行列式按行展开.ppt

第三节 行列式按行（列）展开,第一章 行列式,例如,一、余子式与代数余子式,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的,余子式,，记作,叫做元素 的,代数余子式,例如,引理,一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,证,当 位于第一行第一列时,即有,又,从而,再证一般情形,此时,得,得,中的余子式,故得,于是有,定理,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,二、行列式按行（列）展开法则,例1,证,用,数学归纳法,例2,证明范德蒙德,(,Vandermonde,),行列式,n-,1,阶范德蒙德行列式,推论,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,相同,关于代数余子式的重要性质,例,3.,已知行列式,求：,A,31,+A,32,+A,33,A,34,，,A,31,+2A,32,+3A,33,4A,34,解：,0,例,4,计算行列式,解,按,第一行展开，得,例,5,计算行列式,解,二、,k,阶子式及其余子式和代数余子式,在,n,阶行列式,D,中任选,k,行,k,列，位于这,k,行,k,列的,交叉点处的,k,2,个元素按原来的位置组成的,k,阶行列式,M,叫做,D,的一个,k,阶子式。在,D,中划去,M,所在的行与列，剩下的元素按原来的位置组成的,n-k,子式,N,叫做,M,的余子式。设,M,所在的行数与列数依次为,i,1,i,2,i,k,，,j,1,j,2,j,k,，,M,的余子式,N,乘以 叫做,M,的代数余子式,，记作,A,。,在,D,中，,M,是 的一个,2,阶子式，,N,是,M,的余子式，,A,是,M,的代数余子式,证明：,共有,k!(n-k,)!,项和，每项都是行列式,D,的项。,I,1,行,I,2,行,I,k,行,J,1,列,J,2,列,J,k,列,其中，,i,1,i,2,i,k,j,1,j,2,j,k,这些行列交叉点元素的,k,阶子式,M,为,M,M,的余子式,N,为：,N,MN如果不看符号，,MN,中的每一项都是行列式,D,的项。,可是事实上它们前面的符号不同。,对于行列式,D,1,MN,的每一项都是,D,1,的项，符号也相同。,那么，,MN,或者说,D,1,的每一项与,D,有什么差别？,i,1,行,i,2,行,i,k,行,J,1,列,J,2,列,J,k,列,其中，,i,1,i,2,i,k,j,1,j,2,j,k,这些行列交叉点元素的,k,阶子式,M,为,将,i,1,行依次与（,i,1,-1,）,（,i,1,-2,）,1,行交换，共进行了（,i,1,-1,）次行交换。再将,i,2,行依次与（,i,2,-1,）,（,i,2,-2,）,2,行交换，共进行了（,i,2,2,）次行交换。,，经过（,i,k,-k,）次行交换，将,i,k,行交换到第,k,行。同样的方法，再将,j,1,j,2,j,k,列交换到第,1,，,2,，,，,k,列。行列式,D,变成了,D,1,。,D,与,D,1,的符号之间的关系如何？,即,MN,的项乘以,与,D,的项符号也相同,又,所以，,MA,的每一项都是,D,的一项,Laplace,定理,M,是,k!,项，,A,是,(N-k)!,项，所以,MA,是,k!(n-k,)!,项,等式右边是,tk!(n-k,)!=n!,项和，其中每一项都是行列式,D,的项,等式左边行列式,D,是由,n,！项的和构成。所以等式成立。,例,6,计算行列式,解：按,2,，,4,行展开，只有三个,2,阶子式不为,0,对应的代数余子式为,7,例,7,证明,1.,行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具,.,三、小结,3.,Laplace,定理,