刚体力学课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,经典力学,（上）电子课件,易凡,经典力学（上）,第四章,刚体力学,4.1,刚体的运动,刚体,是这样一种质点组，组内任意两质点间的距离保持不变；,是形状和大小均不发生改变的物体（特殊的质点系）。,一、刚体,(rigid body),说明：,在外力的作用下,任意两点均不发生相对位移；,内力无穷大的特殊质点系,内力做功为零；,理想模型,.,二、刚体的自由度,自由度,描述一个力学体系在空间的几何位形所需要的独立变量数,自由质点，自由度为,3,，独立变量为：,直角坐标系：,x,，,y,，,z,柱面坐标系：,r,，,，,z,球面坐标系：,r,，,，,N,个自由质点的质点系，自由度为,3N,约束,对力学系统的运动所施加的限制,如限制在平面作运动的自由质点，,（一个约束条件）,自由度为：,S,3,1,2,受到约束的质点系，其自由度会降低。,N,个质点的质点系，并有,k,个约束，描写该质点系运动的自由度为：,S=3N,k,距离保持不变的二质点系，在直角坐标系下，两质点的位矢为,约束条件为,该二质点系的自由度为：,S,32,1,5,自由刚体的自由度数是,6,非自由刚体的自由度数,6,三、刚体运动的几种基本形式,平动,在刚体上选任意两点连一条直线，在运动过程中，该条直线的方位保持不变（与初始方位保持平行）,运动特点,刚体上各点的运动状态（速度，加速度）完全一样,自由度,S,3,可将作平动的刚体视为质点来研究，常将质心作为代表点,彼此距离保持不变，且不共线三个质点构成的质点系。其自由度为：,S,3,3,3,6,刚体的自由度,自由刚体的自由度,S=6,定轴转动,在刚体运动时，若存在着两点，过这两点连一条直线，则该直线上任意点保持不动，该条直线称为（固）定转轴，刚体绕固定轴转动，这种运动为称,定轴转动,运动特点,刚体上各点在垂直于转轴的平面内作圆周运动，,且在相同时间内转过相同的角度，角位移，角速度和角加速度均相同。,自由度,S,1,如方位角,可确定质点的位置,平面平行运动,在刚体运动过程中，其上每一点都在与某固定平面相平行的平面内运动，这种运动为称,平面平行运动,运动特点,刚体内任一与固定平面相垂直的直线上所有点的运动状态完全一样,在研究作平面平行运动的刚体时，只需考察刚体上与固定平面相平行的任一剖面即可,自由度,S,3,定点转动,在刚体运动过程中，在空间总存在固定点，其位置保持不变，刚体绕着该点转动，这种运动为称,定点转动。,运动特点,作定点转动的刚体，在任一瞬时总可视为是绕过固定点的瞬时轴转动。（瞬时轴的方位在变化）,自由度,S,3,一般运动 （自由刚体）,刚体不受任何约束的运动。可视为刚体随某基点（通常是质心）的平动与刚体绕基点作定点转动的组合。,自由度,S,3,3,6,一般来说，刚体的任何运动都可以分解为基点的平动及绕基点的定点转动。,选择不同的基点，平动速度就不同；,而转动角速度则与基点的选择无关，不管选择刚体上哪一点，角速度矢量的方向及大小都不变。,刚体的这一重要性质，称为刚体角速度的绝对性。,四、刚体的内力作功为零,注意刚体的一个特点：,内力所作的总功为零。,证明：,试考察刚体的第,j,个质点与第,k,个质点，相互作用的一对内力,F,jk,与,F,kj,；,如刚体稍微改变其位置，第,j,个质点与第,k,个质点的位移各为,dr,j,与,dr,k,；,则这一对内力所作功的和为：,由于刚体内任意两质点间的距离保持不变，故有：,微分一次，得：,即：,而,于是知刚体的内力作功为零。,于是，对于刚体，动能定理就成为：,若外力的功可分为保守力作的功和非保守力作的功，而保守力作的功可以用势能的减少来表达，即：,于是刚体的功能原理为：,若,，则可得刚体的机械能守恒定律：,对于刚体，不仅在质心运动定理与动量矩定理中无须计及内力，就连在动能定理中也无须计及内力，这是不同于一般质点组的。,刚体的内力作功为零（续）,4.2,刚体的定轴转动,一、,角速度,平均角速度,角位移,在,t,时间内，刚体绕转轴转过的角度,不是矢量，它并不满足矢量运算交换率法则,不是矢量，它并不满足矢量运算交换率法则,角速度,角速度定义为,（弧度,/,秒）,大小,方向,转动平面的正法向（逆时针转动）,角加速度,（弧度,/,秒,2,）,角量与线量的比较,角量,线量,线量与角量的关系,线速度与角速度的关系,速度,加速度,O,O,二、转动定理,作定轴转动刚体的角动量,O,i,O,z,在转轴上任选一点,O,为参考点，刚体上任一小质元,m,，其位矢 ，线速度 ，相对于,O,的角动量为,即有,总角动量,在直角坐标系中的描述,几点说明,通常，角动量,J,与角速度,的方向并不一致，二者间有一个夹角；,当,为常量，,J,的方向也可能随时间改变（,Jz,分量不变，,J,h,分量的方向变化）,当转轴为刚体的对称轴时,，,J,与,方向平行。在轴对称位置的任意两质元,m,i,和,m,j,，总有,令,I,称为刚体相对于转轴的,转动惯量,(,惯性矩）,则,刚体相对于固定转轴的角动量具有的形式,转动定理,据质点组的角动量定理,（方向与轴向垂直）,令,（轴向）,说明,刚体作定轴转动，通常受到力矩的作用,当转轴为刚体的对称轴时，,称为转动定律,此式是刚体作定轴转动时沿转轴（即,z,轴）方向的动力学方程，常称为,转动定律,。它就是角动量定理沿固定轴方向的分量式。它表明，对作定轴转动的刚体，外力矩沿固定轴的分量的代数和等于对该轴的转动惯量与角加速度的来积。刚体定轴转动的角动量定理,讨论力矩对时间的积累效应。,质点系：,对点：,对轴：,刚体：,刚体定轴转动的角动量定理,刚体定轴转动的角动量守恒,刚体相对于转轴的角动量守恒,当外力矩为,0,，,大小不变,正负不变,对刚体系，,L,外,z,=,0,时,此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。,克服直升飞机机身反转的措施：,装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩,装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消,滑冰运动员的旋转,猫的下落（,A,）,猫的下落（,B,）,三、转动惯量（惯性矩）,定义：刚体相对于固定转轴的转动惯量,I,为,对于确定的转轴，,I,仅与刚体的质量大小和分布有关,或,几种典型形状刚体的转动惯量,圆环,圆柱,圆筒,圆球,细棒,球壳,回转半径,圆环,转动惯量总可以写成,如圆筒,圆球,细棒,球壳,k,称为回转半径,四、定轴转动刚体的动能及动能定理,动能,力矩作功（内力作功,0,）,刚体作定轴转动时，刚体上任一点作圆周运动。,考虑任意质元,m,i,，距转轴,i,。受外力,F,i,作用，,m,i,的位移为：,m,i,的角位移：,F,i,作的元功：,而,外力矩作元功：,外力矩作总功：,刚体作定轴转动的动能定理,4.3,刚体的平面平行运动,一、基点法处理平面平行运动,平面平行运动,刚体随基点的平动刚体绕过基点的定轴转动,说明,基点可以任意选择；,角速度与基点的选择无关，这即是刚体角速度的绝对性；,通常将质心作为基点,O,P,A,A,B,C,D,A,B,C,D,A,B,D,B”,D”,1,2,C”,1,2,几何证明,与基点的选择无关，通常将质心选作基点,证明：,O,为固定参考点，,P,为刚体上任一点，考察,P,点的速度,P,A,B,O,以,A,为基点,以,B,为基点,以,A,为基点，考察,B,点的速度,将（,3,）式代入（,2,）式得,即,或,而,即,所以,二、刚体作平面平行运动的动力学方程,质心（基点）的平动,求质心的运动，利用质心运动定理即可求得质心的运动，这里,F,表示所有外力的矢量和，,M,是刚体的总质量。,由于质心的运动（设为,x-y,平面）是二维的，故方程只有两个分量方程。,刚体绕过质心的固定轴转动,在质心坐标系中讨论刚体绕通过质心并垂直于空间固定平面（,x-y,平面）的,z,轴的转动。根据转动定律，取过质心的转轴为,z,轴，有,L,C,是外力对质心的力矩在,z,轴方向分量的代数和，,是绕轴转动的角加速度。,在过质心的转轴是对称轴（或惯量主轴）的情况下，这也就是合力对质心的力矩。,尽管质心系为非惯性系，但惯性力对质心并无力矩。,三、功能原理,按照柯尼希定理，质点组的总动能,E,k,等于相对于质心系的动能,E,kC,，加上刚体整体随质心平动的动能,m,C,v,C,2,/2,。,对于刚体的平行平面运动，动能为平动动能与转动动能之和，即为：,三、,功能原理（续）,由质心运动定理：,得：,由绕质心转动的角动量定理：,得：,即外力所作的功：,三、,功能原理（续）,故刚体的功能原理为：,即刚体动能的改变等于外力对于质心所作的功加上关于质心的外力矩作的功。,注意：若不取质心作基点，就不能如此分解，可见质心作基点的重要性。,三、,功能原理（续）,刚体的重力势能,C,h,C,h,i,E,p,=0,m,i,对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。,纯滚动的运动学判据,四、,纯滚动与,瞬时转动中心,接触面之间有相对滑动的滚动称为,有滑动滚动,接触面之间无相对滑动的滚动称为,无滑动滚动,，或称,纯滚动,对于纯滚动，除满足刚体运动的动力学方程外，还应满足约束条件：,C,p,A,B,D,E,F,纯滚动的运动学判据,四、,纯滚动与,瞬时转动中心,约束公式,上式为纯滚动的运动学判据；,其中,v,C,a,C,是圆心（通常即质心）的速度和切向加速度的大小，,和,为滚动物体的角速度和角加速度（即物体在质心参照系中的角速度和角加速度），,R,是滚动物体的圆半径。,上式不论对于平面上的滚动或曲面上的滚动都成立。,在任何瞬时，作平面平行运动的刚体上（或其延伸体）总有一点,P,，其速度,v,P,0,，该,P,点称为,瞬时转动中心,，,简称,瞬心。,在此瞬间，整个刚体可视为绕此点转动（实际上是绕过此点垂直于运动平面的转轴转动）。,例如在平面上作纯滚动的圆柱体或球与平面的接触点就是它的瞬心。如图所示，在该瞬间，刚体绕,P,点转动。,四、,纯滚动与,瞬时转动中心,瞬时转动中心,瞬心的几点说明,代表瞬时转轴位置的瞬心可以在刚体上，也可以在刚体外与刚体保持刚性连结的空间点上；,经无限多次绕一系列的瞬心的转动实现了平面平行运动,刚体在作平面平行运动中过程中，通常瞬心在空间运动，若瞬心不随刚体的运动而变化，则该瞬心为定轴,由于刚体剖面点上所有点在瞬时都绕瞬心作转动，,在所考察瞬时附近的时间内，刚体的平面平行运动变为绕固定轴的转动，将问题简化，这也是瞬心（轴）的意义；,四、,纯滚动与,瞬时转动中心,通常，瞬心具有加速度，瞬心参照系不是惯性系，对于作平面平行运动的刚体，在相对瞬时转轴应用转动定律时，必须考虑惯性力的力矩。但在一般情况下，惯性力对瞬时转轴的力矩并不为零，这一点与取质心为基点的情况不同。,对于,均质或质量呈轴对称分布的圆形刚体作纯滚动时,，,瞬心相对惯性系的加速度（也就是瞬心平动参考系的加速度）平行于瞬心与刚体质心的连线，,因此，,惯性力对瞬心的力矩为零,。,瞬心的几点说明（续）,轴对称刚体，绕,瞬时转轴的转动定理：,瞬心的几点说明（续）,其中：,L,p,:,关于过,p,点转轴的力矩,I,p,:,关于过,p,点转轴的转动惯量,如何确定瞬心,几何法,在任一瞬时，截面上任一点的速度方向均与该点相对瞬心的位置矢量垂直利用这一性质，已知截面上任两点的速度方向也可求得瞬心的位置，只要过这两点引两条与速度方向垂直的直线，两直线的交点即为瞬心的位置，如图所示。,如何确定瞬心,计算法,若已知刚体上一点,A,的位矢、速度和角速度，则瞬心的位矢为,例 一半径为,r,的小球在半径为,R,的半球形碗的内壁作无滑滚动，以,代表极角，试导出 与角速度,的关系式。,R,O,C,P,【,解,】,c,为小球的质心，小球任一点的运动可分解为球整体随,c,的平动和该点相对于,c,的转动。因为小球作,无滑滚动，所以球与碗的接触点,P,即是瞬心。应满足,其数值关系为,应为,c,点绕碗心,o,作圆周运动，故有,代入上式得,五,.,惯量张量,x,y,z,o,选,o,xyz,坐标系下,五,.,惯量张量,O,为固定点，讨论过,O,点的任意转轴情况,由,得,代入,1.,动量矩,可得,即,令,且有,则,其中,I,xx,、,I,yy,、,I,zz,分别是刚体相对,x,、,y,、,z,轴的转动惯量；,I,xy,、,I,yx,、,I,xz,、,I,zx,、,I,yz,、,I,zy,是交叉项，称作,惯量积,。,若是连续的质点组，应该是积分,角动量的矩阵形式,以上，,I,xx,、,I,xy,、,、,I,zz,等,9,个量组成了一个张量，称为,惯性张量,。,当,z,轴与转轴重合时，,x,y,0,。,角动量矩阵简化为,即,2.,刚体的转动动能和转动惯量即,代入,可得,刚体绕固定轴转动的动能,对比上两式，可得转动惯量,I,的表达式,又因为,代入上式可得,将,cos,，,cos,，,cos,分别记为,，,和,I,的矩阵形式为,对于具有几何对称性的匀质刚体，若选择其对称轴为坐标轴，则可消除掉交叉项,I,i,j,。,例如,z,轴是刚体的几何对称轴，则刚体上任意一点（,x,i,，,y,i,，,z,i,），总存在一个对称点（,x,j,，,y,j,，,z,j,），并有,x,i,x,j,，,y,i,y,j,，,z,i,z,j,使得,惯量积为,0,时，,J,、,I,、,E,k,的划简形式,角动量,转动惯量,动能,矩阵形式,角动量,转动惯量,动能,例 一个质量为,m,，半径是,R,的圆盘绕过其盘中心的竖直轴以匀角速,旋转，盘面的法线与竖直轴的夹角为,。求（,1,）圆盘相对竖直轴的转动惯量；（,2,）设支撑轴承,A,、,B,距盘心,O,的距离为,L,，求,A,、,B,处附加压力。,L,L,y,x,z,A,B,R,O,z,x,z,x,J,J,z,J,x,J,1,x,z,J,2,以,O,点为原点，,z,轴沿盘面的法线方向，建立,O,xyz,坐标系，,z,轴、,x,轴和转轴在一个平面内,则,而,则有,本题可以这样考虑，将,J,x,和,J,z,分别向转轴方向,投影,并求和，得到,J,的转轴分量为,J,1,而,得到,求附加压力,角动量,J,的大小不变，方向改变，它随刚体绕转轴旋转，所以,J,是一个变量。,J,J,z,J,x,J,1,x,z,J,2,J,2,(t),J,2,(t+,t),J,2,J,2,J,的变化是由于,J,的与轴垂直的分量,J,2,变化所致。,J,2,绕转轴以,的角速度旋转。,J,2,的大小不变，但方向变化。,陀螺、又称为回转仪,具有大的转动惯量对称轴，并绕该对称轴高速旋转的刚体称为,回转仪,，或称,陀螺,4.4,回转运动（陀螺的运动）,mg,O,玩具陀螺,常平架陀螺仪,杠杆回转仪,无外力矩作用时，自转轴方向不变,若陀螺、轴及重物系统的重心,C,偏离,Z,轴一距离,l,，导致有重力矩,，杠杆仍保持水平，并按逆时针方向绕竖直轴（,Z轴）缓慢地转动。,回转仪在绕自转轴高速旋转的同时，自转轴还将绕某竖直轴回转的现象称为,进动,杠杆回转仪运动特性,一、杠杆陀螺的进动,A,P,Z,mg,l,O,Z,X,O,而,可得,矢量形式,进动角速度,二、玩具陀螺的进动,mg,O,l,c,O,进动角速度,矢量形式,陀螺的运动特点,当对着旋转着的有一点固定的陀螺施加外力时，它不顺着外力方向倾斜，而向着与外力垂直的方向即力矩方向倾斜；,在外力矩作用下，陀螺并不产生与力矩成正比的角加速度，而是产生与力矩成正比的进动角速度。,考虑陀螺进动所产生的附加角动量,陀螺进动所产生的附加角动量 它使总角动量的方向略有上翘,若陀螺在初始时刻的角动量沿水平方向，然后由静止释放，在稳定进动时，陀螺的头略向下倾斜，使总的角动量仍沿水平方向。,自动导航,枪管炮筒中的来复线,回转效应的应用,例,在长为,l,的轴的一端，装上回转仪的轮子，轴的另一端吊在长为,L,的绳子上。当轮子绕轴快速转动时，轮将在水平面上绕过支点,O,的铅直轴作匀速进动。轮子的质量为,M,，对过质心的自转轴的转动惯量为,I,0,，自转角速度为,s,，求绳和铅直线所成的小夹角,。,l,T,O,L,Mg,因而质心作半径近似为,l,的圆周运动，体系必受到一指向铅垂轴的力，该力只能由绳子的张力分量提供。,【,解,】,轮子在自身重力作用下，作匀速进动，进动角速度为,得到,