广外线性代数复习资料.pptx

单击此处编辑母版标题样式,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第一章 行列式,学习要求,1.,理解,n,阶行列式的定义；,2.,了解并能应用行列式的基本性质；,4.,掌握用行列式解有关线性方程组的克莱姆法则。,3.,掌握行列式的计算方法；,主要内容,一、,n,阶行列式的定义,（一）排列的奇偶性,1.,由自然数,组成的一个有序数组 称为一个,n,级排列。,2.,在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序。一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的逆序数。,3.,逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。,（二）,n,阶行列式的定义,n,2,个元素,a,ij,组成的记号,称为,n,阶行列式，它表示所有取自不同行不同列的,n,个元素乘积的代数和，各项前的符号是：当这一项中元素的行,(,列,),标按自然顺序排列后，如果列,(,行,),标构成的排列是偶排列则取“正”号，是奇排列则取“负”号,（或：行标、列标逆序数之和为偶数取“正”号，奇数取“负”号）。,2.,上、下三角形行列式,（三）特殊行列式,1.,一阶行列式,|,a,|=,a,注意,1.,转置值不变；,二、行列式的性质,（一）关于行列式等于零的性质：,2.,互换两行（列）变号；,（二）行列式的运算性质：,1.,两行（列）元相同；,2.,两行（列）元对应成比例；,3.,某行（列）元全为零。,3.,某行（列）有公因子,k,，可把,k,提到行列式外面,;,4.,某行（列）元素为两项和，可裂项相加；,5.,某行（列）元素乘数,k,加到另一行（列），值不变。,三、行列式按行（列）展开,（一）余子式与代数余子式,1.,余子式,：,在,n,阶行列式,D,中，去掉元素,a,ij,所在的第,i,行和第,j,列后，余下元素按原来顺序所构成的,n,1,阶行列式叫,a,ij,的余子式，记为,M,ij,.,2.,代数余子式：在余子式前冠以符号,(,1),i,+,j,.,3.,n,阶行列式,D,等于它任意一行（列）的各个元素与其对应的,代数,余子式乘积之和。即：,按第,i,行展开,按第,j,列展开,4.,行列式某一行（列）的每一元素与另一行（列）元素对应的代数余子式乘积之和为零。,1.,如果由,n,个方程构成的,n,元线性方程组：,的系数行列式 ，则方程组有唯一解：,其中，,D,j,是把系数行列式第,j,列元素对应换为方程组的常数项所得的行列式。,四、克莱姆法则,齐,次线性方程组的系数行列式,D,(2,),D,=0,时,原方程组有,非零,解,.,2.,克,莱姆法则的两个推论（以下讨论的都是,n,个方程,组成的,n,元,线性方程组）,在第三章我们还得到以下结论,:,(1),齐次线性方程组只有零解的充要条件是其系数行列式,D,0.,(2),齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式,D,0.,(1),D,0,时,原方程组只有零解,.,等同于求 的代数余子式,一、选择题,1.,则,|,A,|,中,x,的一次项系数是,().,A,.,1,B,.,1,C,.,2,2,D,.,2,2,习题一,D,2.,设 是六阶行列式,|,a,ij,|,中的一项,则,().,A,.,k,=2,l,=5,取正号,B,.,k,=5,l,=1,取负号,C,.,k,=1,l,=5,取负号,D,.,k,=5,l,=1,取正号,k,l,只能在,1,5,中取值,若,k,=5,l,=1,，,B,3.,若,则,a,=().,A,.,B,.,C,.,1,D,.1,B,=2,a,计算,有多种方法,按公式,按定义,按多零行展开,化为三角行列式,4.,已知,x,的一次多项式 ，则该,多项式的根是,().,A,.,0,B,.,1,C,.,2,D,.,3,D,5.,设,则,().,A,.,10,d,B,.,15,d,C,.,10,d,D,.,15,d,A,第一列乘加到第二列，乘加到第三列,6.,设 则,f,(,x,)=0,的根是,().,A,.,1,1,2,2,B,.,1,1,2,2,C,.,1,1,2,2,D,.,1,1,2,2,C,7.,设,n,阶行列式,A,.,1,B.,C,.,(,1),n,1,D.(,1),n,2,则,|A|,=().,B,不断按第一行展开,用行列式定义计算,|,A,|法一：,阶,法二：,对,n,取特殊值，用排除法,法三：,8.,下列行列式恒等于零的是,(),A,.,B,.,C,.,D,.,C,法一：按多零的行展开判断,8.,下列行列式恒等于零的是,(),A,.,B,.,C,.,D,.,有一项,第一列取 ，第二列必取,0,有两项,C,法二：按行列式定义,思考：,的值,的值有,什么关系吗？,与,（课本,17,页例,7,）,我们学过的结论,8.,下列行列式恒等于零的是,(),A,.,B,.,C,.,D,.,有一项,法三：用以上结论,C,9.,设 有唯一解，则,=,().,A,.,1,B,.,1,C,.,0,D,.,异于,0,和 的实数,D,列等和,10.,齐次线性方程组 有非零解，则,=,().,A,.,0,B,.,1,C,.,2,D,.,3,C,11.,行列式 中含有,x,3,项的系数是,().,A,.,2,B,.,2,C,.1,D,.,1,(1),取,2,x,，再取两个,x,，则最后只能取,x,2,x,4,对第一行,(2),取,x,，再取两个,x,，则最后只能取,1,x,3,符号为负,(3),取,1,，只剩两个,x,(4),取,2,，只剩两个,x,D,二、解答题,1.,分别按第一行与第二列展开计算行列式,2.,设 ，,试问,|,A,|,与,|,B,|,是否相等？,|,B,|=2|,A,|,3.,已知,152,209,399,都是,19,的倍数证明：,也是,19,的倍数。,第一列乘,100,，第二列乘,10,，加到第三列,4.,计算行列式,5.,计算,n,阶行列式,行等和,行列式中大部分元素均为,3,，将第三行的,1,倍加到其余各行。,6.,当 为何值时，线性方程组,有唯一解？并求其解。,有唯一解,6.,当 为何值时，线性方程组,有唯一解？并求其解。,第二章 矩阵,学习要求,1.,掌握矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算；,2.,理解逆矩阵的概念与性质；,4.,会对矩阵进行初等变换，并会求矩阵的秩。,3.,会求逆矩阵；,主要内容,一、矩阵的概念,称为,m,行,n,列矩阵（或 矩阵）。,（一）,由 个数排成的,m,行,n,列的数表,（二）常用的特殊矩阵：,零矩阵、,n,阶方阵、三角形矩阵、对角矩阵、单位阵。,1.,若 ，则,二、矩阵的运算,（一）矩阵的加法,只有同型矩阵才能相加减，“和矩阵”也同型。,2.,性质：,（二）数与矩阵乘法,1.,若 是数，则,(1),分配律,：,(2),结合律：,2.,性质：,(1),交换律：,A,+,B,=,B,+,A,(2),结合律,:,(,A,+,B,),+C,=,A,+(,B+C,),3.,注意数乘行列式与数乘矩阵,(,尤其是方阵,),的区别：,数,k,乘行列式等于将数,k,乘以某一行,(,列,),元素，而数,k,乘矩阵,A,则要把数,k,乘以,A,的每一个元素。,（三）矩阵乘法,1.,若,则,其中,(,1),只有,A,的列数与,B,的行数相同时才能相乘,；,(2),乘积,AB,的行数等于,A,的行数，列数为,B,的列数。,(3),乘积,AB,的第,i,行第,j,列元素等于,A,的第,i,行各元素与,B,的第,j,列各对应元素乘积之和。,2.,性质：,(1),结合律,:,(2),分配律,:,(3),但：,(1),矩阵乘法不满足交换律，一般,AB,BA,.,(2),矩阵乘法不满足消去律：,AB,=,AC,B,=,C,(4),对同阶方阵,A,与,B,，,有,若,A,可逆：,AB,=,AC,B,=,C,AB,=,O,B,=,O,AB,=,O,A,=,O,或,B,=,O,(3),两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵：,（四）矩阵的转置,1.,将,m,n,矩阵,A,的行列互换，得到的,n,m,矩阵称为,A,的转置矩阵，记为,:,A,T,或,A,.,2.,性质：,(1),(2),(3),(4),3.,注意：,(1),要区分行列式转置与矩阵转置的不同。行列式转置虽然形式变了，但其值不变；矩阵转置，一般变成另一个矩阵了。,(2),特别注意性质,(4),，一般地,(,AB,),T,A,T,B,T,.,（五）矩阵的幂,1.,设,A,为,n,阶方阵，则,2.,性质：,(2),(2),一般地初等代数中数的乘幂公式对于方阵不成立。,k,个,(1),只有方阵才有幂；,3.,注意：,如：,(1),注：,A,、,B,可交换时则成立。,四、逆矩阵,（一）,逆矩阵的定义,2.,要验证,B,是,A,的逆阵,只需验证,AB,=,E,或,BA,=,E,中的一个成立即可（因为由,AB,=,E,可得到,BA,=,E,，,反之亦然）。,1.,对于方阵,A,，如果存在方阵,B,，使,AB,=,BA,=,E,，,则称,A,可逆，并称,B,为,A,的逆矩阵。逆矩阵是唯一的，记为,A,1,.,(1),求伴随矩阵需注意,:,A,ij,的符号,(-1),i+j,；,A,*,中,A,ij,的排列。,(2),当,|,A,|,0,时，,（二）,矩阵可逆的充要条件，用伴随矩阵求逆矩阵,1.,伴随矩阵,(2),A,是非奇异阵,(4),A,满轶,(3),r,(,A,),=,n,(1),|,A,|,0,2.,可逆的充要条件,(5),齐次线性方程组,Ax,=,0,只有零解,(6),A,的列,(,行,),向量线性无关,(7),A,的列,(,行,),向量的秩为,n,(8),A,的列,(,行,),向量的极大无关组含有,n,个向量,(9),线性方程组,Ax,=,b,有唯一解,若,A,是,n,阶方阵,，则,A,可逆与以下各命题等价：,3.,逆矩阵的性质,(1)(,A,1,),1,=,A,(2),(3),(,A,T,),-1,=(,A,-1,),T,(4),(,AB,),-1,=,B,-1,A,-1,(5),注意性质,(2),和,(4)4),(,AB,),-1,=,B,-1,A,-1,A,-1,B,-1,(2),另外，,(,A,+,B,),1,A,1,+,B,1,（三）矩阵,A,的逆阵的求法,初等,行,变换,初等,列,变换,(,若,A,经过初等变换不能变为,E,，,则,A,不可逆,),1.,伴随矩阵法,2.,初等变换法,3.,未给出,A,的具体元素，仅给出,A,满足的某些条件（常为矩阵等式）,适用于阶数较低的矩阵,把题设中的矩阵等式化为,A,与另一矩阵乘积等于,E,的等式，则另一矩阵为所求。,（四）矩阵方程,AX,=,B,或,XA,=,B,解法,初等,行,变换,初等,列,变换,1.,若,A,可逆,(1),先求出,A,1,(2),用初等变换,2.,不论,A,是否则可逆,设,X,=(,x,ij,),，转化为解线性方程组，求出所有,x,ij,.,，先求出,X,=,A,1,B,（或,X,=,BA,1,）,.,五、矩阵的秩,1.,在 矩阵,A,中任取,k,行、,k,列，位于这,k,行,k,列交叉处的,k,2,个元素按它们在,A,中原次序组成一个,k,阶行列式，称为,A,的,k,阶子式。,2.,矩阵,A,中不为零的子式的最高阶数,r,称为这个矩阵的秩，记为：,r,(,A,)=,r.,(1)0,r,(,A,),min,(,m,n,),（一）秩的定义,(2),r,(,A,),=,r,(,A,T,),即：,A,有一个,r,阶子式不为零，且所有的,r,+1,阶子式（如果存在的话）皆为零。,2.,用初等变换求,:,(2),方法：,把矩阵用初等变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩。,(1),初等变换不改变矩阵的秩。,（二）矩阵秩的求法,1.,用定义求；,2.,设,A、B,都是,n,阶矩阵，且,AB=O,则下列一定成立的是,(,),一、单项选择题,（,A,）,ABC,（,B,）,AC,T,B,T,（,C,）,CBA,（,D,）,C,T,B,T,A,T,1.,若,则下列矩阵运算的结果为,32,的矩阵的是（）,（,A,）,|,A,|,=,0,或,|,B|=,0,（,B,）,|,A|=,0,且,|,B|=,0,（,C,）,A=O,或,B=O,（,D,）,A=O,且,B=O,AB=O,|AB|=|O|,D,A,=,0,习题二,（,A,）若 ，则,3.,设,A,、,B,为,n,阶方阵，满足,A,2,=,B,2,，则必有,(),（,A,）,A=B,（,B,）,A=,B,（,C,）,|,A,|=|,B,|,（,D,）,|,A,|,2,=|,B,|,2,A,2,=,B,2,|A,2,|=|,B,2,|,|,A,|,2,=|,B,|,2,4.,设,A,B,C,均为,n,阶矩阵，下列命题正确的是（,）,D,（,B,）若 ，则 或,（,C,）若 ，且 ，则,（,D,）若 ，则,注意矩阵乘法不满足交换律、消去律,D,5.,已知,A,，,B,均为,n,阶方阵，下列结论正确的是（）,A,O,且,B,O,A,O,（,D,）,A,E,|,A,|,1,（,A,）,AB,O,（,B,）,|,A,|,0,（,C,）,|,AB,|,0,|,A,|,0,或,|,B,|,0,C,（,D,）,（,A,）,（,B,）,成立,不成立,不成立,成立,成立,不成立,（,C,）,|,AB,|,0,|,A,|,0,或,|,B,|,0,|,A|B,|,0,6.,设,A,，,C,为,n,阶方阵，,B,为,n,阶对称方阵，则下列是对称阵的是（）,C,7.,设,|,A|,0,，则下列正确的是（）,（,A,）,(2,A,),T,=,2,A,（,B,）,(,A,T,),1,=,(,A,1,),T,（,C,）,(2,A,),1,=,2,A,1,（,D,）,|,A,1,|=|A|,B,8.,若,n,阶方阵,A,可逆，则 （）,（,A,）,A,（,B,）,|A|A,（,C,）（,D,）,C,（,A,）,A,T,（,B,）,CAC,T,（,C,）,AA,T,（,D,）,(,AA,T,),B,9.,设,A,，,B,均为,n,阶可逆矩阵，则下列各式中不正,确的是,(,),（,A,）,（,B,）,（,C,）,（,D,）,B,（,A,）,AB,1,=,B,1,A,（,B,）,B,1,A,=,A,1,B,（,C,）,A,1,B,1,=,B,1,A,1,（,D,）,A,1,B,=,BA,1,10.,设,A,、,B,均为,n,阶可逆矩阵，且,AB,=,BA,，则下列结论中，不正确的是,(),B,法二：,特别地取,B=E,法一：,只有,B,选项不满足交换律,11.,，,A,*,为,A,的伴随矩阵，则,|,A,*,|,（,）,（,A,）,3,（,B,）,（,C,）,9,（,D,）,27,|,A,*,|=|,A,|,n,1,C,12.,设,A,，,B,均为,n,阶方阵，则必有（）,（,A,）,A,或,B,可逆，则,AB,可逆,（,B,）,A,或,B,不可逆，则,AB,不可逆,（,C,）,A,与,B,可逆,，则,A+B,可逆,（,D,）,A,与B,不可逆，则,A+B,不可逆,B,或,？,（,A,）,（,B,）,或,？,（,C,）反例,（,D,）反例,13.,设,n,阶矩阵,A,B,C,满足,AB C,=,E,，则,C,1,=,（）,（,A,）,AB,（,B,）,BA,（,C,）,A,1,B,1,（,D,）,B,1,A,1,A,(),14.,设,n,阶可逆矩阵,A,B,C,满足,ABC,=,E,，则,B,1,=,（）,（,A,）,A,1,C,1,（,B,）,C,1,A,1,（,C,）,AC,（,D,）,CA,D,15.,设,，其中,A,1,，,A,2,都是方阵，且,|,A,|0,，则（,）,（,A,）,A,1,可逆，,A,2,不,可逆 （,B,）,A,2,可逆，,A,1,不,可逆,（,C,）,A,1,，,A,2,都,可逆,（,D,）,A,1,，,A,2,都不,可逆,C,二、填空题,1.,设 ，则,AB,=,BA,=,2.,已知,则,=,=,，,.,；,.,6.,若,4,阶方阵,A,的行列式,|,A|=,3,，则,5.,设,A,B,为三阶矩阵,|,A|=,3,|B,|=,2,，则,.,4.,，且 ，则,3.,当,k,时，矩阵 可逆。,=,.,.,7.,A,为三阶矩阵，且,|,A|=,，则,|(3,A,),1,2,A,*,|=,.,10.,设,A,B,C,均为,n,阶方阵，,B,可逆，则 的解,为,9.,设,A,B,C,均可逆，且逆矩阵分别为 ，则,8.,设 ，则,(,A,*,),1,.,.,.,三、计算题,1.,设,A,，,B,均为,n,阶方阵，,E+AB,可逆,，,化简,(,E+,BA,),E,B,(,E+AB,),1,A,.,2.,已知 满足,(2,E,A,1,B,),C,T,A,1,，求矩阵,C.,A,(2,E,A,1,B,),C,T,A,A,1,(2,E,A,1,B,),C,T,A,1,3.,若,求,2,A+,(,BA,T,),T,.,4.,设矩阵 ，且 ，,求矩阵,.,也可先求出 ，再计算,5.,设 ，若 ，求,k,的值。,(),1.,设,A,，,B,均为,n,阶方阵，且 ，证明,的充要条件是,.,四证明题,若,，则,(),若,，则,2.,n,阶方阵,A,满足 ，证明 可逆，,并求,.,注：,求矩阵,A,的逆阵的方法,3,：未给出,A,的具体元素，仅给出,A,满足的某些条件（常为矩阵等式）,把题设中的矩阵等式化为,A,与另一矩阵乘积等于,E,的等式，则另一矩阵为所求。,3.,A,、,B,均为,n,阶矩阵，且,A,、,B,、,A+B,均可逆，证明：,(,A,1,+,B,1,),1,=,B,(,A+B,),1,A,(,A,1,+,B,1,),B,(,A+B,),1,A,=(,A,1,B,+,E,)(,A+B,),1,A,=(,A,1,B,+,A,1,A,)(,A+B,),1,A,=,A,1,B,+,A,)(,A+B,),1,A,=,A,1,(,A,+,B,)(,A+B,),1,A,=,A,1,A,=,E,注：,要证明,A,1,=,B,，只需验证,求矩阵,AB=E,.,第三章 线性方程组,学习要求,1.,掌握线性方程组解的判别定理；,2.,会用消元法解线性方程组；,4.,理解向量组的线性相关、线性无关的概念及有关线性性质，会求向量组的极大无关组和秩；,3.,理解向量的概念，掌握向量的运算法则；,5.,能熟练地求出线性方程组的全部解。,主要内容,一、线性方程组解的判定,1.,n,元线性方程组,Ax,=,b,有解,.,且：,无穷多解。,有唯一解,;,2.,n,元齐次线性方程组,Ax0,有非零解。,只有零解；,特别地：,(1),方程个数,未知数个数时,(2),方程数,=,未知个数时：,有非零解。,只有零解；,，有非零解。,(2),各非零行首非零元所在的列中，其余元素均为零,二、线性方程组的消元解法,1.,对方程组的增广矩阵,(,A|b,),施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵；,2.,如果,r,(,A,),r,(,A|b,),，则终止计算，方程组无解；如果,r,(,A,),r,(,A|b,),，则继续对所得行阶梯形矩阵施行初等行变换，化为：,(1),各非零行首非零元为,1,；,3.,如果,r,(,A,),r,(,A|b,),n,，最后一列为方程组的唯一解；如果,r,(,A,),r,(,A|b,),n,，,写出对应方程组，对,n,r,个自由未知量自由取值，得到方程组的全部解。,（即该列为单位向量）。,三、向量组的线性组合与线性相关性,1.,如果,=,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,s,s,，,则称,可由,1,2,s,线性表示，,或称,是,1,2,s,的线性组合。,2.,对向量组,1,2,s,，如果,存在一组不全为零的数,k,1,k,2,k,s,使得,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,s,s,=,o,成立，则称向量组,1,2,s,线性相关。,若仅当,k,1,=,k,2,=,=,k,s,=,0,时，才有,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,s,so,成立，,则称,向量组,1,2,s,线性无关。,5.,线性无关向量组的“加长”向量组,线性相关向量组的“减短”向量组,线性相关。,3.,含有零向量的向量组,线性相关。,4.,部分相关，,整体无关，,则部分无关。,则整体相关；,线性无关；,线性无关组不含零向量。,2.,两个向量线性相关的充要条件,1.,零向量,一个非零向量,是线性相关的，,是线性无关的,。,是对应分量成比例。,两个向量线性无关的充要条件,是对应分量不成比例。,四、线性组合与线性相关性的主要结论,6.,向量个数大于向量维数时,，向量组线性相关。,|,1,2,s,|,=,0,7.,n,个,n,维向量线性相关的充要条件是,8.一组向量线性相关的充要条件是,9.,向量组,线性相关的充要条件是向量组中最少有一,向量可由其余向量线性表示。,r,(,1,2,s,),s,线性无关的充要条件是,|,1,2,s,|,0,线性无关的充要条件是,r,(,1,2,s,),=,s,线性无关的充要条件是向量组中的每一个向量都,不能由其余向量线性表示。,10.,若,1,2,s,线性无关，而,1,2,s,线性相,关，,则,可由,1,2,s,唯一线性表示。,11.,向量,能用,向量组,1,2,s,线性表示的充要条,件是：,r,(,1,2,s,),=,r,(,1,2,s,),五、向量组的秩,1.,向量组的极大无关组,(1),如果向量组中部分向量1,2,r,满足：,1,2,r,线性无关；,向量组所有向量都可以用,1,2,r,线性表示，,则称,1,2,r,是向量组的一个极大无关组。,(2),如果向量组中部分向量,1,2,r,满足：,1,2,r,线性无关；,向量组中任意,r,+,1,个向量,(,如果有的话,),都线性相关，则称,1,2,r,是向量组的一个极大无关组。,也可表述为：,2.,向量组的秩,(1),向量组,1,2,s,的极大无关组所含向量的个数,r,，称为向量组的秩，记为,r,(,1,2,s,),=,r,.,(2),极大无关组不唯一，但其秩唯一。,3.,向量组的秩与矩阵的秩,(1),矩阵的秩,=,列向量组的秩,=,行向量组的秩。2),求向量组秩与极大无关组的方法：,将这些向量作为矩阵的列构成一个矩阵；,用初等行变换将其化为行阶梯形矩阵；,行阶梯形矩阵非零行的行数即为向量组的秩；,首非零元所在列对应原来的向量即为极大无关组。,1.,设,A,为 矩阵，则,Ax,=0,有非零解的充分必要条件是（）,一、选择题,（,A,）,（,B,）,（,C,）,（,D,）,习题三,系数矩阵的行数是,，列数是,方程数,未知数个数。,C,2.,设,A,是 矩阵，,Ax,=0,是非齐次线性方程组,Ax,=,b,对应的齐次方程组，那么下列叙述正确的是（）,（,A,）如果,Ax,=0,只有零解，那么,Ax,=,b,有唯一解,（,B,）如果,Ax0,有非零解，那么,Ax,=,b,有无穷多个解,（,C,）如果,Ax,=,b,有无穷多个解，那么,Ax,=0,只有零解,（,D,）如果,Ax,=,b,有无穷多个解，那么,Ax,=0,有非零解,/,/,但,D,3.,设,A,为 矩阵，则有（）,（,A,）若,m,n,，则,Ax,=,b,有无穷多解,（,B,）若,m,n,，则,Ax,=0,有非零解，且含有 个,自由末知量,（,C,）若,A,有,n,阶子式不为零，则,Ax,=,b,有唯一解,（,D,）若,A,有,n,阶子式不为零，则,Ax,=0,仅有零解,m,n,自由末知量个数,A,有,n,阶子式不为零,A,的列数,D,/,/,4.,方程组 有非零解，则,=,（）,（,A,）（,B,）,（,C,）（,D,）或,D,5.,向量组 线性无关的充分必要条件是,().,（,A,）都不是零向量,（,B,）中任意两个向量的分量不成比例,（,C,）中每一个向量均不可由其余向量,线性表示,（,D,）中至少有一个向量不可由其余向,量线性表示,C,（,A,）是必要非充分条件,（,B,）是必要非充分条件,（,D,）是必要非充分条件,6.,设向量,，下列命题中正确的是,(),（,A,）若 线性相关，则必有 线性相关,（,B,）若 线性无关，则必有 线性无关,（,C,）若 线性相关，则必有 线性无关,（,D,）若 线性无关，则必有 线性相关,无关向量组加长后仍然无关；,相关向量组减短后仍然相关。,B,是 的加长的向量组,7.,向量组 的秩不为零的充分必要条件是（）,（,A,）中没有线性相关的部分组,（,B,）中至少有一个非零向量,（,C,）全是非零向量,（,D,）全是零向量,（,A,）,线性无关,全为零向量,不全为零向量,B,是充分非必要条件,（,C,）是充分非必要条件,，但部分无关不能得到整体无关,8.,向量组 线性无关的充要条件是（）,（,A,）向量组中不含,零向量,（,B,）向量组的秩等于它所含向量的个数,（,C,）向量组中任意 个向量线性无关,（,D,）,向量组中存在一个向量，它不能由其余向量,线性表示,B,（,A,）是必要非充分条件,（,C,）,（,D,）是必要非充分条件,，,是必要非充分条件,整体无关则部分无关,9.,若,m,个,n,维向量线性无关，则,(),（,A,）再增加一个向量后也线性无关,（,B,）去掉一个向量后仍线性无关,（,C,）其中只有一个向量不能被其余的线性表示,（,D,）以上都不对,B,（,B,）整体无关，则去掉一个向量后的部分无关,（,A,）无关向量组增加一个向量后也可能线性相关,如加入零向量,向量组线性无关，其中,任何,一个向量不能被其余的线性表示,10.,设,A,为 矩阵，则齐次线性方程组,Ax,=0,仅有零解的充分条件是（）,（,A,）,A,的列向量组线性无关,（,B,）,A,的列向量组线性相关,（C,）,A,的行向量组线性无关,（,D,）,A,的行向量组线性相关,Ax,=0,仅有零解,A,的行（列）秩为,n,A,的行（列）向量中有,n,个向量线性无关,A,11.,已知 可由 线性表示，但 不能由,线性表示，则下面结论正确的是（）,（,A,）能由 线性表示，但不能由 线,性表示,（,B,）能由 线性表示，也能由 线性,表示,（,C,）不能由 线性表示，也不能由,线性表示,（,D,）不能由 线性表示，但能由 线,性表示,A,(,不能由 线性表示）,若,矛盾！,12.,设,A,为方阵，则,|,A,|,=,0,的必要条件是（）,（,A,）,A,中有两行（列）元素对应成比例,（,B,）,A,的任一行向量为其它行向量的线性组合,（,C,）,A,中必有一行向量为其它行向量的线性组合,（,D,）,A,中至少有有两行元素全为零,|,A,|,=,0,A,的行（列）向量线性相关,C,（,A,）是充分非必要条件,（,B,）是充分非必要条件,（,D,）是充分非必要条件,二、填空题：,1.,设 ，且秩,(,A,)=2,，则,a,=,.,6,也可用,|,A,|,=0,求解,3.,向量 和 线性相关的充要条件是,_.,2.,设 ，则,被 线性表示的表示式为,.,分量对应成比例,4.,设 ，则,线性,关。,相,5.,已知向量组 线性相关，则,k,=_.,2,或：线性无关,，但 线性相关，,可 由唯一线性表出,，容易看出,6.,已知向量组 的秩为,2,，则,数,t,=_.,3,或：,中最多只能有两个向量线性无关，,而 线性无关，,可 由唯一线性表出，,容易看出,7.,设线性方程组 的系数矩阵为,A,，,设,B,为,3,阶方阵，,B,O,，且,AB,=,O,，则,k=_.,B,的每一列都是,Ax,=0,的解,即,Ax,=0,的有非零解,|,A,|,=,0,1,8.,若齐次线性方程组 只有零解，则,k,的范围为,.,系数行列式不为零,或：,|,A,|,=,0,，否则,A,可逆,，此时由,AB,=,O,可得,B=O.,1.,向量组 线性无关，,试讨论向量组 的线性相关性。,9.,已知,A,是 矩阵，且线性方程组,Ax=b,有唯一,解，则,r,(,A,)=,.,4,三、计算题,解,：设,则,即,又,线性无关，,所以,此方程的系数行列式,按第一行展开,（,1,）,s,为奇数时，,线性无关。,，方程组只有零解，,（,2,）,s,为偶数时,线性相关。,，方程组有非零解，,2.,给定向量组：,(1),求向量组 的秩，并判断该向量组,的线性相关性；,(2),求该向量组的一个极大无关组,并把其余向量用,极大无关组线性表示。,，线性相关。,是一个极大无关组，且：,3.,设向量组,（,1,）当,a,b,为何值时，能由 唯一的线性,表示？,（,2,）当,a,b,为何值时，不能由 线性表示？,（,3,）当,a,b,为何值时，能由 线性表示，,但表示法不唯一，并写出表示式。,解,：设,(1),当 时，,，方程组有唯一解，,故 可由 唯一线性表示。,，方程组有无,穷多解，,故 可由 线性表示，且表示 方法不唯一。,(2),当 时，,(3),当 时，,此时：,令：得,故 不能由 线性表示。,，方程组无解，,4.,当,a,b,取何值时，线性方程组,无解，有唯一解，有无穷多解,?,在方程组有无穷多解时，求其所有解。,解,:,对方程组的增广矩阵施行初等行变换,当 时,当 时，,时,，无论,b,取何值，方程组有唯一解,.,方程组无解,.,时,，方程组有无穷多解,令 得,，又,5.,将含有参数 的线性方程组的增广矩阵用初等行变换化为：,试讨论该线性方程组解的情况。,解：,当 时,，方程组有唯一解。,当 时，,，方程组无解。,当 时，,，方程组有无穷多解。,，即 且 时,四、证明题,1.,线性无关，证明：,也线性无关。,证明：,设：,则,即,又 线性无关，所以：,此方程组的系数行列式,故,从而,线性无关。,