高考数学总复习 第6单元 平面向量与复数课件(理)苏教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六单元 平面向量与复数,知识体系,第一节 平面向量的概念及其线性运算,基础梳理,1.,向量的有关概念及表示法,名称,定义,表示法,向量,既有,又有,的量,;,向,量的大小叫做向量的,(,或,),向量,.,模,.,零向量,长度为,的向量,;,其方向是任意的,记作,.,单位向量,长度等于,个单位长度的向量,常用,表示,大小,方向,长度,模,0,0,1,e,平行向量,方向,或,的非零向量,a,与,b,共线可记为,;,0,与任一向量,.,共线向量,向量又叫做共线向量,相同,相反,平行,ab,平行,相等向量,长度,且方向,的向量,.,相反向量,长度,且方向,的向量,(1),a,的相反向量记作,;,a+0=0+a=a,a+(-a)=(-,a)+a,=,0,(2),0,的相反向量为,.,相等,相同,a=b,相等,相反,-a,0,2.,向量的线性运算,向量,运算,定义,法则,(,或几何意义,),运算律,加法,求两个向量和的运算,法则,法则,(1),交换律,:,a+b,=,;,(2),结合律,:(,a+b)+c,=,.,减法,求两个向量差的运算,法则,a-b,=,.,b+a,a+(b+c,).,三角形,平行四边,三角形,a+(-b),数乘,实数,与向量,a,相乘,(1)|,a,|=,.,(2),当,0,时,a,与,a,的方向,;,当,0,时,a,与,a,的方向,;,当,a,=0,时，,a,=0;,当,=0,时,a,=,.,(,a,)=,;,(,+),a,=,;,(,a+b,)=,.,3.,向量共线定理,非零向量,a,与向量,b,共线的充要条件,:,存在唯一一个实数,使,.,b=,a,(a0),相同,相反,0,a,+,a,a,+,b,典例分析,题型一 平面向量的有关概念,【,例,1】,给出下列五个命题,两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同,;,若,|,a,|=|,b,|,则,a,=,b,;,在,ABCD,中,一定有,;,若,m,=,n,n,=,p,则,m,=,p,;,若,a,b,b,c,则,a,c其中正确的序号是,_.,分析,在正确理解有关概念的基础上,注意特殊的情况,是解,决本题的关键,.,解,两个向量起点相同,终点相同,则两向量相等,;,但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,所以不正确,;|,a,|=|,b,|,但,a,b,方向不确定,所以,a,b,不一定相等,故不正确,;,零向量与任一非零向量都平行,当,b,=0,时,a,与,c,不一定平行,故不正确,.,正确,.,学后反思,(1),着重理解向量以下几个方面,:,向量的模,;,向量的方向,;,向量的几何表示,;,向量的起点和终点,.,(2),判定两个向量的关系时,要特别注意以下两种特别的情况,:,零向量与任何向量共线；单位向量的长度为,1,，方向不固定,.,举一反三,1.,已知下列命题：,如果非零向量,a,与,b,的方向相同或相反，那么,a,+,b,的方向必与,a,b,中的一个方向相同；,在,ABC,中，必有,若 ，则,A,B,C,为一个三角形的三个顶点；,若,a,与,b,均为非零向量，则 一定相等。,其中真命题的序号为,。,解析：,错误，,a,+,b,=,0,时，就不满足结论。,正确，,.,错误，,A,B,C,三点还,可以共线。,错误，只有,a,与,b,同向时才相等。,答案：,【,例,2】,如图,D,、,E,、,F,分别为,ABC,的三边,BC,、,AC,、,AB,的中点,.,求,证,:AD+BE+CF=0分析,在三角形中其他向量最好向三条边上的向量靠拢,即,用 来分别表示待求的向量,.,题型二 平面向量的线性运算,证明,AD=AC+CD,AD=AB+BD,2AD=AC+AB+CD+BD,即,2AD=AC+AB.,同理,2BE=BA+BC,2CF=CA+CB.,所以,2(AD+BE+CF),=AC+AB+BA+BC+CA+CB=0.,故,AD+BE+CF=0.,学后反思：,平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合,求解此类问题应注意,:,(1),结合图形,选择关系明确的一组不共线向量来表示其他向量,选择恰当的运算关系,.,(2),注意特殊点的应用,.,如线段,AB,的中点为,P,则有,(,其中,O,为任一点,).,举一反三,2.,已知,ABCD,，,若,用,a,表示,解析：,如图,题型三 向量的共线问题,【,例,3】,设两非零向量,a,和,b,不共线,如果,AB=,a,+,b,CD,=3(,a,-,b,),BC=2,a,+8,b,.,求证,:A,、,B,、,D,三点共线,.,分析,用向量法证明,A,、,B,、,D,三点共线,可以利用共线向量定理,得到,BD=,AB,(,或,AD=,AB,等,),BDAB,说明直线,BD,和,AB,平行或重合,;,因为有公共点,B,所以只能重合，从而由向量共线推出三点共线,.,证明,BC=2,a,+8,b,CB=-2,a,-8,b,BD=CD-CB3,a,-3,b,+2,a,+8,b,=5(,a,+,b,),BD=5AB.,由向量共线定理得,BDAB,又直线,AB,和,BD,有公共点,B,因此,A,、,B,、,D,三点共线,.,学后反思,(1),向量共线的充要条件中要注意当两个向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,;,要注意待定系数法的运用和方程思想,.,(2),证明三点共线问题,可用向量共线来解决,;,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,.,解题中应强调“直线,AB,和,BD,有公共点,B”,这一步骤,.,举一反三,3.,设两个非零向量,e,1,e,2,不共线,已知,AB=2e,1,+ke,2,CB=e,1,+3e,2,CD=2e,1,-e,2,.,若,A,、,B,、,D,三点共线,试求,k,的值,.,解析,：,BD=CD-CB=2e,1,-e,2,-(e,1,+3e,2,)=e,1,-4e,2,.,若,A,、,B,、,D,三点共线,则,ABBD;,从而存在唯一实数,使,AB=,BD,即,k,的值为,-8,时,A,、,B,、,D,三点共线,.,即,2e,1,+ke,2,=(e,1,-4e,2,),整理得,(2-)e,1,=-(k+4)e,2,e,1,、,e,2,不共线,题型四 向量知识的综合应用,【,例,4】,（,14,分,),已知向量,a=2e,1,-3e,2,b=2e,1,+3e,2,c=2e,1,-9e,2,其中,e,1,e,2,为两个非零不共线向量,.,问,:,是否存在这样的实数,使向量,d=,a+b,与,c,共线,?,分析,运用向量共线的条件,确定是否存在实数,k,使得,d=kc.,解,d=,a+b,=(2e,1,-3e,2,)+(2e,1,+3e,2,),=(2+2)e,1,+(3-3)e,2,4,要使,cd,则应存在实数,k,使,d=,kc,6,即,(2+2)e,1,+(3-3)e,2,=k(2e,1,-9e,2,)=2ke,1,-9ke,2,8,e,1,e,2,不共线,故存在这样的实数,只要满足,=-2,就能使,d,与,c,共线14,学后反思,设 不共线,若,则有,本题正是利用这一结论构造方程组来求解的,.,举一反三,4.,已知,ABC,的三个顶点,A,、,B,、,C,及平面内一点,P,满足,PA+PB+PC=0,若实数,满足,AB+AC=,AP,求,的值,.,解析,：,AB+AC=,AP,PB-PA+PC-PA=,AP,即,PB+PC-2PA=,AP,.,又,PA+PB+PC=0,PB+PC=-PA,-3PA=,AP,=-,PA,=3,.,考点演练,10.,已知直线,x=x=a,与圆 交与,A,B,两点，且 ，,其中,O,为坐标原点，求实数,a,的值。,解析：,如图所示，以,OA.OB,为边作,OABC,，则由,得：,OABC,为矩形。,由图像得，直线,y=-,x+a,在轴上的截距为,2.,a=2,11.,在四边形,ABCD,中，,E,F,分别是,AD,和,BC,的中点，求证：,方法二：取,BD,的中点,O,则,证明,:,方法一：如图，连接,EC,，,EB,，则,而,12.(2009,江苏模拟,),已知,O,为坐标原点，,A,（,0,，,2,），,B,（,4,，,6,），,（,1,）求证：当时，不论为何实数，,A,B,M,三点共线；,（,2,）若 ，求当,且,ABM,的面积为,12,时,a,的值,解析：,（,1,）,当 时，,A,M,B,三点共线。,(2),当 时，,故,点,M,到直线,AB:x-y+2=0,的距离为,解得,a=,2,，故所求,a,的值为,2.,第二节 平面向量的基本定理及坐标表示,基础梳理,1.,平面向量基本定理及坐标表示,(1),平面向量基本定理,定理,:,如果,e,1,e,2,是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量,a,有且只有 一对实数,1,2,使,a=,1,e,1,+,2,e,2,.,其中，不共线的向量,e,1,e,2,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,.,(2),平面向量的正交分解,一个平面向量用一组基底,e,1,e,2,表示成,a=,1,e,1,+,2,e,2,的形式,我们称它为向量,a,的分解,.,当,e,1,e,2,所在直线 互相垂直 时,这种分解也称为向量,a,的正交分解,.,(3),平面向量的坐标表示,一般地,对于向量,a,当它的起点移至原点,O,时,其终点的坐标,(,x,y,),称为向量,a,的,(,直角,),坐标,记作,a=(,x,y,).,若分别取与,x,轴、,y,轴方向相同的两个单位向量,i,、,j,作为基底,则,a=x,i+yj,.,2.,平面向量的坐标运算,(1),加法、减法、数乘运算,向量,b,b,a+b,a-b,a,坐标,(x,1,y,1,),(x,2,y,2,),.,.,.,(2),向量坐标的求法,已知,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),则,AB=(x,2,-x,1,y,2,-y,1),即一个向量的坐标等于该向量终点 的坐标减去 始点 的坐标,.,(3),平面向量平行,(,共线,),的坐标表示,设,a=(x,1,y,1,),b=(x,2,y,2,),其中,a0,则,a,与,b,共线,a=,.,典例分析,b,题型一 平面向量基本定理,【,例,1】,如图,在,OAB,中,AD,与,BC,交于点,M,设,以,a,、,b,为基底表示,.,分析,本题可用待定系数法,设,OM=,ma+nb(m,nR,),再利用向量的运算及共线向量的条件列出方程组,确定,m,n,的值,.,解,设,OM=m,a+n,b(m,nR,),则,AM=OM-OA=(m-1)a+n b,因为,A,M,D,三点共线,所以,即,m+2n=1.,又因为,C,M,B,三点共线,所以,即,4m+n=1,.,所以,学后反思,(1),在平面向量基本定理的应用中,当基底确定后,向量的表示是唯一的,.,合理地选取基底会给解题带来方便,.,(2),解决该类问题,用基底表示向量是基本方法,还应注意三角形法则、中点坐标公式的熟练应用,.,举一反三,1.,如图所示，,OADB,是以向量,=a,=b,为边的平行四,边形，点,C,为对角线,ABOD,的交点，又,BM=BC,CN=,CD,试用,a,b,表示,解析 ：,【,例,2】,已知点,A(-1,2),B(2,8),以及,求点,C,、,D,的坐标和,CD,的坐标,.,题型二 平面向量的坐标运算,分析,根据题意可设出点,C,、,D,的坐标,然后利用已知,的两个关系式,列方程组,求出坐标,.,解,设点,C,、,D,的坐标分别为,(x,1,y,1,),(x,2,y,2,),由题意得,AC=(x,1,+1,y,1,-2),AB=(3,6),DA=(-1-x,2,2-y,2,),BA=(-3,-6).,因为,所以有,所以点,C,、,D,的坐标分别是,(0,4),(-2,0),从而,CD=(-2,-4).,学后反思,向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只与起点、终点、相对位置有关,三者中给出任意两个,可求第三个,.,在求解时,应将向量坐标看作一“整体”，运用方程的思想求解,.,向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须熟练掌握,.,举一反三,2.,已知,A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且,CM=3CA,CN=2CB,求,M,、,N,及,MN,坐标,.,解析：,A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),CA=(1,8),CB=(6,3),CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6).,设,M(x,y,),则,CM=(x+3,y+4)=(3,24),同理可求,N(9,2),因此,MN=(9,-18).,题型三 平面向量的坐标表示,【,例,3】,平面内给定三个向量,a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).,(1),若,a+k,c)(2b-a),求实数,k;,(2),设,d=(,x,y,),满足,(,d-c)(a+b,),且,|,d-c,|=1,求,d.,分析,(1),由两向量平行的条件得出关于,k,的方程,从而求出实数,k,的值,.,(2),由两向量平行及,|,d-c,|=1,得出关于,x,y,的两个方程,解方程组即可得出,x,y,的值,从而求出,d.,解,(1)(a+kc)(2b-a),又,a+kc,=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,(2)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又,(,d-c)(a+b,),且,|,d-c,|=1,学后反思1),与平行有关的问题,一般地可考虑运用向量平行的充要条件,用待定系数法求解,.,(2),向量共线定理的坐标表示提供了通过代数运算来解决向,量共线的方法,也为点共线、线平行问题的处理提供了简单,易行的方法,.,解题时要注意向量共线定理的坐标表示本身具,有公式特征,应学会利用这一点来构造函数和方程,以便用,函数与方程的思想解题,.,举一反三,3.,已知梯形,ABCD,中，,则,A,（,1,，,1,），,B(3,-2),C(-,3,-7),若,。求,D,点坐标。,解析,设,D,点坐标（,x,y,),则,题型四 向量的综合应用,【,例,4】(14,分,),已知,O(0,0),、,A(1,2),、B(4,5),及,OP=,OA+tAB,试问,:,(1)t,为何值时,P,在,x,轴上,?,在,y,轴上,?P,在第二象限,?,(2),四边形,OABP,能否成为平行四边形,?,若能,求出相应的,t,值,;,若不能,请说明理由,.,(x-1)+10(y-1)=0,解得,x=-9,y=2,D,点坐标为（,-9,，,2,）,分析,利用向量相等,建立点,P(x,y,),与已知向量之间的关系,表示出,P,点的坐标,然后根据实际问题确定,P,点坐标的符号特征,从而解决问题,.,解,(1)O(0,0),A(1,2),B(4,5),OA=(1,2),AB=(3,3),OP=,OA+tAB,=(1+3t,23t).,若,P,在,x,轴上,则,2+3t=0,解得,若,P,在,y,轴上,则,1+3t=0,解得,若,P,在第二象限,则,(2)OA=(1,2),PB=PO+OB=(3-3t,3-3t),若四边形,OABP,为平行四边形,则,OA=PB,而 无解,故四边形,OABP,不能成为平行四边形,.,学后反思,(1),向量的坐标表示,实际上是把向量的运算代数化,从而实现了数与形的有机结合,.,这样很多的几何问题都可以转化为代数的运算,体现了向量的优越性,.,(2),利用设出参数求参数是解决向量坐标运算问题的常用方法,而方程,(,组,),是求解的重要工具,这一方法需灵活应用,.,举一反三,4.,如图所示,已知点,A(4,0),B(4,4),C(2,6),求,AC,和,OB,交点,P,的坐标,.,解析,方法一,:,设,P(x,y,),则,OP=(,x,y),OB,=(4,4).,OP,OB,共线,4x-4y=0.,又,CP=(x-2,y-6),CA=(2,-6),且向量,CP,、,CA,共线,-6(x-2)+2(6-y)=0.,解由组成的方程组,得,x=3,y=3,点,P,的坐标为,(3,3).,方法二,:,设,OP=,tOB,=t(4,4)=(4t,4t),则,AP=OP-OA=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),AC=(2,6)-(4,0)=(-2,6).,由,AP,AC,共线的充要条件知,(4t-4)6-4t(-2)=0,解得 ，,OP=(4t,4t)=(3,3),，,点,P,的坐标为,(3,3).,易错警示,【,例,】,已知点,A(1,2),点,B(3,6),则与,AB,共线的单位向量为,.,错解,由,A(1,2),B(3,6),知,AB=(2,4),错解分析,与,AB,共线有两种情况一是同向共线,一是,反向共线,错解中忽略了反向共线这一情况,正解,与,AB,同向时为,与,AB,反向时为,【,例,2】,已知,A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),，向量 平行,吗？直线,AB,平行于直线,CD,吗？,错解分析,在证明三点共线或直线平行时，直接由 得,AB,CD,，这是不正确的。因为向量平行与直线平行存在一定的差异：,向量平行不等于对应的直线平行，还可能出现直线的重合；而直线平,行时，对应的向量平行。所以解题时应区分开这一点。,正解,=,（,2,，,4,），,=,（,1,，,2,），,22,41=0,，,又,=,（,2,，,6,），,=,（,2,，,4,），,A,B,C,三点不共线，直线,AB,与直线,CD,不重合，,ABCD.,错解,=,（,1,（,-1,），,3,（,-1,）,=,（,2,，,4,），,=,（,2-1,，,7-5,）,=,（,1,，,2,），又,22,41=0,，,，,ABCD.,考点演练,10.,已知,a=1,2),b=(-3,2),若,ka+b,与,a-3b,平行，求,k,的值。,解析,方法一：,ka+b,=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),当,ka+b,与,a-3b,平行时，存,在唯一实数 ，使,ka+b,=(a-3b),(k-3,2k+2)=(10,-4),方法二：,ka+b,=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),(,ka+b,)(a-3b),(k-3)(-4),10(2k+2)=0,k=-,11.,已知,ABC,中，,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,、,N,是分别,AB,、,AC,的中点，,D,是,BC,的中点，,MN,与,AD,交与,F,，求,解析,如图所示，,A(7,8),B(3,5),C(4,3),=(3-7,5-8)=(-4,-3),=(4-7,3-8)=(-3,-5).,D,是 的中点，,又,M,、,N,分别为,AB,、,AC,的中点，,F,为,AD,的中点,12.,在,ABCD,中，,A(1,1),=(6,0),点,M,是线段,AB,的中点，线段,CM,交,BD,于点,P,(1),若,=,（,3,，,5,）求点,C,的坐标,;,(2),当 时，求点,P,的轨迹,解析,（,1,）设点,C,的坐标为（），,又,即（）,=,（,9,，,5,），即点,C,（,10,，,6,）,（,2,）设,P(),则,，,ABCD,为菱形，,故点P,的轨迹是以（,5,，,1,）为圆心，,2,为半径的圆去掉与直线,y=1,的两个交点,.,第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用举例,基础梳理,1.,两个向量的夹角,(1),定义,已知两个 非零 向量,a,和,b,作,OA=,a,OB,=b,则,AOB=,叫做向量,a,与,b,的夹角,.,(2),范围,向量夹角,的范围是,0180 ,a,与,b,同向时,夹角,=,;a,与,b,反向时,夹角,=,.,(3),向量垂直,如果向量,a,与,b,的夹角,=90,则,a,与,b,垂直,记作,.,ab,2.,平面向量的数量积,(1),平面向量数量积的定义,已知两个非零向量,a,和,b,它们的夹角为,我们把数量,叫做向量,a,和,b,的数量积,(,或内积,),记作,ab,即,ab,=,并规定：零向量与任一向量的数量积为,.,(2),一向量在另一向量方向上的投影,定义,:,设,是非零向量,a,和,b,的夹角,则,叫做,a,在,b,的方向上的投影,|,b|cos,叫做,投影,.b,在,a,的方向上的投影是一个实数,而不是向量,当,090,时,它是,当,900,即若,f(x,),在,(-1,1),上是增函数,则,t,的取值范围为,5,+).,学后反思,新课标强调向量的工具性,要求加强向量与三角、函数、解析几何、立体几何等知识的联系,因此,把函数、向量、导数等知识进行综合必将是高考的趋势,.,本题实质上是应用导数解决函数的单调性问题,向量起到构造函数关系的作用,一旦求出函数解析式,f(x,)=-x,3,+x,2,+tx+t,就可以用导数等知识解决,.,解题时应分清层次,明确向量在综合问题中的作用,把复杂问题分解为多个简单问题来解决,.,举一反三,4.,已知向量,OA=(3,-4,），,OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),(1),若点,A,B,，,C,能构成三角形，求实数,m,应满足的条件；,(2),若,ABC,为直角三角形，且,A,为直角，求实数的,m,值,。,解析：,（,1,）已知向量,若点,A,B,C,能构成三角形，则这三点共线，,故知,3(1-m)2-m,满足条件。,2,）若,ABC,为直角三角形，且,A,为直角，则,3,（,2-m)+(1-m)=0,解得,易错警示,【,例,1】,下列命题正确的序号是,。,若,a,b,b,c,则,ac,若 是平面内一组非零向量，则由 ，,得,x=y=0;,若 ，且,c,o,则,a=b;,在,ABC,中，若有 ，则,ABC,为钝,角三角形；,与,c,垂直,错解：,错误分析：,认为正确，在于忽略了零向量和任意向量平行这一性质，只有非零向量的平行性才具有传递性；认为正确，原因是审题错误，只有强调 、不共线才有此结论；认为,正确，在于将向量数量积运算与实数运算律混淆了，向量数量积运算不满足结合律，这是因为 表示与,c,共线的向量，而 表示与,a,共线的向量，而,a,和,c,的方向并不一定一致；,同,的错误一样，数量积的运算不满足消去率，由数量积的意义只需,a,和,b,在,c,方向上投影相同即可；认为正确，错误在于忽视向量夹角的概念，,0,说明,B,的补角为钝角，故此时三角形形状不确定。,正解,；由于,=,故结论成立。,【,例,2】,设 是夹角为的两个单位向量，且,，求 的值。,错解：,错解分析,:,上面的解法错误的认为 是分别与,x,轴、,y,轴方向相同的单位向量。,正解,考点演练,10.,（,2009,重庆）设,ABC,的三个角为,A,B,C,向量,求,C,解析：,11.,求与向量 夹角相等，且模为,的向量,c,的坐标,.,解析：,如图，设,c=(,x,y,),则,由得 或,12.,（,2009,江苏）设,a=(4cos,sin,),b,=(sin,4cos,),c,=(,cos,-4sin).,（,1,）若,a,与,b-2c,垂直，求,tan(+,),的值；,（,2,）求,|,b+c,|,的最大值,.,(3),tantan,=16,求证：,ab,解,因为,a,与,b-2c,垂直，,a(b-2c)=4cossin-8cos,cos,+4sin,cos,+8sin,sin,=4sin(+)-8cos,（,+,）,=0,tan(+,)=2.,2,）由,b+c,=(sin,+cos,，,4cos-4sin,得,又当,(,kZ,),时，“,=”,成立，所以,|,b+c,|,的最大值为,（,3,）证明：由,ab,第四节 数系的扩充与复数的引入,基础梳理,1.,复数的概念及分类,(1),概念,:,形如,a+bi(a,bR,),的数叫复数,其中,a,b,分别为它的,和,。,实数,:,若,a+bi,为实数,则,。,(2),分类 虚数,:,若,a+bi,为虚数,则,。,纯虚数,:,若,a+bi,为纯虚数,则,.,(3),相等复数,:,a+bi,=,c+di,a=,c,b,=,d(a,b,c,dR,).,实部,虚部,b=0,b0,a=0,b=0,2.,复数的加、减、乘、除运算法则,设 则,(1),加法,:a+bi)+(c+di,)=,;,(,a+c)+(b+d)i,(2),减法,:z,1,-z,2,=(,a+bi)-(c+di,)=,;,(3),乘法,:z,1,z,2,=(,a+bi)(c+di,)=,;,(4),乘方,:,z,m,z,n,=,z,m+n,(z,m,),n,=z,mn,(z,1,z,2,),n,=z,n,1,z,n,2,;,(a-,c)+(b-d)i,(ac-,bd)+(bc+ad)i,(5),除法,=,.,3.,复平面的概念,建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,.,叫做实轴,叫做虚轴,.,实轴上的点都表示,;,除原点外,虚轴上的点都表示,.,复数集,C,和复平面内,组成的集合是一一对应的,复数集,C,与复平面内所有以,为起点的向量组成的集合也是一一对应的,x,轴,y,轴,实数,纯虚数,有序实数对,(,a,b,),原点,4.,共轭复数,把,相等,的两个复数叫做互为共,轭复数,复数,z=,a+bi(a,、,bR,),的共轭复数记作,.,实部,虚部互为相反数,4.,共轭复数,把实部 相等,虚部互为相反数 的两个复数叫做互为共轭复数,复数,z=,a+bi(a,、,bR,),的共轭复数记作,即,=a-bi (,a,bR,).,5.,复数的模,向量,OZ,的模叫做复数,z=,a+bi(a,bR,),的模,(,或绝对值,),记作,|z|,或,|,a+bi,|,即,6.,复平面内两点间距离公式,两个复数的 差的模 就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离,.,设复数,z,1,z,2,在复平面内的对应点分别为,Z,1,Z,2,d,为点,Z,1,和,Z,2,的距离,则,d=|Z,2,Z,1,|.,典例分析,题型一 复数的概念,【,例,1】,已知复数,z=m,2,(1+i)-m(3+i)-6i,则当,m,为何实数时，复数,z,是,(1),实数,?(2),虚数,?(3),纯虚数,?(4),零,?(5),对应点在第三象限,?,分析,复数,z=,a+bi,的分类取决于其实部,a,与虚部,b,的不同取值,.,解,z=(m,2,-3m)+(m,2,-m-6)i=m(m3)+(m+2)(m-3)i.,(1),当,m=-2,或,m=3,时,z,为实数,;,(2),当,m-2,且,m3,时,z,为虚数,;,(3),当,m=0,时,z,为纯虚数,;,(4),当,m=3,时,z=0;,当,m(0,3),时,z,对应的点在第三象限,.,学后反思,利用复数的有关概念求解,使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，也是化归思想的重要表现,.,举一反三,1.,已知复数 ，试添加,a,b,的条件，使之满足下列要求。,(1),使复数,z,为纯叙述的充要条件；,(2),使复数,z,为纯虚数的一个充分必不要条件。,解析,：（,1,）由已知得 ，所以,z,为纯虚数的充要条件是,a=b,且,ao.,(2),由（,1,）得，条件,a=bo,和,a=-b0,都可以作为,z,为纯虚数的充分,不必要条件。,题型二 复数代数形式的运算,【,例,2】,计算：,分析,:,熟练掌握复数代数形式的运算法则及,i,的方幂的运算,和 等运算结果，能使运算更加便捷。,解,原式,=,学后反思,在进行复数代数形式的运算时，要注意形式上的,特点，寻找更简便的方法。,举一反三,2.,求,7+24i,的平方根,.,解析,：设平方根为,x+yi(x,yR,),则,故,7+24i,的平方根为,4+3i,或,-4-3i.,题型三 复数集上的代数方程,【,例,3】(14,分,),已知,1+i,是方程,x,2,bx+c=0,的一个根（,b,cR,）,.,(1),求,b,c,的值,;,(2),试证明,1-i,也是方程的根,.,分析,把方程的根代入方程，用复数相等的充要条件求解,.,解,(1),因为,1+i,是方程,x,2,+bx+c=0,的根,(1+i)2+b(1+i)+c=0,即（,b+c,）,+(2+b)i=0,2,所以,b,c,的值分别为,b=-2,c=2.6,(2),证明：因为方程,x,2,-2x+2=0,把,1-i,代入方程左边,得,x,2,-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,即方程成立,1-i,也是方程的根,.,学后反思,(1),对于实系数一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),当,b,2,-4ac,0,时，在复数集上有两个共轭虚根,根与系数的关系在复数集上仍成立,.,(2),对于虚系数一元二次方程一般利用复数相等来求解,.,举一反三,3.,已知关于,x,的方程,x,2,-(2+i)x-a+3i=0,有一实根，且,a,为实数,.,求,a,的值及方程的这个实根,.,解析,设实根为,x,0,则,x,2,0,-(2+i)x,0,-a+3i=0,，,整理得,x,2,0,-2x,0,-a+(3-x,0,)i=0,解得 ，故,a=3,，方程的实根为,3.,易错警示,【,例,】m,取何实数值时，复数,(1),是实数？,(2),是虚数？,(3),是纯虚数？,错解,(1),当 时，即,m=2,或,m=-5,时，,z,是实数,.,(2),当 时，即,m-5,且,m2,时，,z,是虚数,.,(3),当,即,时，,z,是纯虚数,.,错解分析,本题出错的原因是漏掉了,m,2,-25,在分母上这一条件,.m5,在整个问题的解决中是个易错之处，应引起注意,.,正解,(1),当,即,m=2,当,m=2,时，,z,是实数,.,(2),当,当,m5,且,m2,时,z,是虚数,.,(3),当,即 时，,z,是纯虚数,.,考点演练,10.,若,z(1+i)=2,则,z,的虚部是,。,解析,:,由,答案：,-1,11.,已知复数 在复平面内对应的点在第三象,限，求实数,x,的取值范围,.,解析：,x,为实数，都是实数。,由题意，得,故,x,的取值范围是,1x2.,12.(2010.,江苏启东模拟）已知复数,则 的最大值,解析：,由,即得直线方程为,kx-y,=0,圆 的圆心（,2,，,0,）到直线,kx-y,=0,的距离,的最大值为,答案：,