,-,3,2).,1,2,导数的应用举例,5,已知函数,f,(,x,)=,x,3,-,ax,2,-,3,x,.,(1),若,f,(,x,),在区间,1,+,),上是增函数,求实数,a,的取值范围,;(2),若,x,=,-,是,f,(,x,),的极值点,求,f,(,x,),在,1,a,上的最大值,;(3),在,(2),的条件下,是否存在实数,b,使得函数,g,(,x,)=,bx,的图象与函数,f,(,x,),的图象恰有三个交点,若存在,求出实数,b,的取值范围,;,若不存在,请说明理由,.,1,3,解,:,(1),由已知,f,(,x,)=3,x,2,-,2,ax,-,3,.,f,(,x,),在区间,1,+,),上是增函数,在,1,+,),上恒有,f,(,x,),0,即,3,x,2,-,2,ax,-,3,0,在,1,+,),上恒成立,.,则必有,1,且,f,(,1,)=,-,2,a,0,.,a,3,解得,a,0,.,故实数,a,的取值范围是,(,-,0,.,由于,f,(0)=,-,30,且,3+,b,0,.,解得,b,-,7,且,b,-,3,.,故实数,b,的取值范围是,(,-,7,-,3),(,-,3,+,),.,已知函数,f,(,x,)=,x,2,e,ax,其中,a,0,e,为自然对数的底数,.1),讨论函数,f,(,x,),的单调性,;(2),求函数,f,(,x,),在区间,0,1,上的最大值,.,导数的应用举例,6,解,:,(1),f,(,x,),=,x,2,e,ax,f,(,x,)=2,xe,ax,+,x,2,e,ax,a,=(,ax,2,+2,x,),e,ax,.,a,0,对,函数,f,(,x,),的单调性可讨论如下,:,当,a,=0,时,由,f,(,x,)0,得,x,0,得,x,0,.,f,(,x,),在,(,-,0),上单调递减,在,(0,+,),上单调递增,;,当,a,0,时,由,f,(,x,)0,得,x,-,;,2,a,由,f,(,x,)0,得,0,x,-,.,2a,在,(,-,+,),上也单调递减,.,2,a,f,(,x,),在,(0,-,),上单调递增,在,(,-,0),上单调递减,2,a,已知函数,f,(,x,)=,x,2,e,ax,其中,a,0,e,为自然对数的底数,.,(1),讨论函数,f,(,x,),的单调性,;(2),求函数,f,(,x,),在区间,0,1,上的最大值,.,导数的应用举例,6,解,:,(2),由,(1),知当,a,=0,时,f,(,x,),在区间,0,1,上为增函数,;,当,a,=0,时,f,(,x,),在区间,0,1,上的最大值为,f,(1,)=1;,当,-,2,a,0,时,f,(,x,),在区间,0,1,上为增函数,当,a,-,2,时,f,(,x,),在区间,0,1,上的最大值为,:,当,a,-,2,时,f,(,x,),在区间,0,1,上先增后减,当,-,2,a,0,时,f,(,x,),在区间,0,1,上的最大值为,f,(1,)=,e,a,;,且在,x,=,-,时取最大值,.,2,a,f,(,-,)=,.,2,a,a,2,e,2,4,导数的应用举例,7,证,:,(1),x,1,时,g,(,x,)0,g,(,x,),在,(1,+,),上为增函数,.,又,g,(,x,),在,x,=1,处连续,f,(,x,)=,ln,x,2.,已知函数,f,(,x,)=,ln,x,.(1),求证,:,当,1,x,e,2,时有,x,a,0,时,恒有,ax,.,x,-,a,2,-,f,(,x,),2+,f,(,x,),f,(,x,),-,f,(,a,),x,+,a,2,2,-,f,(,x,),2+,f,(,x,),要证,x,成立,.,x,+1,2(,x,-,1),记,g,(,x,)=,ln,x,-,.,x,+1,2(,x,-,1),则,g,(,x,)=,-,(,x,+1),2,4,1,x,只要证明,x,(2,-,ln,x,),g,(1)=0.,ln,x,成立,.,x,+1,2(,x,-,1),当,1,x,e,2,时,有,x,成立,.,2,-,f,(,x,),2+,f,(,x,),导数的应用举例,7,证,:,(2)由,(1),知对任意的,x,(1,+,),h,(,x,),在,(1,+,),上为减函数,.,已知函数,f,(,x,)=,ln,x,.(1),求证,:,当,1,x,e,2,时,有,x,a,0,时,恒有,ax,成立,.,x,+1,2(,x,-,1),当,x,a,0,时,1,a,x,ln,.,a,x,a,x,+1,2(,-,1),a,x,ln,x,-,ln,a,.,x,+,a,2(,x,-,a,),ln,x,-,ln,a,x,-,a,x,+,a,2,记,h,(,x,)=,ln,x,-,x,x,-,1,则,h,(,x,)=,x,x,-,(,x,-,1),2,1,2,0,x,-,a,f,(,x,),-f,(,a,),即,.,x,+,a,2,h,(,x,),h,(1)=0,.,对任意的,x,(1,+,),都有,ln,x,.,x,x,-,1,x,-,a,f,(,x,),-,f,(,a,),同理可证,ax,.,x,+,a,2,ax,.,x,-,a,f,(,x,),-,f,(,a,),导数的应用举例,8,已知函数,f,(,x,)=(,-,1),2,+(,-,1,),2,的定义域为,m,n,),且,1,m,n,2.,(1),讨论,f,(,x,),的单调性,;(2),证明,:,对任意,x,1,x,2,m,n,),不等式,|,f,(,x,1,),-,f,(,x,2,)|,4 2,-,5,恒成立,.,xm,n,x,(1),解,:,f,(,x,)=(,-,1),2,+(,-,1,),2,x,m,n,x,=,+,-,+2,m,2,x,2,x,2,n,2,2,x,m,2,n,x,f,(,x,)=,-,-,+,m,2,2,x,x,3,2,n,2,2,m,2,n,x,2,m,2,x,3,2,=(,x,4,-,m,2,n,2,-,mx,3,+,m,2,nx,),m,2,x,3,2,=(,x,2,-,mx,+,mn,)(,x,+,mn,)(,x,-,mn,),1,m,x,0,m,2,x,3,2,x,2,-,mx,+,mn,=,x,(,x,-,m,),+,mn,0,x,+,mn,0.,由,f,(,x,)0得,m,x,0,得,mn,x,n,.,f,(,x,),在,m,mn,),上是减函数,在,mn,n,),上是增函数,.,导数的应用举例,8,已知函数,f,(,x,)=(,-,1),2,+(,-,1,),2,的定义域为,m,n,),且,1,m,n,2.,(1),讨论,f,(,x,),的单调性,;(2),证明,:,对任意,x,1,x,2,m,n,),不等式,|,f,(,x,1,),-,f,(,x,2,)|,4 2,-,5,恒成立,.,x,m,n,x,另解,:,由题设,f,(,x,)=(+,-,1),2,-,+,1.,x,m,n,x,2,n,m,令,t,=+,x,m,n,x,1,m,2,t,=,-,1,m,x,2,n,由,t,0,得,m,x,0,得,mn,x,n,.,t,(,x,),在,m,mn,),上是减函数,在,mn,n,),上是增函数,.,函数,y,=(,t,-,1),2,-,+,1,在,1,+,),上是增函数,2,n,m,f,(,x,),在,m,mn,),上是减函数,在,mn,n,),上是增函数,.,导数的应用举例,8,已知函数,f,(,x,)=(,-,1),2,+(,-,1,),2,的定义域为,m,n,),且,1,m,n,2.,(1),讨论,f,(,x,),的单调性,;(2),证明,:,对任意,x,1,x,2,m,n,),不等式,|,f,(,x,1,),-,f,(,x,2,)|,4 2,-,5,恒成立,.,x,m,n,x,对任意的,x,1,x,2,m,n,),有,(2),证,:,由,(1),知,f,(,x,),在,m,n,),上的最小值为,f,(,mn,)=2(,-,1),2,n,m,最大值为,f,(,m,)=(,-,1),2,.,n,m,|,f,(,x,1,),-,f,(,x,2,)|,(,-,1),2,-,2(,-,1),2,n,m,n,m,=(),2,-,4,+4,-,1.,n,m,n,m,n,m,令,u,=,h,(,u,)=,u,4,-,4,u,2,+4,u,-,1.,n,m,1,m,n,2,1,2.,n,m,10,5+1,2,5,-,1,2,h,(,u),在,(1,2,上是增函数,.,=4 2,-,5.,故对任意,x,1,x,2,m,n,),|,f,(,x,1,),-,f,(,x,2,)|,4 2,-,5,恒成立,.,h,(,u,),h,(,2,)=4,-,8+4 2,-,1,导数的应用举例,9,已知某厂生产,x,件产品,的成本为,C,=25000+200,x,+,x,2,(,元,),问,:(1),要使平均成本最低,应生产多少件产品,?(2),若产品以每件,500,元售出,要使利润最大,应生产多少件产品,?,40,1,解,:,(1),设平均成本为,y,(,元,),则,y,=,25000+200,x,+,x,2,x,40,1,当且仅当,x,1000,时取等号,.,(2),利润,函数为,L,=500,x,-,(25000+200,x,+,x,2,),40,1,=+200,40,x,x,25000,x,25000,40,x,2,+200=250.,故,要使平均成本最低,应生产,1000,件产品,.,40,1,=300,x,-,x,2,-,2500.,L,=300,-,x,.,20,1,令,L,=0,得,x,=6000,当,x,0;,当,x,6000,时,L,0,当,x,=6000,时,L,取得最大值,.,故,要使,利润最大,应生产,6000,件产品,.,导数的应用举例,10,某厂生产某种产品,已知该产品,的月产量,x,(,吨,),与每吨产品的价格,p,(,元,/,吨,),之间的关系式为,p,=24200,-,x,2,且生产,x,吨的成本为,R=50000+200,x,元,.,问,该厂,每月,生产多少吨产品才能使利润达到最大,?,最大利润是多少,?,(,利润,=,收入,-,成本,),1,5,解,:,设,每月,生产,x,吨的利润为,y,元,则,x,0,且,y,=(24200,-,x,2,),x,-,(50000+200,x,),1,5,=,-,x,3,+24000,x,-,50000.,1,5,由,y,=,-,x,2,+24000=0,得,3,5,x,=200,(-,200,舍去,),.,在,0,+),上只有一个点,x,=200,使,y,=0,它就是最大值点,且最大值为,-,200,3,+24000,200,-,50000,1,5,=3150000,(,元,),.,故每月,生产,200,吨产品时利润最大,最大利润是,315,万元,.,导数的应用举例,11,若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方,s,元,(,以下称,s,为赔付价格,),:(1),将乙方的年利润,w,(,元,),表示为年产量,t,(,吨,),的函数,并求出乙方获得最大利润的,年产量,;(2),甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额,y,=0.002,t,2,(,元,),在乙方获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格最大是多少,?,甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,.,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润,x,(,元,),与年产量,t,(,吨,),满足函数关系,x,=2000,t,.,解,:,(1),赔付价格为,s,元,/,吨,乙方实际年利润,w,=2000,t,-,st,.,w,=2000,t,-,s,(,t,),2,=,-,s,(,t,-,),2,+.,s,1000,s,1000,2,当,t,=,时,w,取得最大值,.,s,2,1000,2,s,2,1000,2,乙方获得最大利润的,年产量为,吨,.,另解,:,赔付价格为,s,元,/,吨,乙方实际年利润,w,=2000,t,-,st,.,由,w,=,-,s,=,t,1000,t,1000,-,s t,令,w,=0,得,t,=,t,0,=.,s,2,1000,2,当,t,0;,当,t,t,0,时,w,0,当,t,=,t,0,时,w,取得最大值,.,s,2,1000,2,乙方获得最大利润的,年产量为,吨,.,(2,设甲方净收入为,v,元,则,v,=,st,-,0.002,t,2,将,t,=,代入上式得,:,s,2,1000,2,又,v,=,-,+,s,2,1000,2,s,5,8,1000,3,v,=,-,.,s,1000,2,s,4,2,1000,3,s,51000,2,(8000,-,s,3,),=.,令,v,=0,得,s,=20.,当,s,0;,当,s,20,时,v,0),且,C(4,2).,2,2,=2,p,42,p,=1.,曲线段,OC,的方程为,y,2,=,x,(0,x,4,y,0).,设,P(,x,x,),(0,x,0;,当,x,(,4),时,S0,4,9,4,9,当,x,=,时,S,取到极大值,4,9,=,8,3,此时,|PQ|,=,2+,x,|PN|=4,-,x,9,32,=.,S=,=,8,3,9,32,27,256,9.5.,当,x,=0,时,S=8,9.5,S,max,9.5(,km,2,).,8,3,9,32,故把工业园区规划成长,km,宽,km,的矩形时面积最大,最大面积约为,9.5,km,2,.,