《简明线性代数》复习课.ppt

上页,下页,结束,返回,首页,线 性 代 数 复 习 课,一、内 容 提 要,二、典 型 例 题,一、内 容 提 要,行列式的性质,性质,2,行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面,.,性质,1,行列式与它的转置行列式相等,.,性质,4,对换两行,行列式值反号,.,性质,3,若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和,.,性质,6,把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变,.,性质,5,若有两行元素对应成比例,则行列式值为零,.,设,A,B,为,n,阶矩阵,则有,|,AB,|,=,|,A,|,|,B,|,一、内 容 提 要,Laplace,按行列展开,定理,行列式等于某一行,(,列,),的元素与其对应的代数余,子式乘积之和,.,即,设,A,=,(,a,ij,),为,n,阶方阵,则有,一、内 容 提 要,伴随阵,设,A,为,n,阶方阵,A,ij,为,(,i,j,),元的代数余子式,记,称,A,为方阵,A,的,转置,伴随阵,.,伴随阵的性质,设,A,为,n,阶方阵,A,的伴随阵,则有,如果,|,A,|,0,那么,称方阵,A,为,非奇异矩阵,.,逆阵计算公式,非奇异矩阵,A,的逆阵为,逆矩阵,如果存在矩阵,B,使,AB,=,BA,=,E,那么,称方阵,A,为,可逆的,并称,B,为,A,的逆矩阵,定理,设,A,B,为,n,阶方阵,若,AB,=,E,则,A,B,可逆,且有,一、内 容 提 要,逆矩阵的性质,设,A,B,为,n,阶可逆矩阵,则有,一、内 容 提 要,分块对角阵的性质,(3),A,可逆的充分必要条件是,A,i,(,i,=1,s,),都可逆,且有,一、内 容 提 要,设,A,i,(,i,=,1,s,),都是方阵,设,A,B,都是方阵,则有,矩阵,A,与,B,行等价的充要条件是,:,存在可逆矩阵,P,使,B,=,PA,.,矩阵,A,与,B,列等价的充要条件是,:,存在可逆矩阵,Q,使,B,=,AQ,.,具体地有,一、内 容 提 要,等价矩阵,如果矩阵,A,经过有限次初等,(,行,列,),变换,化为矩阵,B,就称矩阵,A,与,B,(,行,列,),等价,记为,A,B,.,行最简形矩阵,行阶梯形矩阵,一、内 容 提 要,矩阵的秩,一、内 容 提 要,如果矩阵,A,的等价标准形为,那么称,F,中单位阵的阶数,r,为矩阵,A,的秩,记为,R,(,A,),.,性质,1,等价矩阵有相等的秩,.,性质,2,性质,4,性质,3,n,阶方阵,A,可逆的充分必要条件是,R,(,A,),=,n,.,行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数,.,性质,5,矩阵的秩,一、内 容 提 要,如果矩阵,A,的等价标准形为,那么称,F,中单位阵的阶数,r,为矩阵,A,的秩,记为,R,(,A,),.,性质,7,性质,8,性质,9,若,则,性质,6,逆矩阵的初等变换求法,矩阵初等变换的应用,线性方程组的最简形解法,将线性方程组的增广矩阵化为行最简形,写出同解,方程组,解便一目了然,.,矩阵方程,AX,=,B,XA,=,B,的初等变换解法,一、内 容 提 要,(1),当,R,(,A,b,),R,(,A,),时,方程组无解,;,(2),当,R,(,A,b,),=,R,(,A,),=,n,时,方程组有唯一解,;,(3),当,R,(,A,b,),=,R,(,A,),r,则向量组,b,1,b,s,线性相关,.,设向量,b,1,b,s,可由向量组,a,1,a,r,线性表示,定理,设向量组 线性无关,若,线性相关,则向量,b,可由 线性表示,.,而,x,1,x,n,-,r,线性无关,所以,h,h,+,x,1,h,+,x,n,-,r,线性无关,.,因,x,1,x,n,-,r,的线性组合也是,Ax,=,0,的解,h,不可由,x,1,x,n,-,r,线性表示,证,2,由定理知,h,x,1,x,n,-,r,线性无关,从而,易知,h,h,+,x,1,h,+,x,n,-,r,与,h,x,1,x,n,-,r,等价,因此,所以,例,8,设,x,1,x,n,-,r,是,Ax,=,0,的一个基础解系,而,h,不,是,Ax,=,0,的解,证明,h,h,+,x,1,h,+,x,n,-,r,线性无关,.,知识点,解,方阵,A,的特征多项式为,例,9,求方阵,的特征值和特征向量,.,方阵,A,的特征值为,解,例,9,求方阵,的特征值和特征向量,.,当,l,1,=-,3,时,解方程组,由,得基础解系,方阵,A,对应于,l,1,=-,3,的全部特征向量为,解,例,9,求方阵,的特征值和特征向量,.,当,l,2,=,l,3,=,l,4,=,1,时,解方程组,由,得基础解系,方阵,A,对应于,l,2,=,l,3,=,l,4,=,1,的全部特征向量为,(,k,2,k,3,k,4,不同时为零,),解,例,10,设矩阵,A,与,B,相似,其中,(1),因,A,与对角阵,B,相似,知,A,的特征值为,2,2,b,.,由特征值的性质得,求得,知识点,(1),求常数,a,b,;(2),求可逆矩阵,P,使,P,-,1,AP,=,B,.(3),求,A,n,.,解,例,10,设矩阵,A,与,B,相似,其中,(1),求常数,a,b,;(2),求可逆矩阵,P,使,P,-,1,AP,=,B,.(3),求,A,n,.,(2),当,l,=,2,时,解方程组,(2,E,-,A,),x,=,0,得基础解系,当,l,=,6,时,解方程组,(6,E,-,A,),x,=,0,得基础解系,取可逆矩阵,则有,P,-,1,AP,=,B,.,知识点,解,例,10,设矩阵,A,与,B,相似,其中,(1),求常数,a,b,;(2),求可逆矩阵,P,使,P,-,1,AP,=,B,.(3),求,A,n,.,(3),A,=,PBP,-,1,A,n,=,PB,n,P,-,1,.,解,例,10,设矩阵,A,与,B,相似,其中,(1),求常数,a,b,;(2),求可逆矩阵,P,使,P,-,1,AP,=,B,.(3),求,A,n,.,(3),A,=,PBP,-,1,A,n,=,PB,n,P,-,1,.,