1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第一节 多元函数的基本概念,一、平面点集,n,维空间,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,第九章 多元函数微分学,点,P,0,的去心邻域记为,1.,邻域,例如,在平面上,(,圆邻域,),在空间中,(,球邻域,),说明：,若不需要强调邻域半径,也可写成,点集,称为点,P,0,的,邻域,.,一、平面点集,n,维空间,在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆邻域,平面上的方邻域为,。,可以互相包含,.,(1),内点、外点、边界点,设有点集,E,及一点,P,:,若存在点,P,的某邻域,U
2、P),E,若存在点,P,的某邻域,U(P),E=,则称,P,为,E,的内点；,则称,P,为,E,的外点,;,若对点,P,的任一邻域,U(P),既含,E,中的内点也含,E,则称,P,为,E,的边界点,.,的外点,显然,E,的内点必属于,E,E,的外点必不属于,E,E,的,边界点可能属于,E,也可能不属于,E,.,2,.,区,域,若对,任意给定的,邻域,内总有,E,中的点,则,称,P,是,E,的聚点,.,聚点可以属于,E,也可以不属于,E,(,因为聚点可以为,E,的边界点,),(,2,),聚,点,D,若点集,E,的点都是内点，则称,E,为开集；,若点集,E,边界,则称,E,为闭集；,开区域连同它
3、的边界一起称为闭区域,.,若集,D,中任意两点都可用一完全属于,D,的折线相连,则称,D,是连通的,;,连通的开集称为开区域,;,E,的边界点的全体称为,E,的边界,;,(3),开区域及闭区域,例如，在平面上,开区域,闭区域,整个平面,是最大的开域,也是最大的闭域；,点集,是开集,，,但非,开,区域,.,o,对区域,D,若存在正数,K,使一切点,P,D,与某定点,A,的距离,AP K,则称,D,为有界域,界域,.,否则称为无,存在一圆盘,可覆盖整个区域,即为有界,域,.,3.,n,维空间,n,元有序数组,的全体称为,n,维空间,记作,即,n,维空间中的每一个元素,称为空间中的,称为该点的第,k
4、个,坐标,.,一个点,当,所有坐标,称该元素为,中的零元,记作,O.,中点,a,的,邻域为,二、多元函数的概念,引例,:,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,三角形面积的海伦公式,定义,1.,设非空点集,点集,D,称为函数的定义域,;,数集,称为函数的值域,.,特别地,当,n=2,时,有二元函数,当,n=3,时,有三元函数,映射,称为定义,在,D,上,的,n,元函数,记作,例如,二元函数,定义域为,圆域,说明,:,二元函数,z=f,(,x,y,),(,x,y,),D,图形为中心在原点的上半球面,.,的图形一般为空间曲面,.,三、多元函数的极限,定义,2.,设,n,元函数,点,则称,A,为函数,
5、也称为,n,重极限,),当,n,=2,时,记,二元函数的极限可写作,：,P,0,是,D,的聚,若存在常数,A,对一,记作,都有,对任意正数,总存在正数,切,例,1,设,求证：,证,:,故,总有,要证,例,2,设,求证,：,证：,故,总有,要证,若当点,不同值或有的极限不存在，,解,设 沿直线 趋于点,在点,(0,0),的极限,.,则可以断定函数极限不存,则有,k,值不同极限不同,!,在,(0,0),点极限不存在,.,以不同方式趋于,在。,例,3,讨论函数,函数趋于,例,4,求,解,这里函数,的定义域为,为,的聚点。,由积的极限运算法则，得,例,5,求,而,解,因,则,故,仅知其中一个存在,
6、推不出其它二者存在,.,二重极限,不同,.,如果它们都存在,则三者相等。,例如,显然,与累次极限,但由,例,3,知它在,(0,0),点二重极限不存在,.,四、多元函数的连续性,定义,3,.,设,n,元函数,定义在,D,上,如果存在,如果函数在,D,上,各点处,都连续,则称此函数,在,D,上,连续,.,否则称为,不连续,此时,称为,间断点,.,则称,n,元函数,连续,例如,函数,在点,(0,0),极限不存在,故,(0,0),为其间断点,.,又如,函数,在圆周,上间断,.,结论,:,一切多元初等函数在定义区域内连续,.,定理：,若,f,(,P,),在有界闭域,D,上连续,则,*,(4),f,(P)
7、必在,D,上一致连续,.,在,D,上可取得最大值,M,及最小值,m,;,(3),对任意,(,有界性定理,),(,最值定理,),(,介值定理,),(,一致连续性定理,),闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质,:,(,证明略,),解,原式,例,5,求,例,6,求函数,的连续域,.,解,内容小结,1.,区域,邻域,:,区域,连通的开集,2.,多元函数概念,n,元函数,常用,二元函数,(,图形一般为空间曲面,),三元函数,有,3.,多元函数的极限,4.,多元函数的连续性,1),函数,2),闭域上的多元连续函数的性质,:,有界定理,;,最值定理,;,介值定理,3),一切多元初等函数在定义区域内连续,
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