概率论与数理统计-课件-第一章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第一章 随机事件与概率,华东师范大学,*,第,*,页,概率论与数理统计,李强丽,学时安排：共,80,学时,第一章 随机事件与概率,8+2,第二章 随机变量及其分布,10+2,第三章 多维随机变量及其分布,10+4,第四章 大数定理与中心极限定理,6+2,第五章 统计量及其分布,4,第六章 参数估计,8+4,第七章 假设检验,8+4,第八章 方差分析与回归分析,6+2,1.1,随机事件及其,运算,(1),1.2,概率的定义及其确定方法,(1),1.3,概率的性质,(2),1.4,条件概率,(2),1.5,独立性,2),习题课,(2),第一章 随机事件与概率,(8+2),2.,随机现象,1.1.1,随机现象：,自然界中的有两类现象,1.,确定性现象,每天早晨太阳从东方升起,;,水在标准大气压下加温到,100,o,C,沸腾,;,掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？,一天内进入某超市的顾客数,;,某种型号电视机的寿命,;,1.1,随机事件及其运算,1.1.1,随机现象,随机现象,：,在一定的条件下，并不总出现相,同结果的现象称为随机现象,.,特点,：,1.,结果不止一个,;,2.,事先不知道哪一个会出现,.,随机现象的统计规律性,：,随机现象的各种结果,会表现出一定的规律性，这种规律性称之为,统计规律性,.,随机试验,(E),在相同的条件下可以重复的随机,现象称为随机试验。两个特点：,随机性、重复性,.,2.,样本点,随机试验的每一个可能结果,.,3.,样本空间,(,),随机试验的,所有样本点,构成的集合,.,4.,两类样本空间：,离散样本空间,样本点的个数为,有限个,或,可列,个,.,连续样本空间,样本点的个数为,无限不可列个,.,1.1.2,样本空间,1.,随机事件,某些样本点组成的集合,的子集，常用,A,、,B,、,C,表示,.,3.,必然事件,(,),4.,不可能事件,(,),空集,.,5.,随机变量,表示随机现象结果的变量,.,常用大写字母,X,、,Y,、,Z,表示,.,2.,基本事件,的单点集,.,1.1.3,随机事件,表示随机现象结果的变量,.,常用大写字母,X,、,Y,、,Z,表示,.,1.1.4,随机变量,在试验中，,A,中,某个样本点出现了，,就说,A,出现了、发生了,，记为,A,.,维恩图,(Venn).,事件的,三种表示,用语言、用集合、用随机变量,.,事件的表示,包含关系,：,A,B,A,发生必然导致,B,发生,.,相等关系,:,A,=,B,A,B,而且,B,A.,互不相容,：,A,和,B,不可能同时发生,.,1.1.5,事件间的关系,解：,1),显然，,B,发生必然导致,A,发生，所以,B,A;,.,2),又因为,A,发生必然导致,B,发生，所以,A,B,，由此得,A,=,B,.,例,1.1.1,口袋中有,a,个白球、,b,个黑球，从中一个一个不返,回地取球。,A,=,“,取到最后一个是白球,”,，,B,=,“,取到最后一段是白球,”,。问,A,与,B,的关系？,并,：,A,B,A,与,B,至少有一发生,交,：,A,B,=,AB,A,与,B,同时发生,差,：,A,B,A,发生但,B,不发生,对立,：,A,不发生,1.1.6,事件的运算,事件运算的图示,A,B,A,B,A,B,德莫根公式,记号,概率论,集合论,样本空间,必然事件 空间,不可能事件 空集,样本点,元素,A,B,A,发生必然导致,B,发生,A,是,B,的子集,A,B,=,A,与,B,互不相容,A,与,B,无相同元素,A,B,A,与,B,至少有一发生,A,与,B,的并集,A,B,A,与,B,同时发生,A,与,B,的交集,A,B,A,发生且,B,不发生,A,与,B,的差集,A,不发生、对立事件,A,的余集,基本事件互不相容，基本事件之并,=,注意点,(1),注意点,(2),若,A,1,，,A,2,，,，,A,n,有,1.,A,i,互不相容；,2.,A,1,A,2,A,n,=,则称,A,1,，,A,2,，,，,A,n,为,的,一组分割,.,样本空间的分割,1.,若,A,是,B,的子事件，则,A,B,=(),，,AB,=(),2.,设,A,与,B,同时出现时,C,也出现,，,则(),A,B,是,C,的子事件；,C,是,A,B,的子事件；,AB,是,C,的子事件；,C,是,AB,的子事件,.,课堂练习,B,A,3.,设事件,A,=“,甲种产品畅销，乙种产品滞销”，,则,A,的对立事件为（）,甲种产品滞销，乙种产品畅销；,甲、乙两种产品均畅销；,甲种产品滞销；,甲种产品滞销或者乙种产品畅销,.,4.,设,x,表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，,试说明下列各对事件间的关系,A,=|,x,a,|,，,B,=,x,a,A,=,x,20,，,B,=,x,22,A,=,x,22,，,B,=,x,19,A,B,相容,不相容,5.,试用,A,、,B,、,C,表示下列事件：,A,出现仅,A,出现；,恰有一个出现；,至少有一个出现；,至多有一个出现；,都不出现；,不都出现；,至少有两个出现；,设,为样本空间，,F,是由,的子集组成的集合,类，若,F,满足以下三点,则称,F,为,事件域,1.1.7,事件域,1.,F,;,2.,若,A,F,，则,F,;,3.,若,A,n,F,，,n,=1,2,则,F,.,直观定义,事件,A,出现的可能性大小,.,统计定义,事件,A,在大量重复试验下,出现的频率的,稳定值,称为该事件的概率,.,古典,定义,；,几何定义,.,1.2,概率的定义及其确定方法,非负性公理,：,P,(,A,),0;,正则性公理,：,P,(),=1;,可列可加性公理,若,A,1,A,2,A,n,互不相容，则,1.2.1,概率的公理化定义,从,n,个元素中任取,r,个，求取法数,.,排列讲次序，组合不讲次序,.,全排列,：,P,n,=,n,!,0!=1.,重复排列,：,n,r,选排列,：,1.2.2,排列与组合公式,组 合,组合,：,重复组合,：,求排列、组合时，要掌握和注意：,加法原则,、,乘法原则,.,注 意,加法原理,完成某件事情有,n,类途径，在第一类途径中有,m,1,种方法，在第二类途径中有,m,2,种方法，依次类推，在第,n,类途径中有,m,n,种方法，则完成这件事共有,m,1,+,m,2,+,m,n,种不同的方法,.,乘法原理,完成某件事情需先后分成,n,个步骤，做第一步有,m,1,种方法，第二步有,m,2,种方法，依次类推，第,n,步有,m,n,种方法，则完成这件事共有,m,1,m,2,m,n,种不同的方法,.,随机试验可大量重复进行,.,1.2.3,确定概率的频率方法,进行,n,次重复试验，记,n,(,A,),为事件,A,的频数，,称 为事件,A,的,频率,.,频率,f,n,(,A,),会稳定于某一常数,(,稳定值,).,用频率的稳定值作为该事件的概率,.,古典方法,设,为样本空间，若,只含有限个样本点,;,每个样本点出现的可能性相等，,则事件,A,的概率为,:,P,(,A,)=,A,中样本点的个数,/,样本点总数,1.2.4,确定概率的古典方法,抛一枚硬币三次,抛三枚硬币一次,1,=(,正正正,),(,反正正,),(,正反正,),(,正正反,),(,正反反,),(,反正反,),(,反反正,),(,反反反,),此样本空间中的样本点,等可能,.,2,=(,三正,),(,二正一反,),(,二反一正,),(,三反,),此样本空间中的样本点,不等可能,.,注 意,例,1.2.1,六根草，头两两相接、,尾两两相接。求成环的概率,.,解：,用乘法原则直接计算,所求概率为,n,个人围一圆桌坐，,求甲、乙两人相邻而坐的概率,.,解：,考虑甲先坐好，则乙有,n,-1,个位置可坐，,而,“,甲乙相邻,”,只有两种情况，所以,P,(A)=2/(,n,-1,),。,例,1.,2.2,n,个人坐成,一排,，,求甲、乙两人相邻而坐的概率,.,(,注意：请与上一题作比较,),解：,1),先考虑样本空间的样本点数：,甲先坐、乙后坐，则共有,n,(,n,1),种可能,.,2),甲在两端，则乙与甲相邻共有,2,种可能,.,3),甲在中间,(,n,2),个位置上，则乙左右都可坐，,所以共有,2(,n,2),种可能。由此得所求概率为：,例,1.2.3,1.2.5,确定,概率的几何方法,若 样本空间,充满某个区域，,其度量,(,长度、面 积、体积,),为,S,；,落在,中的任一子区域,A,的概率，,只与子区域的度量,S,A,有关，,而与子区域的位置无关,(,等可能的,).,则事件,A,的概率为,:,P,(,A,),=,S,A,/,S,几何方法的例子,例,1.2.3,蒲丰投针问题,平面上画有间隔为,d,的等距平行线，,向平面任意投掷一枚长为,l,的针，,求针与平行线相交的概率,.,蒲丰投针问题,(,续,1,),解：,以,x,表示针的中点与最近一条平行线的距离，,又以,表示针与此直线间的交角,.,易知样本空间,满足：,0,x,d,/2;0,.,形成,x,-,平面上的一个矩形，其面积为：,S,=,d(,/2).,蒲丰投针问题,(,续,2,),A,=“,针与平行线相交”的充要条件是,:,x,(,l,sin,)/2,.,针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法,求解得,由蒲丰投针问题知：长为,l,的针与平行线相交的概率为,:,2,l,/,d,.,而实际去做,N,次试验，得,n,次针与,平行线相交，则频率为,:,n,/,N,.,用频率代替概率得：,2,l,N,/(,d,n,).,历史上有一些实验数据,.,的,随机模拟,蒲丰投针问题的推广,平面上画有间隔为,d,的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为,a,b,c,(,均小于,d,),的,三角形,，,求三角形与平行线相交的概率,分析：,三角形与平行线相交有以下三种情况：,1),一个顶点在平行线上,;,2),一条边与平行线重合,;,3),两条边与平行线相交,.,前两种情况出现的概率为零,所以只要去确定两条边与平行线相交的概率,.,解：,记,P,ab,P,ac,P,bc,P,a,P,b,P,c,分别为边,ab,ac,bc,a,b,c,与平行线相交的概率，则所求概率为,p,=,P,(,三角形与平行线相交,),=,P,ab,+,P,ac,+,P,bc,.,由蒲丰投针问题知,P,a,=2,a,/(,d,),P,b,=2,b,/(,d,),P,c,=2,c,/,(,d,),.,因为,P,a,=,P,ab,+,P,ac,P,b,=,P,ab,+,P,bc,P,c,=,P,ac,+,P,bc,所以,P,a,+,P,b,+,P,c,=2(,P,ab,+,P,ac,+,P,bc,),由此得p,=,P,ab,+,P,ac,+,P,bc,=(,P,a,+,P,b,+,P,c,),/2,=(,a,+,b,+,c,)/(,d,).,性质,1.3.1,P,()=0.,注意,:,逆不一定成立,.,1.3,概率的性质,性质,1.3.2(,有限可加性,),若,AB,=,，则,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,).,可推广到,n,个互不相容事件,.,性质,1.3.3(,对立事件公式,),P,()=1,P,(,A,).,1.3.1,概率的可加性,性质,1.3.4,若,A,B,，则,P,(,A,B,)=,P,(,A,),P,(,B,),；,若,A,B,，则,P,(,A,),P,(B,).,性质,1.3.5,P,(,A,B,)=,P,(,A,),P,(,AB,).,1.3.2,概率的单调性,(6),P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),P,(,AB,),P,(,A,B,C,)=,P,(,A,)+,P,(,B,)+,P,(,C,),P,(,AB,),P,(,AC,),P,(,BC,),+,P,(,ABC,),1.3.3,概率的加法公式,AB,=,，,P,(,A,)=0.6,，,P,(,A,B,)=0.8,，,求,B,的对立事件的概率。,解,：,由,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),P,(,AB,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),例,1.3.1,得,P,(,B,)=,P,(,A,B,),P,(,A,)=0.8,0.6=0.2,，,所以,P,()=1,0.2=0.8.,例,1.3.2,解：,因为,P,(,A,B,)=,P,(,A,),P,(,AB,),，所以先求,P,(,AB,),由加法公式得,P,(,AB,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),P,(,A,B,),=0.4+0.3,0.6=0.1,所以,P,(,A,B,)=,P,(,A,),P,(,AB,)=0.3,P,(,A,)=0.4,，,P,(,B,)=0.3,，,P,(,A,B,)=0.6,，,求,P,(,A,B,).,例,1.3.3,解：,因为,A,、,B,、,C,都不出现的概率为,=1,P,(,A,),P,(,B,),P,(,C,),+,P,(,AB,)+,P,(,AC,)+,P,(,BC,),P,(,ABC,),=1,1,/4,1,/4,1,/4,+0+1,/6,+1,/6,0=,1,5,/12=7/12,P,(,A,)=,P,(,B,)=,P,(,C,)=1/4,P,(,AB,)=0,P,(,AC,)=,P,(,BC,)=1/6,求,A,、,B,、,C,都不出现的概率,.,口袋中有,n,1,个黑球、,1,个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球,.,求第,k,次取到黑球的概率,.,利用对立事件,解：,记,A,为“,第,k,次取到黑球,”，则,A,的对立事件为,“,第,k,次取到白球,”,.,而,“,第,k,次取到白球,”意味着：,“,第,1,次,第,k,1,次取到黑球，而第,k,次取到白球,”,思 考 题,口袋中有,2,个白球，每次从口袋中随,机地摸出一球，并换入一只黑球,.,求第,k,次取到黑球的概率,.,例,1.3.4,解：,用对立事件进行计算,记,A,=“,至少出现一次,6,点,”,，,则,所求概率为,一颗骰子掷,4,次，求至少出现一次,6,点的概率,.,例,1.3.5,解：,记,B,=“,至少出现一次双,6,点,”,，,则,所求概率为,两颗骰子掷,24,次，,求,至少出现一次,双,6,点,的概率,.,从,12,9,中返回取,n,次，,求取出的,n,个数的乘积能被,10,整除的概率,.,利用对立事件和加法公式,解：,因为“乘积能被,10,整除”意味着：,“,取到过,5”(,记为,A,),且 “取到过偶数”,(,记为,B,),。,因此所求概率为,P,(,AB,).,利用,对立事件公式、德莫根公式和加法公式,甲掷硬币,n,+1,次，乙掷,n,次,.,求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率,.,利用对称性,解：,记甲,正,=,甲掷出的正面数，乙,正,=,乙掷出的正面数,.,甲,反,=,甲掷出的反面数，乙,反,=,乙掷出的反面数,.,因为,P,(,甲,正,乙,正,),=,P,(n+1-,甲,反,n-,乙,反,),=,P,(,甲,反,-1,乙,正,),(,对称性,),所以,2,P,(,甲,正,乙,正,),=,1,由此得,P,(,甲,正,乙,正,),=1/2,N,个产品，其中,M,个不合格品、,N,M,个合格品,.,(,口袋中有,M,个白球，,N,M,个黑球,),常见模型,(1),不返回抽样,从中不返回任取,n,个,则此,n,个中有,m,个不合格品的概率为：,此模型又称,超几何模型,.,n,N,m,M,n,m,N,M.,口袋中有,5,个白球、,7,个黑球、,4,个红球,.,从中不返回任取,3,个,.,求取出的,3,个球为不同颜色的球的概率,.,思 考 题,购买,：,从,01,，,，,35,中选7,个号码,.,开奖,：,7,个基本号码，,1,个特殊号码,.,彩票问题,幸运,35,选,7,中奖规则,1)7,个基本号码,2)6,个基本号码,+,1,个特殊号码,3)6,个基本号码,4)5,个基本号码,+,1,个特殊号码,5)5,个基本号码,6)4,个基本号码,+,1,个特殊号码,7)4,个基本号码，或,3,个基本号码,+,1,个特殊号码,中奖概率,中所含样本点个数：,将,35,个号分成三类：,7,个基本号码,、,1,个特殊号码,、,27,个无用号码,记,p,i,为中,i,等奖的概率。利用抽样模型得：,中奖概率如下,：,不中奖的概率为,：,p,0,=1,p,1,p,2,p,3,p,4,p,5,p,6,p,7,N,个产品，其中,M,个不合格品、,N,M,个合格品,.,从中有返回地任取,n,个,.,则此,n,个中有,m,个不合格品的概率为：,常见模型,(2),返回抽样,条件：,m,n,即,m,=0,1,2,n,.,n,个不同球放入,N,个不同的盒子中,.,每个盒子中所放球数不限,.,求恰有,n,个盒子中各有一球的概率,(,n,N,),常见模型,(3),盒子模型,求,n,个人中至少有两人生日相同的概率,.,看成,n,个球放入,N,=365,个盒子中,.,P,(,至少两人生日相同,)=1,P,(,生日全不相同,),用盒子模型得：,p,n,=,P,(,至少两人生日相同,)=,生日问题,p20,=0.4058,p,30,=0.6963,p,50,=0.9651,p,60,=0.9922,n,个人、,n,顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率,.,记,A,i,=,“,第,i,个人拿对自己的帽子,”,，,i,=1,n.,求,P,(,A,1,A,2,A,n,),，不可用对立事件公式,.,用加法公式：,常见模型,(4),配对模型,P,(,A,i,)=1/,n,P,(,A,i,A,j,)=1/,n,(,n,1),P,(,A,i,A,j,A,k,)=1/,n,(,n,1)(,n,2),P,(,A,1,A,2,A,n,)=1/,n,!,P,(,A,1,A,2,A,n,)=,配对模型,续,),因为概率是事件,(,集合,),的函数，,所以先讨论事件,(,集合,),的,“,极限,”,.,本节给出可列可加性的充要条件,.,1.3.4,概率的连续性,若事件序列,F,n,满足：,F,1,F,2,F,n,则称,F,n,为,单调不减,事件序列，其极限事件为,事件序列的极限,若事件序列,F,n,满足：,F,1,F,2,F,n,则称,F,n,为,单调不增,事件序列，其极限事件为,设,P,(,),是,一个集合函数，,(1),若任对单调不减集合序列,F,n,，有,则称,P,(,),是,下连续,的,.,集合函数的连续性,(2),若任对单调不增集合序列,F,n,，有,则称,P,(,),是,上连续的,.,性质,1.3.7,若,P,(,),是事件域,F,上的,一个概率函数，,则,P,(,),既是,下连续,的，又是,上连续,的,.,概率的连续性,性质,1.3.8,若,P,(,),是事件域,F,上,满足：非负、正则的集合,函数，,则,P,(,),有可列可加性的,充要条件,是它,具有有限可加性,和,下连续性,.,可列可加性的充要条件,问题的提出,：,1)10,个人摸彩，有,3,张中彩,.,问：第,1,个人中彩的概率为多少？,第,2,个人中彩的概率为多少？,2)10,个人摸彩，有,3,张中彩,.,问：,已知,第,l,个人没摸中，,第,2,个人中彩的概率为多少？,1.4,条件概率,定义,1.4.1,对于事件,A,、,B,，若,P,(,B,)0,，则称,P,(,A,|,B,)=,P,(,AB,)/,P,(,B,),为在,B,出现的,条件下,，,A,出现的,条件概率,.,1.4.1,条件概率的定义,1),缩减样本空间,：,将,缩减为,B,=,B,.,2),用定义,：,P,(,A,|,B,)=,P,(,AB,)/,P,(,B,).,条件概率,P,(,A,|,B,),的计算,10,个产品中有,7,个正品、,3,个次品，从中,不放回地抽取两个，已知第一个取到次,品，求第二个又取到次品的概率,.,P,(,B,|,A,)=,P,(,AB,)/,P,(,A,)=(1/15)/(3/10)=2/9,解设,A,=,第一个取到次品,，,B,=,第二个取到次品,，,例,1.4.1,条件概率,P,(,A,|,B,),满足概率的三条公理,.,由此得：,P,(,A,B,|,C,)=,P,(,A,|,C,)+,P,(,B,|,C,),P,(,AB,|,C,),；,若,A,与,B,互不相容，则,P,(,A,B,|,C,)=,P,(,A,|,C,)+,P,(,B,|,C,),；,P,(|,B,)=1,P,(,A,|,B,).,条件概率是概率,P,(,|,B,)=1;,P,(,B,|,),1;,P,(,A,|,)=,P,(,A,);,P,(,A,|,A,)=1.,注 意 点,(1),设,P,(,B,),0,，且,A,B,，则下列必然成立的是,(),P,(,A,),P,(,A,|,B,),P,(,A,),P,(,A,|,B,),(2),P,(,A,)=0.6,P,(,A,B,)=0.84,P,(,B,|,A,)=0.4,则,P,(,B,)=().,课堂练习,乘法公式,;,全概率公式；,贝叶斯公式,.,条件概率的三大公式,性质,1.4.2,(1),若,P,(,B,)0,，,则,P,(,AB,)=,P,(,B,),P,(,A,|,B,),；,若,P,(,A,)0,，,则,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,).,(2),若,P,(,A,1,A,2,A,n,1,)0,，,则,P,A,1,A,2,A,n,),=,P,(,A,1,),P,(,A,2,|,A,1,),P,(,A,n,|,A,1,A,2,A,n,1,),1.4.2,乘法公式,乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率,.,一批零件共有,100,个，其中,10,个不合格品。从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率,.,解：记,A,i,=“,第,i,次取出的是不合格品”,B,i,=“,第,i,次取出的是合格品”,目的求,P,(,B,1,B,2,A,3,),用乘法公式,P,(,B,1,B,2,A,3,)=,P,(,B,1,),P,(,B,2,|,B,1,),P,(,A,3,|,B,1,B,2,),=,乘法公式的应用,性质,1.4.3,若,事件,B,1,B,2,B,n,是样本空间,的一组分割，且,P,(,B,i,)0,，,则,1.4.3,全概率公式,全概率公式用于求复杂事件的概率,.,使用全概率公式关键在于寻找另一组事件,来“分割”样本空间,.,全概率公式最简单的形式：,注意点,(1),若,事件,B,1,B,2,B,n,是互不相容的，且,P,(,B,i,)0,，,注意点,(2),则由 可得,设,10,件产品中有,3,件不合格品，从中,不放回地取两次，每次一件，求取出,的第二件为不合格品的概率。,解,：,设,A,=“,第一次取得不合格品”，,B,=“,第二次取得不合格品”,.,由全概率公式得：3/10)(2/9)+(7/10)(3/9),=,3/10,例,1.4.2,n,张彩票中有一张中奖，从中不返回地摸,取，记,A,i,为“第,i,次摸到中奖券”，则,(1),P,(,A,1,)=1/,n.,(2),可用全概率公式计算得,P,(,A,2,)=1/,n.,(3),可用归纳法计算得,P,(,A,i,)=1/,n,i=,1,2,n.,摸 彩 模 型,n,张彩票中有,k,张中奖，从中不返回地摸取，,记,A,i,为“第,i,次摸到奖券”，则,P,(,A,i,)=,k,/,n,i=,1,2,n,结论,：,不论先后，中彩机会,是一样的,.,摸 彩 模 型,(,续,),口袋中有,a,只白球b,只黑球。在下列情况下，,求第,k,次取出的是白球的概率：,(1),从中一只一只返回取球；,(2),从中一只一只不返回取球；,(3),从中一只一只返回取球，且,返回的同时再加入一只同色球,.,思 考 题,罐中有,b,个黑球、,r,个红球，每次从中任取一个，取出后将球放回，再加入,c,个同色球,和,d,个异色球,.,(1),当,c,=,1,d,=0,时，为,不返回抽样,.,(2),当,c,=,0,d,=0,时，为,返回抽样,.,(3),当,c,0,d,=0,时，为,传染病模型,.,(4),当,c,=,0,d,0,时，为,安全模型,.,波利亚罐子模型,记,p,k,(,b,r,),为“口袋中有b,个黑球、,r,个红球时，第,k,次取出黑球”的概率，,k,=1,2,(1),当,c=,1,d,=0,时为不返回抽样，所以由摸彩模型,得：,p,k,(,b,r,)=,b,/(,b,+,r,),，,k,=1,2,(2),当,c=,0,d,=0,时为返回抽样，所以,p,k,(,b,r,)=,b,/(,b,+,r,),，,k,=1,2,(3),当,c,0,d,=0,时，为传染病模型。此时,p,k,(,b,r,)=,b,/(,b,+,r,),，,k,=1,2,波利亚罐子模型,(,续,),甲口袋有,a,只白球、,b,只黑球；乙口袋有,n,只白球、,m,只黑球,.,从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后,从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白,球的概率,.,概率为：,全概率公式的例题,甲口袋有,a,只白球、,b,只黑球；乙口袋有,n,只白 球、,m,只黑球,.,从甲口袋任取两球放入乙口袋，然后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白球的概率,.,以上是甲、乙两口袋的球数不同，如果两口袋装的黑、白球个数都相同，则情况又如何？,思 考 题,要调查“敏感性”问题中某种比例,p,；,两个问题：,A,：生日是否在,7,月,1,日前？,B,：是否考试作弊？,抛硬币回答,A,或,B.,答题纸上只有：“是”、“否”,.,可用全概率公式分析“敏感性”问题,.,敏感性问题的调查,乘法公式是求“几个事件同时发生的概率；,全概率公式是求“最后结果”的概率；,贝叶斯公式是已知“最后结果”，求“原因”的概率,.,1.4.4,贝叶斯公式,某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽车迟到的概率分别为,0.1,、,0.2,、,0.3,，他等可能地选择这三种交通工具。若已知他最后迟到了，求他分别是乘飞机、火车、汽车的概率,.,（,1/6,，,2/6,，,3/6,）,已知,“结果”,，求,“原因”,若,事件,B,1,B,2,B,n,是样本空间,的一组分割，且,P,(A)0,P,(,B,i,)0,，,则,贝叶斯（,Bayes,）,公式,1),B,1,B,2,.,B,n,可以看作是导致,A,发生的,原因,;,2,),P,(,B,j,|,A,),是在事件,A,发生的条件下,某个原因,B,j,发生的概率,称为“,后验概率,”;,3)Bayes,公式又称为“,后验概率公式,”或“,逆概公式,”;,4),称,P,(,B,j,),为“,先验概率,”.,注 意,点,例,1.4.3,某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是乙厂家的,2,倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为,2%,2%,4%.,若从市场上随机抽取一件此种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率,?,解：,用,1,、,2,、,3,分别记甲、乙、丙厂，设,A,i,=“,取到第,i,个工厂的产品”，,B=“,取到次品”,，,由题意得,:,P,(,A,1,)=0.5,P,(,A,2,)=,P,(,A,3,)=0.25,；,P,(,B,|,A,1,)=,P,(,B,|,A,2,)=0.02,P,(,B,|,A,3,)=0.04.,=0.4,由,Bayes,公式得,:,口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。现再往口袋中放入一只白球，然后从口袋中任意取出一只，发现是白球。试问口袋中原来的那只球是白球的可能性多大？,课堂练习,2/3,事件的独立性,直观说法,：,对于两事件，若其中任何一个,事件的发生,不影响,另一个事件的发生，,则这两事件是,独立的,.,P,(,A|B,)=,P,(,A,),P,(,AB,)/,P,(,B,)=,P,(,A,),P,(,AB,),=P,(,A,),P,(,B,),1.5,独立性,定义,1.5.1,若事件,A,与,B,满足：,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),则称,A,与,B,相互独立，简称,A,与,B,独立,.,结论,A,、,B,为两个事件，若,P,(,A,)0,则,A,与,B,独立,等价于,P,(,B,|,A,)=,P,(,B,).,性质,1.5.1,若事件,A,与,B,独立，则,A,与 独立,、,与,B,独立,、,与 独立,.,1.5.1,两个事件的独立性,实际应用中，往往根据经验来判断,两个事件,的独立性：例如,返回抽样,、,甲乙两人分别工作,、,重复试验,等,.,事件独立性的判断,1.5.2,多个事件的相互独立性,对于,A,、,B,、,C,三个事件，称满足：,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),P,(,AC,)=,P,(,A,)P(,C,),P,(,BC,)=,P,(,B,),P,(,C,),为,A,、,B,、,C,两两独立,.,称满足：,P,(,ABC,)=,P,(,A,),P,(,B,),P,(,C,),为,A,、,B,、,C,三三独立,.,定义,1.5.3,若事件,A,1,A,2,A,n,满足：,两两独立,、,三三独立,、,、,n,n,独立,则称,A,1,A,2,A,n,相互独立,.,若,A,、,B,、,C,相互独立，,则,A,B,与,C,独立,A,B,与,C独立,A,B,与,C,独立,.,一 些 结 论,例,1.5.1,两射手独立地向同一目标射击一次，其,命中率分别为,0.9,和,0.8,，求目标被击中的概率,.,解,:,设,A,=“,甲中”,B,=“,乙中”,C,=“,目标被击中”,所以,解法,i,),P,(,C,)=,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),P,(,A,),P,(,B,),=0.9+0.8,0.9,0.8,=0.98.,解法,ii,),用对立事件公式,P,(,C,)=,P,(,A,B,)=1,(1 0.9)(1 0.8),=1,0.02,=0.98.,例,1.5.2,甲、乙两人独立地对同一目标射击,一次，其命中率分别为,0.6,和,0.7,，现已知,目标被击中，求它是甲击中的概率,.,。,解,:,设,A,=“,甲中”,B,=“,乙中”,C,=“,目标被击中”,所以,P,(,A,|,C,)=,P,(,AC,)/,P,(,C,),=,P,(,A,)/,P,(,A,)+,P,(,B,),P,(,A,),P,(,B,),=0.6/0.88,=15/22,例,1.5.3,两射手轮流对同一目标进行射击，甲先射，,谁先击中则得胜。每次射击中，甲、乙命中目标,的概率分别为,和,，求甲得胜的概率。,解,:,因为,P,(,甲胜,)=,+,(1,)(1,),P,(,甲胜,),所以,P,(,甲胜,)=,/1(1,)(1,),.,例,1.5.4,口袋中有,3,个白球、,5,个黑球，甲、乙,两人轮流从口袋中有返回地取一球，甲先取,.,谁先取到白球为胜，求甲胜的概率,.,解：,P,(,甲胜,)=,3/8,+,(5/8)(5/8),P,(,甲胜,),所以,P,(,甲胜,)=8/13.,例,1.5.5,元件工作独立，求系统正常工作的概率,.,记,A,i,=“,第,i,个元件正常工作”，,p,i,=,P,(,A,i,).,(1),两个元件的串联系统,：,P,(,A,1,A,2,)=,p,1,p,2,(2),两个元件的并联系统：,P,(,A,1,A,2,)=,p,1,+,p,2,p,1,p,2,=1,(1,p,1,)(1,p,2,),(3),五个元件的桥式系统：,用全概率公式,p,3,(,p,1,+,p,4,p,1,p,4,)(,p,2,+,p,5,p,2,p,5,)+(1,p,3,)(,p,1,p,2,+,p,4,p,5,p,1,p,2,p,4,p,5,),若试验,E,1,的任一结果与,试验,E,2,的任一,结果都是相互独立的事件，则称这两个,试验,相互独立,，,或称,独立试验,.,1.5.3,试验的独立性,伯努里试验,：,若某种试验只有两个结果,(,成功、失败；黑球、白球；正面、反面,),，,则称这个试验为伯努里试验,.,在伯努里试验中，一般记,“,成功,”,的概率为,p.,n,重伯努里试验,：,n,次独立重复的伯努里试验,.,n,重伯努里,试验,在,n,重伯努里试验中，记成功的次数为,X.,X,的可能取值为：,0,，,1,，,，,n,.,X,取值为,k,的概率为：,n,重伯努里,试验成功的次数,