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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,线性代数,东南大学数学系 周建华,1,目 录,第一部分,行列式,第二部分,矩阵,第三部分,向量,第四部分,线性方程组,第五部分,特征值、特征向量,第六部分,实对称矩阵和二次型,第七部分,向量空间,历年试题,2,第一部分,行 列 式,3,一 行列式的定义,的行列式定义为,矩阵,4,5,6,7,二 行列式的性质,不必会证明，但要会熟练运用,。,8,2.,上述性质的一些推论,(1).,如果行列式有一行的元素全为零，则其值为零；,(2).,如果行列式有两行的元素对应相等，则其值为零,；,(3).,如果行列式有两行的元素对应成比例,，,则其值为零,.,9,3.,行列式,按行、列展开：,10,4.行列式,乘法定理：,11,5.,分块矩阵的行列式：,12,容易出现的错误,13,14,15,三 行列式的计算,1.,分类：按阶数大小分,-,低阶、高阶；,按元素分,-,数字、字母。,2,.典型方法：化成低阶行列式；,化成三角形行列式。,16,17,18,19,20,21,其中，每个 均不为零。,22,23,24,25,第二部分,矩 阵,26,一,矩阵的代数运算,1.,运算规律,27,28,2.,应当注意的问题,问题,29,30,31,问题：什么时候成立？,32,二,.,可逆矩阵,矩阵,A,可逆的条件,(1)A,的行列式不为零（非退化）；,(2),A,秩等于其阶数（满秩）；,(3)存在矩阵,B,，,使得,AB=E,（,可逆）；,(4),A,的特征值均不为零（非奇异）,。,33,2.,逆矩阵的计算,利用伴随矩阵。,利用初等变换。,34,3.,重要性质，如,35,36,4,伴随矩阵,(1).伴随矩阵的定义；,37,38,39,40,41,42,5,矩阵方程,化成标准形式的矩阵方程。,43,La premiere,44,三,分块矩阵,45,注：,46,几种常用的分块法：,47,48,49,50,51,52,53,54,55,四 矩阵的秩,56,57,58,59,60,2,矩阵的等价标准形,61,62,3.,矩阵的运算与秩,63,64,65,66,67,4.,初等变换与初等矩阵,68,69,70,71,向 量,第三部分,72,一,.,概念,线性组合和线性表示；,线性相关和线性无关；,极大无关组和秩,73,1.,线性组合和线性表示,74,75,76,2.,线性相关和线性无关,77,78,79,3.,极大无关组和秩,80,重要结论,:,81,82,La,deusieme,83,二,.,常用命题,注意命题的不同表达形式。,84,（,2,）重要命题,85,03,年考研题（数学一,选择题,1,4,分）,本题得分率：61.9%。,86,87,88,89,（3）更多命题：,90,91,92,93,简化阶梯形矩阵,94,以给定向量组为,列,向量作一矩阵,A,用初等,行,变换将,A,化成阶梯形矩阵,B,找出,B,中的,非零首元,A,中与这些非零首元相,对应的列,就是所求向量组的,极大无关组,向量组极大无关组的求法:,95,第四部分,线性方程组,96,一,.,解的存在性、唯一性,97,二,.,解的结构,齐次线性方程组,98,齐次线性方程组的解的结构,99,齐次线性方程组的基础解系,100,重要结论,101,102,2.,非齐次线性方程解的结构,103,104,105,三,.,求解,106,107,108,109,五,平面、直线的相对位置,110,解：,两直线不平行,：,B,的秩为3，故前两行不成比例111,其次，两直线在同一平面内：,112,113,114,La,troisieme,115,第五部分,特征值 特征向量,116,117,118,119,120,121,122,123,124,125,126,127,二,.,矩阵相似的必要条件,128,129,130,131,三,.,可相似对角化问题,132,注,2,：,133,推论：没有重特征值的矩阵一定相,似于对角阵。,134,135,136,137,138,139,140,141,142,第六部分,实对称矩阵,和,二次型,143,144,145,146,147,148,149,150,151,三,.,二次型的矩阵,152,153,154,155,156,157,158,159,160,161,已知实矩阵,162,163,对于实称矩阵而言,相似的矩阵是否合同?,合同的矩阵是否相似?,164,La,quatieme,165,五,.,正定性,166,167,168,169,170,171,六,.,二次型与二次曲面,172,173,174,175,第七部分,向量空间,176,177,178,179,180,181,182,183,184,185,186,187,188,189,190,191,192,三,.,基变换和坐标变换,193,194,195,196,197,198,四,.,向量空间的标准正交基,199,200,201,La,cinqieme,202,历 年 考 题,203,03,年考研题（数学一,填空题,4,分）,本题得分率：45.4%。,204,03,年考研题（数学一,选择题,1,4,分）,本题得分率：61.9%。,205,03,年考研题（数学一，选择题，分）,本题得分率：80.2%。,206,03,年考研题（数学一，分）,本题得分率：36.7%。,207,03,年考研题（数学一，分）,本题得分率：25.8%。,208,04,年考研题（数学一，填空题，分）,209,04,年考研题（数学一，选择题，分）,210,04,年考研题（数学一，选择题，分）,211,04,年考研题（数学一，分）,本题得分率：36%。212,04,年考研题（数学一，分）,本题得分率：29%。,213,05,年考研题（数学一、二，填空题，分）,214,05,年考研题（数学一、二，选择题，分）,215,05,年考研题（数学一、二，选择题，分）,216,05,年考研题（数学一、二，分）,217,05,年考研题（数学一，分）,218,05,年考研题（数学二，分）,219,220,221,06,年考研题（数学一、二，填空题，分）,222,06,年考研题（数学一、二，选择题，分）,223,06,年考研题（数学一、二，选择题，分）,224,06,年考研题（数学一、二，分）,225,06,年考研题（数学一、二，分）,226,07,年考研题（选择题,1,，,4,分）,227,07,年考研题（选择题,2,，,4,分）,228,07,年考研题（填空题，,4,分）,229,07,年考研题（计算题,1,，,11,分）,230,07,年考研题（计算题,2,，,11,分）,231,08,年数学一试题（第,20,题）（,10%,）,232,08,年数学一、二、三、四代数题（,12%,）,233,08,年数学二、三、四第二道代数题（,10%,）,234,08,年,选择题一,（数学一、二、三、四）,235,08,年,选择题二（数学一）,236,08,年,选择题三（数学二、三、四）,237,08,年,填空题（数学一）,238,08,年,填空题（数学二）,239,08,年,填空题（数学三）,240,08,年,填空题（数学四）,241,09,年第一道大题（,11%,）,242,09,年第二道大题（,11%,）,243,09,年数学一、二、三选择题（,2,）（,4%,）,244,09,年数学一选择题（,1,）（,4%,）,245,09,年数学二、三选择题（,1,）（,4%,）,246,09,年数学一填空题（,4%,）,2,247,09,年数学二填空题（,4%,）,2,248,09,年数学三填空题（,4%,）,2,249,250,10,年数学一填空题（,4%,）,251,10,年数学二、三填空题（,4%,）,252,10,年数学一选择题（,14%,）,253,10,年数学二、三选择题（,1,）（,4%,）,254,10,年数学一、二、三选择题（,2,）（,4%,）,条件多余,255,10,年数学一、二、三大题（,1,）（,11%,）,256,10,年数学一大题（,2,）（,11%,）,本题超纲,257,10,年数学二、三大题（,2,）（,11%,）,258,10,年,抽样统计,（数学一）,考场一,23,人,考场二,24,人,考场三,28,人,题一,题二,题一,题二,题一,题二,0,分,7,12,7,13,0,4,11,分,3,0,7,0,20,2,均分,5.044,2,6.58,2.333,10.06,6,得分率,45.85,18.18,59.85,21.21,91.23,54.55,259,10,年,抽样统计,（数学二、三,-,第,1,大题）,考场,一,二,三,四,五,人数,24,人,25,人,24,人,26,25,0,分,5,5,9,4,7,11,分,7,4,7,9,3,均分,6.54,6.8,5.72,6.577,4.96,得分率,59.46,61.82,52.65,59.79,45.09,260,10,年,抽样统计,（数学二、三,-,第,2,大题）,考场,一,二,三,四,五,人数,24,人,25,人,24,人,26,25,0,分,16,19,17,18,21,11,分,2,3,3,2,2,均分,2.291.76,2.125,2.154,1.16,得分率,20.83,16,19.32,19.58,10.55,261,11,年数学一、二、三选择题（,4%,）,262,11,年数学一、二选择题（,4%,）,263,11,年数学三选择题（,4%,）,264,11,年数学一填空题（,4%,）,265,11,年数学二填空题（,4%,）,266,11,年数学三填空题（,4%,）,267,11,年数学一、二、三大题（,11%,）,07-08-3,期末考试考题,268,11,年数学一、二、三大题（,11%,）,03-04-2,期末考试试题,269,12,年数学一、二、三选择题,(1),（,4%,）,270,12,年数学一、二、三选择题,(2),（,4%,）,271,12,年数学一填空题（,4%,）,272,12,年数学二、三填空题（,4%,）,273,12,年数学一、二、三大题（,1,）（,11%,）,274,12,年数学一、二、三大题（,2,）（,11%,）,275,本次命题的特点,主要知识点：最基本；,主要方法：最基本；,基本难度：逐年降低；,侧重于计算。,两道大题的层次感不强；,代数中的重要结论作为考生的必备知识；,评分标准有些主观。,276,考试中的现象,得分率会有所提高；,考生失分的现象：,计算错误；,第一大题参数的讨论不全面；,非齐次线性方程组的特解、导出组的基础解系、通解的求法以及它们间的关系没弄清楚；,第二大题矩阵的乘法算错（,4*4,矩阵？）；,第二大题计算矩阵的行列式：即使算对，但，不仅麻烦，而且还只得到了必要条件；,特征多项式算错（部分考生还带参数计算）；,没有将特征向量单位化；,标准形写成规范形（或者没有写标准形）。,277,失分的原因,概念混淆，知识点掌握不全面；,基本功不扎实：计算错误；,不重视对参数的讨论；,没有理解第一小题的“桥梁”作用；,对试题的要求理解不充分；,对命题倾向没有思想准备。,278,应当注意的几个倾向：,每年必考的内容：线性方程组、特征值和特征向量；,带参数的问题：需要讨论；,与解析几何相结合（典型问题）；,应用题（典型问题）；,分块矩阵（典型的分块方式）；,有超纲嫌疑的几个方面。,279,一些建议：,要有信心，不放弃；,重视基础：重在基本概念、基本理论和基本方法，而不是解题技巧；,重视计算：要适量地完整地做一些题目，养成好的做题习惯；,考虑问题要全面；,复习要有重点，但不要押题；,利用好教材；,利用好往年的考题；,利用好“辅导班”。,280,