高中数学 第三章 函数 322 零点的存在性及其近似值的求法课件 新人教B版必修1 课件.ppt

第2课时,零点的存在性及其近似值的求法,1.,函数零点存在定理,(1),条件：函数,y=f(x),在区间,a,，,b,上的图像是连续不断的曲线，并且,f(a)f(b)0.,(2),结论：函数,y=f(x),在区间,(a,，,b),中至少有一个零点，,即,x,0,(a,，,b),，,f(x,0,)=0,.,【,思考,】,(1),函数,y=f(x),在区间,a,，,b,上的图像是连续不断的曲线，,f(a)f(b)0,时，能否判断函数在区间,a,，,b,上的零点个数？,提示：,只能判断有无零点，不能判断零点的个数,.,(2),函数,y=f(x),在区间,(a,，,b),上有零点，是不是一定有,f(a)f(b)0.,2.,二分法的概念,对于在区间,a,，,b,上连续不断且,f(a)f(b)0,的函数,y=f(x),，通过不断地把函数,f(x),的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法,.,【,思考,】,能否用二分法求方程的近似解？,提示：,能，方程的根即为函数的零点,.,3.,用二分法求函数零点近似值的步骤,给定精度,，用二分法求函数,f(x),零点,x,0,近似值,x,1,，,使得,|x,1,-x,0,|,的一般步骤如下：,第一步，检查,|b-a|2,是否成立，如果成立，取,x,1,=,，计算结束，如果不成立转到第二步；,第二步，计算区间a,，,b),的中点 对应的函数值，,若,f()=0,，取,x,1,=,，计算结束；若,f(),0,，转 到第三步；,第三步，若,f(a)f()0,，将 ,b,，回到,第一步；否则必有,f()f(b)0,，将 ,a,，,回到第一步,.,【,思考,】,当,|b-a|2,时，取区间,(a,，,b),的中点作为零点的近似解，区间,(a,，,b),上的其他点一定不是零点的近似解吗？为什么不取其他的点作为近似解？,提示：,设函数的零点是,x,0,，区间,(a,，,b),的其他点为,x,，,x,也可能是零点的近似解，即满足,|x-x,0,|,0,，,则在区间,(a,，,b),上一定没有零点,.(,),3),求任何函数的零点都可以用二分法,.(,),提示：,(1),.,函数,y=2x-1,的零点是,.,(2),.,如,f(x)=x,2,在区间,(-1,，,1),上有,f(-1)f(1),=1,1=10,，但是在区间,(-1,，,1),上有零点,0.,(3),.,函数需满足在区间,a,，,b,上连续不断且,f(a),f(b)0,，才能用二分法求零点,.,2.,下列图像表示的函数中没有零点的是,(,),【,解析,】,选,A.B,，,C,，,D,的图像均与,x,轴有交点，故函数均有零点，,A,的图像与,x,轴没有交点，故函数没有零点,.,3.,下列图像与,x,轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是,(,),【,解析,】,选,A.,只有,A,中图像没有穿越,x,轴,.,类型一函数零点所在区间的求法,【,典例,】,1.,若,abc,，则函数,f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b),(x-c)+(x-c)(x-a),的两个零点分别位于区间,(,),A.(a,，,b),和,(b,，,c),内,B.(-,，,a),和,(a,，,b),内,C.(b,，,c),和,(c,，,+),内,D.(-,，,a),和,(c,，,+),内,2.,函数,f(x)=2,x,-,的零点所在的区间是,(,),A.(1,，,+)B.,C.D.,【,思维,引,】,1.,根据函数零点存在定理，找到一个区间，使得在区间两端点函数值异号,.,2.,计算在各个区间端点处的函数值，利用零点存在定理判断,.,【,解析,】,1.,选,A.,因为,f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c),+(x-c)(x-a),，所以,f(a)=(a-b)(a-c),，,f(b)=,(b-c)(b-a),，,f(c)=(c-a)(c-b),，,因为,ab0,，,f(b)0,，,所以,f(a)f(b)0,，,f(b)f(c)0,，故,x,1,(a,，,b),，,x,2,(b,，,c),，,f(x,1,)=0,，,f(x,2,)=0,，,所以,f(x),的两个零点分别位于区间,(a,，,b),和,(b,，,c),内,.,2.选,B.f(1)=2-1=1,，,即,f f(1)0,，所以,x,0,，,f(x,0,)=0,，,且,f(x),的图像在 内是一条连续不断的曲线，,故,f(x),的零点所在的区间是,.,【,内化,悟,】,求函数零点所在区间的关键是什么？,提示：,判断区间端点处函数值与,0,的大小关系,.,【,类题,通,】,判断函数零点所在区间的三个步骤,(1),代入：将区间端点值代入函数求出函数的值,.,(2),判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断,.,(3),结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点,.,【,习练,破,】,对于方程x,3,+x,2,-2x-1=0,，有下列判断：在,(-2,，,-1),内有实数根；在,(-1,，,0),内有实数根；在,(1,，,2),内有实数根；在,(-,，,+),内没有实数根,.,其中正确的有,_.(,填序号,),【,解析,】,设,f(x)=x,3,+x,2,-2x-1,，,则,f(-2)=-10,，,f(0)=-10,，,f(1)=-10,，,所以,f(-2),f(-1)0,，,f(-1),f(0)0,，,f(1),f(2)0,，所以,x,1,(-2,，,-1),，,x,2,(-1,，,0),，,x,3,(1,，,2),，,f(x,1,)=0,，,f(x,2,)=0,，,f(x,3)=0.,则,f(x),在,(-2,，,-1),，,(-1,，,0),，,(1,，,2),内均有零点，即正确,.,答案：,【,加练,固,】,函数,f(x)=x,2,-2x+a,在区间,(-2,，,0),和,(2,，,3),内各有一个零点，则实数,a,的取值范围是,_.,【,解析,】,因为函数,f(x)=x,2,-2x+a,在区间,(-2,，,0),和,(2,，,3),内各有一个零点，由二次函数图像的性质，,知 解得,-3a0,，,f(2)0,，则,f(x),在,(1,，,2),上的零点世纪金榜导学号,(,),A.,至多有一个,B.,有一个或两个,C.,有且仅有一个,D.,一个也没有,【,思维引,】,1.,令,f(x)=0,，移项后转化为两个初等函数，利用图像的交点个数判断,.,2.,先确定函数，再分类讨论,a,的范围,.,【,解析,】,1.,选,C.,令,f(x)=-x,2,+1=0,，得,=x,2,-1,，,则函数,f(x),的零点个数，即,y=,与,y=x,2,-1,的交点,个数，如图所示，,有两个交点，故函数,f(x)=,-x,2,+1,有两个零点,.,2.,选,C.,若,a=0,，则,f(x)=bx+c,是一次函数，,由,f(1),f(2)0,，与已知矛盾,.,【,内化,悟,】,在不求零点的情况下怎样判断函数零点的个数？,提示：,转化为两个函数的图像的交点问题，几个交点就有几个零点,.,【,类题,通,】,利用函数的图像判断零点个数,(1),原理：函数的零点个数方程的根的个数移项拆分为两个函数，作图观察交点个数,.,(2),关键：拆分成的两个函数应方便作图,.,【,习练,破,】,函数,f(x)=x,2,-(k+2)x+1-3k,有两个不等零点,x,1,，,x,2,，且,0 x,1,1x,2,2,，求实数,k,的取值范围,.,【,解析,】,因为函数,f(x)=x,2,-(k+2)x+1-3k,有两个零点,x,1,，,x,2,，且,0 x,1,1x,2,0,，且,f(1)=-4k0,，所以,0k .,所以实数,k,的取值范围为,【,加练,固,】,函数,f(x)=2x-1,，,1),的零点个数为,_.,【,解析,】,令,2-=0,，解得,x=0,，所以函数仅有一个零点,.,答案：,1,类型三二分法的应用,角度,1,二分法概念的理解,【,典例,】,1.,用二分法求如图所示函数,f(x),的零点时，不可能求出的零点是,(,),A.x,1,B.x,2,C.x,3,D.x,4,2.,用二分法求函数,y=f(x),在区间,(2,，,4),上的近似解，验证,f(2)f(4)0,，给定精度为,0.1,，需将区间等分,_,次,.,【,思维,引,】,1.,根据二分法的定义判断,.,2.,根据二分法求零点的步骤判断,.,【,解析,】,1.,选,C.,二分法求函数,f(x),的零点时，函数必须满足在零点两侧的函数值异号，而题图中函数在零点,x,3,的两侧的函数值都是负值，故不能用二分法求出,.,2.,开区间,(2,，,4),的长度等于,2,，每经过一次操作，区间,长度变为原来的一半，经过,n,次操作后，区间长度变,为,因为用二分法求函数,y=f(x),在区间,(2,，,4),上的近似,解，要求精确度为,0.1,，所以 ,0.2,，解得,n4.,答案：,4,【,内化,悟,】,能用二分法求零点的函数图像有什么特征？,提示：,函数的图像应穿过,x,轴，零点左右的函数值符号相反,.,【,类题,通,】,运用二分法求函数的零点应具备的条件,(1),函数图像在零点附近连续不断,.,(2),在该零点左右函数值异号,.,只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点,.,【,习练,破,】,1.,下列函数中，不能用二分法求零点的是,(,),【,解析,】,选,D.,由函数图像可得，,D,中的函数没有零点，故不能用二分法求零点；,A,，,B,，,C,中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点,.,2.,下列函数的零点不能用二分法求解的是,(,),A.f(x)=x,3,-1B.f(x)=2x-1,C.f(x)=|x|D.f(x)=-x,2,+4x-1,【,解析,】,选,C.,所给函数均为连续函数，故只需考虑是否存在区间,a,，,b,，使得,f(a)f(b)0,即可,.,对于,A,，存在区间,0,，,2,，使得,f(0)f(2)0,，,对于,B,，存在区间,0,，,1,，使得,f(0)f(1)0,，对于,C,，由于,f(x)=|x|0,，,故不存在区间,a,，,b,，使得,f(a)f(b)0,，,对于,D,，存在区间,0,，,1,，使得,f(0)f(1)0.,角度,2,用二分法求函数的近似解,【,典例,】,1.,用二分法研究函数,f(x)=x,3,-2x-1,的零点时，若零点所在的初始区间为,(1,，,2),，则下一个有解区间为,(,),A.(1,，,2)B.(1.75,，,2),C.(1.5,，,2)D.(1,，,1.5),2.,已知函数,f(x)=x,3,+2x-8,的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如表所示：,x,1,2,1.5,1.625,1.75,f(x),-5.00,4.00,-1.63,-0.46,0.86,则方程,x,3,+2x-8=0,的近似解可取为,(,精度,0.1)(,),世纪金榜导学号,A.1.50B.1.625,C.1.75D.1.6875,【,思维,引,】,1.,确定有解区间要计算,f(1),，,f(2),，,f(1.5).,2.,首先确定有解区间，再验证是否满足精度,.,【,解析,】,1.,选,C.,对于函数,f(x)=x,3,-2x-1,，,因为,f(1)=-20,，,f(1.5)=-0因此,x,0,(1.5,，,2),，,f(x,0,)=0.,所以下一个有根区间是,(1.5,，,2).,2.,选,D.,由表格可得，,f(1.625),f(1.75)0,，,那么,x,0,(1.625,，,1.75),，,f(x,0,)=0,，,所以函数,f(x),的零点在,(1.625,，,1.75),之间，,又,1.75-1.625=0.1252,0.1=0.2,，,所以方程的零点可以取,【,内化,悟,】,1.,怎么样确定零点所在的区间？,提示：,取中点，计算中点的函数值，与端点函数值比较符号异同，在符号相异的一侧区间内,.,2.,怎样确定二分法终止的区间？,提示：,验证是否满足,|a-b|2.,【,类题,通,】,用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则,(1),需依据图像估计零点所在的初始区间,m,，,n,(,一般采用估计值的方法完成,).,(2),取区间端点的平均数,c,，计算,f(c),，确定有解区间是,m,，,c,还是,c,，,n,，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精度要求，终止计算，得到函数零点的近似值,.,【,习练,破,】,1.,用二分法求函数,f(x)=x,3,+5,的零点可以取的初始区间是,(,),A.-2,，,1B.-1,，,0,C.0,，,1D.1,，,2,【,解析,】,选,A.,二分法求变号零点时所取初始区间,a,，,b,，应满足,f(a),f(b)0.,本题中函数,f(x)=x,3,+5,，由于,f(-2)=-3,，,f(1)=6,，显然满足,f(-2),f(1)0,，因此,x,0,(-2,，,1),，,f(x,0,)=0,，故函数,f(x)=x,3,+5,的零点可以取的初始区间是,-2,，,1.,2.,用二分法求,f(x)=0,的近似解，,f(1)=-2,，,f(1.5)=0.625,，,f(1.25)=-0.984,，,f(1.375)=-0.260,，下一个求,f(m),，则,m=_.,【,解析,】,根据题意，方程,f(x)=0,的根应该在区间,(1.375,，,1.5),上，则,m=1.437 5.,答案：,1.437 5,【,加练,固,】,用二分法找函数,f(x)=2,x,+3x-7,在区间,0,，,4,上的零,点近似值，取区间中点,2,，则下一个存在零点的区间,为,(,),A.(0,，,1),B.(0,，,2),C.(2,，,3),D.(2,，,4),【,解析,】,选,B.,因为,f(0)=2,0,+0-7=-60,，又已知,f(2)=2,2,+6-7=30,，,所以,f(0)f(2)0,，因此,x,0,(0,，,2),，,f(x,0,)=0,所以零点所在区间为,(0,，,2).,角度,3,零点、二分法的综合应用,【,典例,】,若函数,f(x)=3x,2,-5x+a,的一个零点在区间,(-2,，,0),内，另一个零点在区间,(1,，,3),内，则实数,a,的取值范围是,_.,【,思维,引,】,根据函数的一个零点在区间,(-2,，,0),内，另一个零点在区间,(1,，,3),内，可以求出,f(-2),与,f(0),的关系和,f(1),与,f(3),的关系，再求出,a,的取值范围,.,【,解析,】,根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图像，如图：,由图可知,解得,-12a0.,答案：,(-12,，,0),