高三数学一轮专题复习 2.3 函数的单调性与最大(小)值课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,1.,函数的单调性,（,1,）单调函数的定义,设函数,f,(,x,),的定义域为,I,如果对于属于定义域,I,内某个区间,D,上的任意两个自变量的值,x,1,x,2,当,x,1,x,2,时，,若,则,f,(,x,),在,上是增函数,.,若,则,f,(,x,),在,上是减函数,.,（,2,）单调区间的定义,若函数,f,(,x,),在区间,D,上是,或,则称函数,f,(,x,),在这一区间上具有（严格的）单调性,叫做,f,(,x,),的单调区间,.,2.3,函数的单调性与最大（小）值,要点梳理,f,(,x,1,),f,(,x,2,),区间,D,区间,D,增函数,减函数,区间,D,2.,函数的最值,（,1,）设函数,y,=,f,(,x,),的定义域为,I,如果存在实数,M,，满足：,对于任意的,x,I,都有,；,存在,x,0,I,使得,.,则称,M,是,f,(,x,),的最大值,.,（,2,）设函数,y,=,f,(,x,),的定义域为,I,，如果存在实数,M,满足：,对于任意的,x,I,都有,；,存在,x,0,I,使得,.,则称,M,是,f,(,x,),的最小值,.,3.,判断函数单调性的方法,(1),定义法：利用定义严格判断,.,f,(,x,),M,f,(,x,0,)=,M,f,(,x,),M,f,(,x,0,)=,M,(2),利用函数的运算性质,:,如若,f,（,x,）、,g,(,x,),为增函数,则,f,（,x,）,+,g,（,x,）为增函数；,为减函数（,f,（,x,）,0,）；,为增函数（,f,（,x,）,0,）；,f,（,x,）,g,（,x,）为增函数（,f,（,x,）,0,，,g,（,x,）,0,）；,-,f,（,x,）为减函数,.,（,3,）利用复合函数关系判断单调性,.,法则是,“,”,，即两个简单函数的单调性相同，则,这两个函数的复合函数为,若两个简单函数的单调,性相反，则这两个函数的复合函数为,.,同增异减,增函数,减函数,(4),图象法,.,(5),奇函数在两个对称的区间上具有,的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有,的单调性,.,(6),导数法,若,f,（,x,）在某个区间内可导，当,f,（,x,）,0,时，,f,（,x,）为,函数；当,f,(,x,),0,时，,f,(,x,),为,函数,.,若,f,（,x,）在某个区间内可导，当,f,（,x,）在该区间上递增时，则,f,（,x,）,0,；当,f,（,x,）在该区间上递减时，则,f,（,x,）,0.,相同,相反,增,减,1.,已知函数,y,=,f,(,x,),是定义在,R,上的增函数，则,f,(,x,)=0,的根,（）,A,.,有且只有一个,B,.,有,2,个,C,.,至多有一个,D,.,以上均不对,解析,f,（,x,）在,R,上是增函数，,对任意,x,1,x,2,R,若,x,1,x,2,则,f,(,x,1,),f,(,x,2,),反之亦成立,.,故若存在,f,(,x,0,)=0,则,x,0,只有一个,.,若对任意,x,R,都无,f,(,x,)=0,则,f,(,x,)=0,无根,.,基础自测,C,2.(2008,保定联考,）已知,f,(,x,),是,R,上的增函数，若令,F,（,x,）,=,f,（,1-,x,）,-,f,（,1+,x,），则,F,（,x,）是,R,上的,(),A,.,增函数,B,.,减函数,C,.,先减后增的函数,D,.,先增后减的函数,解析,特殊值法,.,取,f,(x,)=,x,则,F,（,x,）,=,（,1-,x,）,-,（,1+,x,）,=-2,x,为减函数,.,B,3.,若函数,f,(,x,)=,x,2,+(,a,2,-4,a,+1),x,+2,在区间（,-,，,1,上是,减函数，则,a,的取值范围是,(),A,.,-3,，,-1,B,.,（,-,，,-3,-1,，,+,）,C,.,1,，,3,D,.,（,-,，,1,3,，,+,）,解析,f,（,x,）是二次函数且开口向上，,要使,f,(,x,),在（,-,，,1,上是单调递减函数，则必有,即,a,2,-4,a,+30,解得,1,a,3.,C,4.,函数,f,(,x,)=,x,3,+,ax,2,bx,+,c,，其中,a,、,b,、,c,R,，则,a,2,-3,b,0,时，,f,(,x,),是 （）,A,.,增函数,B,.,减函数,C,.,常数函数,D,.,单调性不确定的函数,解析,f,(,x,)=3,x,2,+2,ax,+,b,=4,a,2,-12,b,=4(,a,2,-3,b,)0,恒成立，所以,f,(,x,),是增函数,.,A,5.(2009,成都检测,),已知函数,f,(,x,)=,x,2,-2,x,+3,在闭区间,0,m,上最大值为,3,，最小值为,2,，则,m,的取值范围为 （）,A,.,1,，,+,）,B,.,0,，,2,C,.,（,-,，,-2,D,.,1,，,2,解析,f,（,x,）,=,（,x,-1,）,2,+2,，其对称轴为,x,=1,当,x,=1,时，,f,(,x,),min,=2,故,m,1,又,f,(0)=3,f,(2)=3,m,2.,综上，,1,m,2.,D,已知函数,证明：函数,f,(,x,),在,(-1,+),上为增函数,.,【,思维启迪,】,（,1,）用函数单调性的定义,.,（,2,）用导数法,.,证明,方法一,任取,x,1,x,2,(-1,+),不妨设,x,1,0,1,且,0,又,x,1,+10,x,2,+10,题型一 函数的单调性判定及证明,于是,故函数,f,(,x,),在,(-1,+),上为增函数,.,方法二,求导数得,a,1,当,x,-1,时，,f,(,x,),0,在（,-1,，,+,）上恒成立，,则,f,(,x,),在,（,-1,，,+,）,上为增函数,.,方法三,a,1,y,=,a,x,为增函数，,又 在（,-1,，,+,）上也是增函数，,在,（,-1,，,+,）,上为增函数,.,探究拓展,对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解,.,可导函数则可以利用导数解之,.,判断函数 在定义域上的单调性,.,【,思维启迪,】,此题,f,(,x,),是由,两个函数复合而成，只需判断这两个函数的单调性,.,解,函数的定义域为,x,x,-1,或,x,1,则,可分解成两个简单函数,.,的形式,.,当,x,1,时，,u,(,x,),为增函数，为增函数,.,在,1,，,+,）上为增函数,.,题型二 复合函数的单调性,当,x,-1,时，,u,(,x,),为减函数，为减函数，,在（,-,，,-1,上为减函数,.,探究拓展,(1),复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数,u,=,g,(,x,),y,=,f,(,u,),的单调性密切相关，其单调性的规律为,“,同增异减,”,，即,f,(,u,),与,g,(,x,),有相同的单调性，则,f,g,(,x,),必为增函数，若具有不同的单调性，则,f,g(x,),必为减函数,.,(2),讨论复合函数单调性的步骤是：,求出复合函数的定义域；,把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其单调,性；,把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；,根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性,.,求与下列函数的最值与值域：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,【,思维启迪,】,（,1,）二次函数配方；,（,2,）基本不等式或利用函数的单调性；,（,3,）式子的几何意义，数形结合法,.,解,（,1,）由,3+2,x,-,x,2,0,得函数定义域为,-1,，,3,，,又,t,=3+2,x,-,x,2,=4-(,x,-1),2,.,t,0,，,4,，,0,，,2,，从而，当,x,=1,时y,min,=2,当,x,=-1,或,x,=3,时，,y,max,=4.,故值域为,2,，,4,.,题型三 求函数的值域或最值,（,2,）,方法一,函数 是定义域为,x,|,x,0,上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论,x,0,时,即可知,x,0,时的最值,.,当,x,0,时，,等号当且仅当,x,=2,时取得,当,x,0,时，,y,-4,等号当且仅当,x,=-2,时取得,.,综上函数的值域为（,-,，,-4,4,，,+,），无最值,.,方法二,任取,x,1,x,2,且,x,1,x,2,因为,所以当,x,-2,或,x,2,时，,f,(,x,),递增，,当,-2,x,0,或,0,x,0,时，,f,(,x,),1.,（,1,）求证：,f,(,x,),是,R,上的增函数；,（,2,）若,f,(4)=5,解不等式,f,(3,m,2,-,m,-2)3.,【,思维启迪,】,（,1,）是抽象函数单调性的证明，所以要用单,调性的定义,.,（,2,）将函数不等式中抽象的函数符号,“,f,”,运用单调性,“,去,掉,”,，为此需将右边常数,3,看成某个变量的函数值,.,解,（,1,）设,x,1,x,2,R,，且,x,1,0,f,(,x,2,-,x,1,)1.2,分,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,-,x,1,)+,x,1,)-,f,(,x,1,),=,f,(,x,2x,1,)+,f,(,x,1,)-1-,f,(,x,1,),题型四 函数单调性与不等式,=,f,(,x,2,-,x,1,)-10.5,分,f,（,x,2,）,f,(,x,1,).,即,f,(,x,),是,R,上的增函数,.6,分,（,2,）,f,（,4,）,=,f,（,2+2,）,=,f,（,2,）,+,f,（,2,）,-1=5,，,f,（,2,）,=3,，,8,分,原不等式可化为,f,(3,m,2,-,m,-2),f,(2),f,(,x,),是,R,上的增函数，,3,m,2,-,m,-22,10,分,解得 故解集为,12,分,探究拓展,f,(,x,),在定义域上（或某一单调区间上）具有单调性，则,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,，若函数是增函数，则,f,(,x,1,),f,(,x,2,),x,1,0,则,当,0,x,2,x,1,时，,则,f,（,x,1,）,-,f,（,x,2,）,0,，即,f,(,x,1,),x,2,时，则,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),故,f,(,x,),在 上是增函数,.,f,（,x,）是奇函数，,f,（,x,）分别在 上为增函数；,f,（,x,）分别在 上为减函数,.,方法二 由 可得,当 时或 时，,f,(,x,)0,f,(,x,),分别在 上是增函数,.,同理 或 时，,f,(,x,),0,即,f,(,x,),分别在 上是减函数,.,2.,求函数 的单调区间,.,解,由,4,x,-,x,2,0,，得函数的定义域是（,0,，,4,）,.,令,t,=4,x,-,x,2,，则,t,=4,x,-,x,2,=-,（,x,-2,）,2,+4,，,t,=4,x,-,x,2,的单调减区间是,2,，,4,），增区间是（,0,，,2,又 在（,0,，,+,）上是减函数，,函数 的单调减区间是（,0,，,2,，单,调增区间是,2,，,4).,3.,在经济学中，函数,f,(,x,),的边际函数,Mf,(,x,),定义为,Mf,（,x,）,=,f,（,x,+1,）,-,f,（,x,）,.,某公司每月最多生产,100,台报警系统装,置，生产,x,（,x,0,）台的收入函数为,R,（,x,）,=3 000,x,-20,x,2,(,单位：元,),，其成本函数为,C,（,x,）,=500,x,+4 000,（单位：,元），利润是收入与成本之差,.,（,1,）求利润函数,P,（,x,）及边际利润函数,MP,（,x,）；,（,2,）利润函数,P,（,x,）与边际利润函数,MP,（,x,）是否具有相,同的最大值？,解,（,1,）,P,（,x,）,=,R,（,x,）,-,C,（,x,）,=,（,3 000,x,-20,x,2,）,-,（,500,x,+4 000,）,=-20,x,2,+2 500,x,-4 000,（,x,1,，,100,且,x,N,）,.,MP,（,x,）,=,P,（,x,+1,）,-,P,（,x,）,=-20(,x,+1),2,+2 500,（,x,+1,）,-4 000-,（,-20,x,2,+2 500,x,-4 000,）,=2 480-40,x,（,x,1,，,100,且,x,N,）,.,（,2,）,+74 125,当,x,=62,或,63,时，,P,(,x,),max,=74 120,（元）,.,因为,MP,（,x,）,=2 480-40,x,是减函数，,所以当,x,=1,时，,MP,(,x,),max,=2 440(,元）,.,因此，利润函数,P,（,x,）与边际利润函数,MP,（,x,）不具有相同的最大值,.,4.,（,2009,广西河池模拟,）已知定义在区间（,0,，,+,）上的函数,f,(,x,),满足 且当,x,1,时，,f,(,x,)0.,（,1,）求,f,(1),的值；,（,2,）判断,f,(,x,）的单调性；,（,3,）若,f,(3)=-1,解不等式,f,(|,x,|)0,代入得,f,(1)=,f,(,x,1,)-,f,(,x,1,)=0,故,f,(1)=0.,（,2,）任取,x,1,x,2,(0,+),，且,x,1,x,2,则,由于当,x,1,时，,f,(,x,)0,所以 即,f,(x,1,)-,f,(,x,2,)0,因此,f,(,x,1,),f,(,x,2,),所以函数,f,(,x,),在区间,(0,+),上是单调递减函数,.,（,3,）由 得,而,f,(3)=-1,所以,f,(9)=-2.,由于函数,f,(,x,),在区间（,0,+,）上是单调递减函数，,由,f(|x,|)9,x,9,或,x,9,或,x,1,函数,f,(,x,),的单调减区间为,D,2.,D,3.,函数,y,=lg(,x,2,+2,x,+,m,),的值域是,R,，则,m,的取值范围是（）,A,.,m,1,B,.,m,1,C,.,m,1,D,.,m,R,解析,函数的值域是,R,，令,u,(,x,)=,x,2,+2,x,+,m,则,u,(,x,),的值域应包含（,0,+,），故,=4-4,m,0,m,1.,C,4.,函数,f,(,x,)(,x,R,）,的图象如下图所示,则函数,g,(,x,)=,f,(log,a,x,),(0,a,1),的单调减区间是（）,A.B.,C.D.,解析,y,=log,a,x,(0,a,1),为减函数,根据复合函数的单调性及图象知，当 即 时，,g,(,x,),为减函数,故其单调减区间为,C,5.,C,6.,C,7.,已知,y,=,f,(,x,),是定义在（,-2,，,2,）上的增函数，若,f,(,m,-1),f,(1-2,m,),则,m,的取值范围是,.,解析,依题意，原不等式等价于,8.,9.,8,x,1,则,x,2,-,x,1,0.,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,-,x,1,+,x,1,)-,f,(,x,1,),=,f,(,x,2,-,x,1,)+,f,(,x,1,)-,f,(,x,1,),=,f,(,x,2,-,x,1,)0,f,(,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,),在（,-,+),上为增函数,.,（,2,）,x,|-2,x,-1,或,2,x,3.,11.,（,1,）,证明,任设,x,1,x,2,0,x,1,-,x,2,0,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,),在,(-,-2),内单调递增,.(2),00,时,(1),判断并证明,f,(,x,),在,R,上的单调性；,（,2,）求,f,(,x,),在,-3,，,3,上的最值,.,解,（,1,）,f,(,x,),在,R,上是单调递减函数,.,证明如下：,令,x,=,y,=0,f,(0)=0,令,x,=-,y,可得：,f,(-,x,)=-,f,(,x,),在,R,上任取,x,1,0,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,)+,f,(-,x,1,)=,f,(,x,2,-,x,1,).,又,x,0,时，,f,(,x,)0,f,(,x,2,-,x,1,)0,即,f,(,x,2,),f,(,x,1,).,由定义可知,f,(,x,),在,R,上为单调递减函数,.,（,2,）,f,(,x,),在,R,上是减函数，,f,（,x,）在,-3,，,3,上也是减函数,.,f,（,-3,）最大，,f,(3),最小,.,f,(3)=,f,(2)+,f,(1)=,f,(1)+,f,(1)+,f,(1),f,(-3)=-,f,(3)=2.,即,f,(,x,),在,-3,，,3,上最大值为,2,，最小值为,-2.,返回,