第3讲 算符 schrodinger equation.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,量子力学,光电子科学与工程学院,王可嘉,第三讲,力学量的平均值,算符,薛定谔方程,量子力学中的基本假设,1,第三讲目录,一、,简短的回顾,二、,力学量的平均值,三、,力学量用算符表示,四、,薛定谔方程,五、,量子力学的基本假设,2,一,、,简短的回顾,(1),为了解释微观世界粒子的运动规律，人们提出了以下观点,:,1,、,能量量子化,：基于此，推出了,Planck,公式，解释了黑体辐射现象；,2,、,波粒二象性,:认为任何粒子都具有粒子和波动二重性。其中的波动，称为物质波，满足,de Broglie,公式：,3,、,不确定度关系,:认为微观粒子的坐标和动量不可能同时完全确定。,3,一,、,简短的回顾,(2),为了使这些观点能用一个系统的理论来概括，人们首先做了以下工作：,既然粒子具有波动性，那么就应该用一个反映波动的函数来加以描述，即,波函数,，对于自由粒子，动量和能量是常数。,由平面波公式,由,de Broglie,公式,即自由粒子的波函数，对应为平面波,1,、自由粒子波函数,4,一,、,简短的回顾,(3),2,、任意粒子的波函数,对于描述任意粒子波动性的波函数，可以看作无限多个平面波的叠加。,5,一,、,简短的回顾,(4),对于波函数的物理意义，人们提出了各种解释，其中统计诠释为其中的一种。即：,应该是,表示粒子出现在点 附近概率大小的一个量。,3、波函数的物理意义,由此要求波函数必须满足以下性质,1）可积性；2）归一化,3）单值性；4）连续性,6,一,、,简短的回顾,(5),4、不确定度关系与力学量的平均值,通过举例得到，由此得知一般情况下,和,不能完全确定。这样可以提出一个问题:和 的什么值可以确定？,根据统计诠释：微观粒子的位置和动量一般不是确定的，而是具有概率分布。根据概率论，一个随机变量可以求,期望,(,平均值,),这个确定值。那么，和,的,平均值,可否确定,？,由此引出：,力学量的平均值,7,二,、,力学量的平均值,(1),表示粒子出现在点 附近的概率，那么粒子坐标的平均值，例如：的平均值 ，,又如，势能,是 的函数，其平均值为,:,8,二,、,力学量的平均值(2),再如，动量 的平均值为：,为动量的概率分布函数。,提出两个问题：,1、为什么不能写成,2、如果不行，能否用以,坐标为自变量的波函数,计算动量的平均值？,由此引申出量子力学中重要概念：,力学量的算符,9,三,、,力学量用算符表示(1),算符：,作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，设某种运算把函数 变为 ，表示为：,作用到平面波波函数,相当于,10,三,、,力学量用算符表示(,2),以坐标和动量为自变量的波函数之间的关系为，,动量的平均值 ，将,(2),取复共轭带入,11,三,、,力学量用算符表示(,3),12,三,、,力学量用算符表示(,4),动量的平均值，用以动量为自变量的波函数表示：,用以坐标为自变量的波函数表示：,其中，为动量 的算符,即：,动量算符,坐标算符为坐标自身,13,三,、,力学量用算符表示(,5),动能 ，动能算符,动能平均值：,角动量：角动量算符,角动量平均值,14,三,、,力学量用算符表示(,6),量子力学中，,力学量用算符表示,，若在经典力学中有力学量 ，则在量子力学中相应的力学量算符为：,量子力学假设之二,力学量 的平均值为：,若在经典力学中 ，则在量子力学中：,15,三,、,力学量用算符表示(,7),一个问题：根据坐标平均值的计算公式：,坐标平均值可否表示为：,对比前面的问题：,答案是肯定的,16,四,、,薛定谔方程(,1),经典力学，确定粒子的坐标，即可确定所有的力学量：,坐标随时间演化方程：,问题：既然波函数 完全确定微观粒子的状态（,基本假设,），那么 如何随时间演化？,牛顿方程,薛定谔方程,17,四,、,薛定谔方程(,2),设任意状态微观粒子的波函数为：,根据,Fourier,变换，可以由平面波的叠加来表示,相当于,能量算符,利用能量算符，可以给出量子力学中的基本方程：薛定谔方程,18,四,、,薛定谔方程(,3),经典粒子的能量：,两边同乘粒子的,波函数,:,根据量子力学的,基本假设之二,:,得到,薛定谔方程,：,量子力学的基本假设之三：,描述体系状态的波函数 其时空演化行为满足,薛定谔方程,。,19,四,、,薛定谔方程(,4),E.,薛定谔（,1887-1961,）,Nobel Prize in Physics(1933),“我确信，通过薛定谔的关于量子条件的公式表述，已作出了决定性的进展。在这些对量子规则作深刻阐明的新尝试中，我最满意的是薛定谔的表述方式。,”,A.Einstein,20,四,、,薛定谔方程(,5),薛定谔方程的推论：,连续性方程,由 得：,概率密度,概率(粒子)流密度,得到连续性方程,定义：,21,四,、,薛定谔方程(,6),连续性方程的回顾：,电磁学中：为电荷密度，为电流密度。,由,Guass,定理：,22,四,、,薛定谔方程(,7),电磁学,：左边表示在区域 内电荷在单位时间内的增量，右边单位时间内通过 的封闭表面 流入 内的总电流。,电荷守恒,量子力学,：左边表示在区域 内找到粒子概率单位时间内的增量，右边单位时间内通过 的封闭表面 流入 内的概率。,概率守恒,粒子数目在全空间中保持不变,23,四,、,薛定谔方程(,8),能量本征方程,薛定谔方程,:,若 不显含 ，则可令 ，有,因此，满足的方程,称为能量本征方程，称为能量本征函数，称为能量本征值。,24,四,、,薛定谔方程(,9),本征方程,数学定义：设 为算符，为一个数，若,则称,(1),为,算符 的本征方程，为本征函数，为本征值,能量本征方程,令：，称 为哈密顿算符,因为本征值 具有能量的量纲，故此方程被之为,能量本征方程,，被称为,能量本征函数,，,被称为,能量本征值,。,25,五、量子力学的基本假设（1）,1,、微观体系的状态被一个,波函数,完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。,2,、力学量用,厄米算符,表示，表示力学量的算符有组成,完全系,的本征函数。,3,、体系的状态波函数满足,薛定谔方程,：,五条基本假设,26,五、量子力学的基本假设（,2,）,4,、将体系的状态波函数 用,算符,的,本征函数 展开,，其中：,则在体系 态中,测量力学量,得到结果为 的,概率,为 ，得到结果 范围内的,概率,是 。,5,、在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。,(,全同性原理,),周世勋量子力学教程，结束语,27,五、量子力学的基本假设（,3,）,以上五条假设构成了量子力学的公理体系,28,下一讲,一维无限深方势阱中的粒子,态叠加原理,方势垒的反射与透射,一维谐振子,29,