有限单元法-杆件.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,矩阵代数复习,1,、矩阵定义,一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为,m,行和,n,列，称为,m,n,阶矩阵。,A,=,a,a,a,a,a,a,a,a,a,n,n,m,m,mn,11,12,1,21,22,2,1,2,L,L,M,O,M,L,2,、方阵,一个具有相同的行数和列数的矩阵，即,m,=,n,时，称为,n,阶方阵。,3,、行矩阵和列矩阵,一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：,A,=,a,a,a,a,n,11,12,13,1,由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：,1,4,、纯量,(,标量,),仅由一个单独的元素所组成的,1,1,阶矩阵称为纯量。,5,、矩阵乘法,两个规则：,（,1,）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即,A,B,C,p,l,m,p,l,n,m,n,=,=,当,时才能相乘,（,2,）不具有交换律，即,AB,BA,A B,=,a,a,a,a,b,b,11,12,21,22,11,21,|,共形,2,2,2,1,|,|,B A,=,b,b,a,a,a,a,11,21,11,12,21,22,非,共形,2,1,22,|,|,2,6,、转置矩阵,将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：,A=,a,a,a,a,a,a,11,12,21,22,31,32,其转置矩阵为,A,T,=,a,a,a,a,a,a,11,21,31,12,22,32,当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。若,A=B C D,则,A,T,=D,T,C,T,B,T,7,、零矩阵,元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用,0,表示。,若,AB=,0,，,但不一定,A=,0,或,B=,0,。,3,任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即,AI,=,A,IA,=,A,4,10,、逆矩阵,在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，,除法运算由矩阵求逆来完成,。例如，若,AB,=,C,则,B,=,A,-,1,C,此处,A,-1,称为矩阵,A,的逆矩阵。,一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：,A A,-,1,=,A,-,1,A,=,I,矩阵求逆时必须满足两个条件：,（,1,）矩阵是一个方阵。,（,2,）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩阵称为奇异矩阵）。,11,、正交矩阵,若一方阵,A,每一行（列）的各个元素平方之和等于,1,，而,所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交矩阵，则,A,=,cos,sin,sin,cos,a,a,a,a,-,正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即,A,-,1,=,A,T,5,1,结构离散与向量表示,工程上许多由金属构件所组成的结构，如塔式桁构支承架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑等可以归结为杆系结构。杆系结构按各杆轴线及外力作用线在空间的位置分为平面杆系和空间杆系结构。,杆系结构可以由杆单元、梁单元组成,。,(a),塔式起重机,(b),履带式起重机,(c),钢结构桥梁,(d),埃菲尔铁塔,图,1,杆系结构,6,1.1,结构离散化,由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散化比较简单，一般将杆件或者杆件的一段,(,一根杆又分为几个单元,),作为一个单元，杆件与杆件相连接的交点称为结点。,杆系结构的离散化的要点可参考如下：,a.,杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。这些结点都是根据结构本身特点来确定的。,b.,结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置为一个单元。,c.,变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段中点处的截面近似作为该单元的截面，各单元仍按等截面杆进行计算。,7,d.,对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折线为一个单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间增加结点。,e.,在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构有非结点载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其变换为作用在结点上的等效结点载荷。,(,a,),结点载荷处理方式,(,b,),等效结点载荷处理方式,图,2,杆系结构离散化示意图,8,1.2,坐标系,图,3,坐标系示意图,为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析，尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。,9,1.3,向量表示,在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及相应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标轴方向的分量。,刚架结构示意图,(b),结点位移和结点力分向量,图,4,平面刚架分析示意图,10,结点位移列向量为,单元,e,结点位移列向量为,结点力向量为,单元,e,结点力列向量为,11,2,位移函数及要求,有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不同的单元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建的位移函数的数学模型的性能、能否真实反映真实结构的位移分布规律等，直接影响计算结果的真实性、计算精度及解的收敛性。,为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下列要求,:,a.,单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。,b.,单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中。,c.,单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的位移协调性。,12,13,a.,把连续体离散成单元,只考虑轴向变形的杆件，划分成,n,个单元，,n,+1,个节点单元编号：,e,1,e,2,e,3,e,n,节点坐标：,x,0,x,1,x,2,x,n,x,i-1,x,i,e,i,x,0,x,1,x,2,x,i-1,x,i,x,i+1,x,n,x,示例,14,b.,假设单元的位移函数,x,i-1,x,i,e,i,第二章 杆件结构的有限元法,杆件结构的基本概念,铰连接杆件（二力杆）,铰连接杆件系统、连接铰,弹簧系统,单个弹簧的刚度矩阵,弹簧系统的刚度矩阵,弹簧单元小结,例题、系统方程的组装和求解,杆件系统的有限元法,杆单元,例,总体刚阵存储与节点排列,小结,15,杆件结构的基本概念,铰连接杆件（二力杆、弹簧）,仅能承受沿杆件轴向的拉力或压力,变形仅仅是杆件轴向的拉伸或压缩,二力杆力与变形的关系（线弹性）,铰连接杆件系统、连接铰,连接铰：仅传递力，不传递,力矩,每个连接铰的位移都是荷载,F,的线性函数,刚度系数,连接铰,二力杆,16,弹簧单元,单元节点,i,j,弹簧系统（一）,弹簧的刚度矩阵,力,线性关系,弹簧系统的刚度矩阵,位移,伸长,弹簧刚度矩阵,单元,1,单元,2,总体节点,1,2,3,弹簧单元刚度矩阵,弹簧系统总体刚度矩阵,单元,2,单元,1,刚度矩阵组装,17,弹簧系统（二）,弹簧（,Spring,）单元小结,2,个节点,1,个输入参数,单元刚度矩阵,例,1,单元刚阵,总刚的组装,总体刚度矩阵是对称、奇异的,每个节点,1,个节点自由度,每个节点,1,个节点力,单元,1,单元,2,单元节点号,总体节点号,单元,1,1,i,1,1,j,2,单元,2,2,i,2,2,j,3,节点拓扑关系,18,弹簧系统（三）,例,1,（续）,系统含,3,个节点，每个节点,1,个自由度，共计,3,个自由度，总刚是,33,对称方阵,系统方程组,总体刚度矩阵是奇异，独立方程的数目不足，需补充边界条件,如果，未知量是,解,总体节点自由度列阵,总体节点力列阵,19,弹簧系统（四）,例,2,已知,求：（,1,）系统的总刚；（,2,）节点,2,、,3,的位移；,（,3,）节点,1,、4,的反力；（,4,）弹簧,2,的受力。,解：单元刚阵,单元,1,，单元,3,单元,2,总刚组装,节点自由度和节点力,20,弹簧系统（五）,例,2,（续）,位移解,反力解,弹簧（单元）,2,的节点力,弹簧,2,的受力,21,杆件系统的有限元法（一）,杆（,Bar,）单元,二维,单元输入量,节点坐标和,E,、,A,单元节点位移,单元节点力,E,：弹性模量,A,：横截面积,长度,方向余弦,22,杆件系统的有限元法（二）,杆（,Bar,）单元,二维（续）,单元刚阵,23,杆件系统的有限元法（三）,例：,求：,位移和反力,解：,已知,单元,1,单元,2,24,杆件系统的有限元法（四）,例（续）,总刚单元,3,25,杆件系统的有限元法（四）,例（续）,总刚,系统方程,26,杆件系统的有限元法（五）,例（续）,边界条件,27,杆件系统的有限元法（六）,例（续）,28,杆件系统的有限元法（七）,例（续）,29,杆件系统的有限元法（八）,例（续）,边界条件,解,30,杆件系统的有限元法（九）,例（续）,31,杆件系统问题的求解步骤：,1.,对杆件系统划分单元，对单元和节点进行编号；,2.,写出各个单元在整体坐标系下的刚度矩阵（单刚）；,3.,根据各单元刚度矩阵根据节点关系，装配成整体刚度矩阵；,5.,写出系统的边界条件，代入系统方程，求出各节点位移；,杆件系统的有限元法（十）,4.,根据力,-刚度,-,位移的关系，写出系统方程；,6.,求解个节点支反力、各单元应力和应变等未知量。,32,整体刚度矩阵的集成,整体刚度矩阵是由在整体坐标系下，矩阵按照结点编号的顺序组成的行和列的原则，将全部单元刚度矩阵扩展成,n,n,方阵后对号入座叠加得到。,对于单元,1,对于单元,2,对于单元,3,单元刚度矩阵集成得出整体刚度矩阵,杆件系统的有限元法（十一）,33,杆件系统的有限元法（十二）,整体刚度矩阵的性质,整体刚度矩阵 中位于主对角线上的子块 ，称为主子块，其余 为副子块。,a.,中主子块 由结点,i,的各相关单元的主子块扩展之后叠加求得，即,b.,当结点,i,、,j,为单元,e,的相关结点时中副子块 为该单元,e,相应的副子块，即 。,c.,当结点,i,、,j,为非相关结点时，中副子块 为零子块，即 。,d.,仅与各单元的几何特性、材料特性，即,A,、,I,、,l,、,E,等因素有关。,e.,为对称方阵，,f.,为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整体刚度矩阵时没有考虑结构的边界约束条件。,34,g.,为,稀疏矩阵,，整体刚度矩阵中的非零元素分布区域的宽度与结点编号有关，非零元素分布在以对角线为中心的带状区域内，称为带状分布规律，见图,3-10(a),。在包括对角线元素在内的区域中，每行所具有的元素个数叫做把半带宽，以,d,表示。,最大半带宽等于相邻结点号的最大差值加,1,与结点自由度数的乘积,，,结点号差越大半带宽也就越大。计算机以半带宽方式存储，见图,3-10(b),。半带宽越窄，计算机的存储量就越少，而且可以大幅度减少求解方程所需的运算次数。其效果对大型结构显得尤为突出。,图,3-10,整体刚度矩阵存储方法,h.,整体刚度矩阵,稀疏阵,。故整体刚度矩阵不能求逆，必须作约束处理方能正确地将结点位移求出，进而求出结构的应力场。,(,a,),带状分布规律,(,b,),带状存储,35,杆件系统的有限元法（十三）,总体刚阵存储与节点排列,1,个节点有,2,个自由度，,n,个节点的系统有,2n,个自由度。,总体刚阵是,2n2n,阶。,n,100,000,时，总刚有,41010,个元素。全部存储，数据量非常大。,总刚的特点,对称,存储上（下）三角，有,n(2n+1),个,元素，还是太多,带状、稀疏,数据中大量是零，在对角线两,侧带状分布,带状存储,仅存储上（下）三角的带内元素，数据量减少很多,最大带宽,由,A,B,的元素数,最大半带宽,由,O,B,的元素数,最大半带宽愈小，存储量愈小,36,杆件系统的有限元法（十四）,总体刚阵存储与节点排列（续）,单元自由度的总体拓扑关系,非零元素只出现在由有限单元,连接的节点的自由度的位置,最大半带宽,节点号,自由度号,单元,总体,单元,总体,1,i,1,2,i,1,2,2,i,2,j,3,2,j,1,4,2,j,总刚,37杆件系统的有限元法（十五）,总体刚阵存储与节点排列（续）,每行存储,8,个元素，少于,812,96,个元素,每行存储,6,个元素，少于,612,72,个元素,大型结构，采用等带宽存储，较上（下）三角存储，少,80,90,，更节省存储空间的方法是变带宽存储，每行的半带宽不同，存储的元素数也不同,38,杆件系统的有限元法（十六）,总体刚阵存储与节点排列（续）,每行存储,8,个元素，少于,812,96,个元素,每行存储,6,个元素，少于,612,72,个元素,一般来讲，当一个结构较长时，应,先顺其较窄,的方向编号然,后向较长,的方向移动编号。,39,小结,弹簧单元和杆单元,基本参数：,单元刚度矩阵,总体刚度矩阵,总刚的组装：单元节点和总体节点的拓扑关系,边界条件的处理：消元法和大数法,反力的计算：回代,总刚的存储，对称、带状、稀疏，带宽、半带宽,40,