概率论第二章辅导.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 二 章,随 机 变 量 及 其 分 布,1,第二章 随机变量及其分布,一 主要内容,1.,随机变量的分布函数,2.,分布函数的性质,3.,离散型随机变量及其分布函数,4.,常见离散型随机变量及其分布律,(1).,两点分布,(2),二项分布,(3),泊松分布,5.,连续型随机变量及其分布函数,2,6,常见连续型随机变量及其分布密度,(1),均匀分布,(2),正态分布,(3),指数分布,7.,随机变量简单函数的分布,3,二,.,应记忆的公式,(1),(2),计算公式,:,离散,型,连续型,(3),若,XN 则,Y=N(0,1),(4),常见,6,种随机变量的分布律或分布密度,4,(5),正态分布概率的计算公式,若,XN ,则,1),2),3),4),5,三 例题分析,例,1,从一批产品包括,10,件正品,3,件次品中重复抽取,每次取,1,件直到取得正品为止，若每件产品被抽到的机会相同,求抽取次数,X,的分布律,解,P(X=1)=10/13,P(X=2)=(3/13)*(10/12)=5/26,P(X=3)=(3/13)*(2/12)*(10/11)=5/143,P(X=4)=(3/13)*(2/12)*(1/11)*(10/10)=1/286,故,X,的分布律为,X,1,2,3,4,P,10/13,5/26,5/143,1/286,6,例,2,设随机变量,X,的分布密度为,试求,X,的分布函数,F(x),.,解：,当,x0,时，,当 时，,当 时,，,7,当 时，,故,X,的分布函数为,例,3,设随机变量,X,的分布律为,X,-2,-1,0,1,3,P,1/5,1/6,1/5,1/15,11/30,8,求 的分布律。,解：,由,X,的分布律有,Y,取值为,4,1,0,9,PY=0=PX=0=1/5,PY=1=PX=-1+PX=1=1/6+1/15=7/30,PY=4=PX=2+PX=-2=0+1/5=1/5,PY=9=PX=3+PX=-3=11/30+0=11/30,故,Y,的分布律为,Y,0,1,4,9,P,15,730,15,1130,9,例,4,设随机变量,X,的分布函数为,求,:,（,1,）,A,的值；,（,2,）,X,落在（,0.2,0.6,）内的概率；,(3,）,X,的密度函数,f,（,x,）,。,解,:,（,1,）由,F(x),连续性有,F(1)=,而,而,F(1),1,故,A=1,10,(2)P0.2X0.6=F(0.6)-F(0.2)=,(3),当,当,故,例,5,已知随机变量,X,P|X-10|c=0.95,PXd=0.023,确定,c,和,d,的值。,解：,已知,P|x-10|c=P|X-10|/2c/2,=,11,所以 查表得,c/2=1.96,故,c=3.92,又已知,PXd=,查表得,既,d=6,例,6,设随机变量 ，且已知,试求,X,落在区间（,9.95,10.05,）内的概率,.,12,解：,例,7,设随机变量,X,的概率分布为,求,X,的分布函数,F(x),.,解：,当,x,1,时,，,F,（,x,）,0,当 ，,F(x),=P(X=-1)=1/6,X,-1,2,3,P,1/6,1/2,1/3,13,当 ，,F(x),=P(X=-1)+P(X=2),=1/6+1/2=2/3,当 时,F(x),=PX=-1+PX=2+PX=3=1,故,14,第二章 随机变量及其分布,练习与答案,1,一批产品，其中有,9,件正品，,3,件次品。现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取到正品以前已取出次品数的分布列、分布函数。,2,重复独立抛掷一枚硬币，每次出现正面的概率为,出现反面的概率为 ，一直抛到正反都出现为止，求所需抛掷次数的分布列。,3,对目标进行,5000,次独立射击，设每次击中的概率为,0.001,，求至少有两次命中的概率。,15,4,已知某元件使用寿命服从参数,的指数分布（单位：小时）。（,1,）从这类元件中任取一个，求其使用寿命超过,5000,小时的概率；（,2,）某系统独立地使用,10,个这种元件，求在,5000,小时之内这些元件不必更换的个数的分布律,5,某加工过程，若采用甲工艺条件，则完成时间 ；若采用乙工艺条件，则完成时间 。（,1,）若要求在,60,小时内完成，应选何种工艺条件？（,2,）若要求在,50,小时内完成，应选何种工艺条件？,16,6,设某批零件的长度服从,，,现从这批零件中任取,5,个，求正好有,2,个长度小于的概率。,7,设分别为服从 的随机变量，求 的概率密度函数,.,8,设流入某水库的总水量（单位：百万立方米）服从上的均匀分布，但水库最大容量为,7,，超过,7,的水要溢出，求水库存水量的分布函数,.,9,在箱中装有,12,只球，其中,2,只黑球，现从箱中随机地抽取两次，每次抽取一球，用 分别表示第一次与第二次取得的黑球数，试分别对有放回抽取与无放回抽取两种情况：（,1,）写出 的联合分布列；（,2,）判断 是否独立。,17,10,设 的联合密度函数为,求（,1,）常数 ；（,2,）；,（,3,）；（,4,）是否独立,。,11,设相互独立，且密度函数分别为,求,.,12,设 相互独立，均服从标准正态分布,求 的密度函数。,18,13,设随机变量（）的概率密度为,求 的概率密度。,19,参考答案,1,分布列,P,2,3,4,（,1,）；（,2,）,5,（,1,）,两种工艺均可；（,2,）选甲为好,6,20,7,（,1,）,；（,2,）；,（,3,）；,8,9,（,1,）,有回放：,0 1,0,1,此时，相互独立,21,（,2,）,无回放：,0 1,0,1,此时，不独立,10,（,1,）；（,2,）；（,3,）,（,4,）相互独立,11,12,22,13,23,