1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 矩阵与行列式,5.3,方阵的行列式,方阵的行列式,行列式是关于方阵的元素所定义的一种运算，其运算的结果是一个数，称为方阵的行列式值，简称为,方阵的行列式,方阵 的行列式通常记作 ,二阶、三阶方阵的行列式相应地称为二阶、三阶行列式,二阶行列式,对于二阶方阵,规定二阶行列式的值为,二阶行列式的计算方法可按下图记忆，即实线连接的元素乘积减去虚线连接的元素乘积,图,5-1,练习,5.5,计算下列二阶方阵的行列式,解：,三阶行列式,对于三阶方阵,计算方法可按图,5-2,记忆，即实线连接的元素乘积减去虚线连接的
2、元素乘积,规定三阶行列式的值为,图,5-2,练习,5.5,计算下列三阶方阵的行列式,解：,n,阶行列式,对于,n,阶方阵,其行列式记作,三阶行列式可用二阶行列式表示如下,(a),(a),式给了我们一个启示,：,n,阶行列式,高阶行列式可由低阶行列式来表示,定义,5.6,对于,n,阶方阵 构成的,n,阶行列式,n,阶行列式的定义,(1)n=1,时，；,是一个数：,(2)n1,时，,按此定义的二阶、三阶行列式，与前面定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的,练习,5.7,计算下三角行列式,解：,同理，上三角行列式的值也等于主对角线上的元素的乘积,行列式的性质,记,行列式,称为矩阵,A,的,转置行列式,
3、性质,5,.1,行列式与它的转置行列式相等,例如,性质,5,.2,互换行列式的两行（列），行列式变号,例如,以 表示行列式的第 行，以 表示第 列,交换 两行记作,交换 两列记作,例如,性质,5.3,行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数,k,，等于用数,k,乘此行列式,例如,第 行（列）提出公因子 ，记作,推论：,如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零,性质,5.5,若行列式的某一行（列）的元素都可分成两数之和，则行列式可分成两个对应行列式的和,例如,例如,性质,5.4,行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零,如用数 乘第 行加到第 行上，记作 ,例如,性质,5
4、6,把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变,行列式关于行或列的运算,简化行列式的计算,把行列式中某些元素化为,0,行列式化为上（下）三角行列式,行列式的值,解：,练习,5.8,计算,解：这个行列式的特点是各列,4,个数之和都是,6,今把第,2,、,3,、,4,行同时加到第,1,行，提出公因子,6,，然后各行减去第一行：,练习,5.9,计算,行列式按行（列）展开,余子式 代数余子式,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的,余子式,，记作 ；,记 ，称为元素 的,代数余子式,例如 四阶行列式,中元素 的余子
5、式和代数余子式分别为,定理,5.1,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,或,利用这一法则并结合行列式的性质可以简化行列式的计算,这个定理叫做,行列式按行（列）展开法则,练习,5.10,计算下列行列式,解：,练习,5.11,计算,解：,定理,5.2,设 均为 阶方阵，则 与 的乘积矩阵的行列式等于 的行列式与 的行列式的乘积即,习 题,习题,5.1,计算下列方阵的行列式,解：,习题,5.2,计算,解：,自测题,1.,行列式 的值为,_.,A)0 B)-1 C)1 D)5,2.,设,D=,则元素,的代数余子式,=_.,A)5 B)-5 C)0 D)-14,答案为,B,答案为,A,3.,若 ，则 的值为,_.,A)-2 B)2 C)8 D)-8,4.,若四阶行列式,D,中的第一行的元素依次为,1,，,2,，,0,，,1,，它们对应的代数余子式依次为,2,，,1,，,1,，,3,，则,D=_.,A)0 B)3 C)-4 D),以上都不对,答案为,D,答案为,B,5.,设方阵,A=,，求,A,的行列式,答案为,-18,
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