数列求和分类.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数列求和,一、公式求和法,1.,等差数列前,n,项和公式,Sn,=,Sn,=,n(,a,1,+,a,n,),2,2.,等比数列前,n,项和公式,n,a,1,(1-q ),1-q,=,a,1,-,a,n,q,1-q,na,1,（q=1）,（q=1）,na,1,+,n,(,n-,1)d,2,运用公式法主要是使用已经证明，并承认其在解决其他问题时可以使用的公式来进行数列求和。,2.b,n,:,Sn,=,练习,:,求,下列各数列的前,n,项和,S,n,:,1.a,n,:1,3,5,2n-1,S,n,=,n,2,1-,二、分组求和法,+,n,1,例,.,求数列,+,2,3,+,的前,n,项和,。,.,2,2,2,3,2,n,2,+,1,2,3,n,c,n,=,a,n,+,b,n,(,a,n,、,b,n,为等差或等比数列。）,项的特征,+,n,1,例,.,求数列,+,2,3,+,的前,n,和。,2,2,2,3,2,n,2,+,1,2,3,n,解1+2+3+,+n),Sn,=(1+2)+(2+)+(3+)+,+(,+,),2,2,3,2,2,+(2+2 +2 +,+2 ),n,2,3,=,n(n+1),2,2(2 -1),2-1,n,+,=,n(n+1),2,+,2 -2,n+1,二、分组求和法,例,1,求数列 的前,n,项和,分析：,由,这个数列的前五项可看出该数列是由一个首项为,1,、公差为,2,的等差数列与一个首项为 、公比为 的等比数列的和数列。所以它的前,n,项和可看作一个等差数列的前,n,项和与一个等比数列的前,n,项和的和。,解：,1,.,求数列,9,，,99,，,999,，,.,的前,n,项和,n.,通项：,10,n,-1,2.,求数列,5,，,55,，,555,，,.,的前,n,项和,n.,通项,:5,(,10,n,-1)/9,反思与小结：,要善于从通项公式中看本质：一个等差,加,一个等比,2,n,，,另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题,.,运用条件：若数列,C,n,满足,C,n,=a,n,b,n,，其中,a,n,为等差数列，,b,n,为等比数列且公比为,q,，则数列,C,n,的前,n,项和可用“错位相减法”求之。,基本步骤为：先写出,S,n,，再求出,qS,n,，然后求“,S,n,-qS,n,”,。但须注意书写时“同类项”要对齐，即要“错位”以便求差。,二、错 位 相 减 法,例3、求和S,n,=1+2,x,+3,x,2,+n,x,n,-1,(,x,0,1),分析,这是一个等差数列n与一个等比数列x,n-1,的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？,S,n,=1+2,x,+3,x,2,+n,x,n,-1,xS,n,=,x,+2,x,2,+(n-1),x,n,-1,+n,x,n,(1-x)S,n,=1+,x,+,x,2,+,x,n,-1,-,n,x,n,n项,这,时右,边是一个等比数,列前,n,项和与一个式子的和,，就,可以化简求值。,错位相减法,-,1-x,n,1-x,=,-,n,x,n,1-(1+n)x,n,+nx,n+1,1-x,=,S,n,=,1-(1+n)x,n,+nx,n+1,(1-x),2,解：,求数列 的前,n,项和,分析：,该,数列可看作等差数列 等比数列,积,的数列,这里等比数列的公比,q,=,解：,两式相减：,所以：,运算整理得：,例,1,求数列,x,2x,2,3x,3,nx,n,，,的前,n,项和。,解：,当,x=0,时,S,n,=0,当,x=1,时,S,n,=1+2+3+n=n(n+1)/2,S,n,=x+2x,2,+3x,3,+,+,nx,n,xS,n,=x,2,+2x,3,+3x,4,+(n-1)x,n,+,nx,n,+1 ,得：,(1-x)S,n,=x+x,2,+x,3,+,+x,n,-,nx,n,+1,化简得：,S,n,=x(1-,x,n,)/(1-x),2,-,nx,n,+1,/(1-x),当,x,0,且,x1,时,所以,(1-x),S,n,=x(1-,x,n,)/(1-x)-,nx,n,+1,当,x,0,0 (x=0),综合得,S,n,=n(n+1)/2 (x=1),x(1-,x,n,)/(1-x),2,-,nx,n,+1,/(1-x),(x,0,且,x1,）,顾名思义，“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项，然后，前后交叉相消为,0,达到求和目的的一种求和方法。,求 法 步 骤,1,、先分析数列的项的结构，把通项式“裂”成几项。,（,注意：裂开后的通项式有相消为,0,的情况出现才行）,2,、解题时；对裂开后的通项式令,n,取,1,，,2,，,3,n,，然后相加得,裂,项,相,消,求下列数列前,n,项的和,S,n,：,（裂项相消法）,数 列 求 和,例题解析之,裂项相消法,解:,小评：1、此类题的关键是怎样把通项裂项，注意要与 原式相等，通常在 前面加系数使其相等。,2、在求和时要注意前后几项抵消的规律。,3、剩下的是哪几项，就可以马上求出。,例2、,求和,例,4,求数列 的前,n,项和。,分析：,该,数列的特征是：分子都是,1,，分母是一个以,1,为首项，以,3,为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子变为公差,3,，就可以裂项了。,解：,数,列,求,和,3,例4、S,n,=+,1,13,1,35,1,(2n-1)(2n+1),解：由通项,a,n,=,1,(2n-1)(2n+1),=（-）,2,1,2n-1,1,2n+1,1,S,n,=,（-+-+-),2,1,3,1,1,1,5,1,3,1,2n-1,1,2n+1,1,=（1 -）,2,1,2n+1,1,2n+1,n,=,评：裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。,常见的拆项公式：,总结：,直接求和（公式法）,等差、或等比数列用求和公式，常数列直接运算。,倒序求和,等差数列的求和方法,错位相减,数列,a,n,b,n,的求和，其中,a,n,是等差数列，,b,n,是等比数列。,裂项相消,公式法,把通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列进行求和。,常见求和方法,适用范围及方法,数列,1/f(n)g(n),的求和，其中,f(n),g(n),是关于,n,的一次函数。,例,3,：求和,解：,练习：（求和）,课后练习,1.,已知数列,a,n,是等差数列,且,a,1,=2,a,1,+,a,2,+,a,3,=12,(1),求数列,a,n,的通项公式,;(2),令,b,n,=,a,n,3,n,求数列,b,n,前,n,项和的公式,.,解,:,(1),设数列,a,n,的公差为,d,则由已知得,3,a,1,+3,d,=12,d2.,a,n,=2+(,n,-,1),2=2,n,.,故数列,a,n,的通项公式,为,a,n,=2,n,.,(2),由,b,n,=,a,n,3,n,=2,n,3,n,得数列,b,n,前,n,项和,S,n,=2,3+4,3,2,+,+(2,n,-,2),3,n,-,1,+2,n,3,n,3,S,n,=2,3,2,+4,3,3,+,+(2,n,-,2),3,n,+2,n,3,n,+1,将,式减,式得,:,-,2,S,n,=2(3+3,2,+,+3,n,),-,2,n,3,n,+1,=3(3,n,-,1),-,2,n,3,n,+1,.,S,n,=+,n,3,n,+1,.,3(1,-,3,n,),2,又,a,1,=2,2.,将上题,(2),中,“,b,n,=,a,n,3,n,”,改为,“,b,n,=,a,n,x,n,(,x,R,)”,仍求,b,n,的前,n,项和,.,解,:,令,S,n,=,b,1,+,b,2,+,+,b,n,则由,b,n,=,a,n,x,n,=2,nx,n,得,:,S,n,=2,x,+4,x,2,+,+(2,n,-,2),x,n,-,1,+2,nx,n,xS,n,=2,x,2,+4,x,3,+,+(2,n,-,2),x,n,+2,nx,n,+1,当,x,1,时,将,式减,式得,:,(1,-,x,),S,n,=2(,x,+,x,2,+,+,x,n,),-,2,nx,n,1,=,-,2,nx,n,+1,.,2x(1,-,x,n,),1,-,x,S,n,=,-,.,2,x,(1,-,x,n,),(1,-,x,),2,2,nx,n,+1,1,-,x,当,x,=1,时,S,n,=2+4+,+2,n,=,n,(,n,+1);,综上所述,S,n,=,n,(,n,+1),x,=1,时,2,x,(1,-,x,n,),(1,-,x,),2,2,nx,n,+1,1,-,x,-,x,1,时,.,3.,求和,:,S,n,=1+(1+)+(1+)+,+(1+,+).,1,2,1,4,1,2,1,2,1,4,1,2,n,-,1,1,2,1,4,1,2,n,-,1,解,:,a,n,=12,-,.,1,-,1,2,1,-,1,2,1,2,n,-,1,1,2,n,-,1,S,n,=2,n,-,(1+,+),1,2,1,4,1,2,n,-,1,=2,n,-,2+.,1,2,n,-,1,4.,求数列,n,(,n,+1)(2,n,+1),的前,n,项和,S,n,.,解,:,通项,a,k,=,k,(,k,+1)(2,k,+1)=2,k,3,+3,k,2,+,k,S,n,=2(1,3,+2,3,+,+,n,3,)+3(1,2,+2,2,+,+,n,2,)+(1+2+,+,n,),n,2,(,n,+1),2,=,+,2,n,(,n,+1),2,n,(,n,+1)(2,n,+1),2,=,.,n,(,n,+1),2,(,n,+2),2,5.,数列,a,n,中,a,n,=+,+,又,b,n,=,求数列,b,n,的前,n,项的和,.,n,+1,1,n,+1,2,n,+1,n,a,n,a,n,+1,2,解,:,a,n,=(1+2+,+,n,)=,n,+1,1,2,n,b,n,=8(,-,).,2,n,2,n,+1,2,n,+1,1,n,1,S,n,=8(1,-,)+(,-,)+(,-,)+,+(,-,),1,2,1,3,1,2,1,3,1,4,n,+1,1,n,1,=8(1,-,),n,+1,1,n,+1,8,n,=.,9.,已知递增的等比数列,a,n,前,3,项之积为,512,且这三项分别减去,1,3,9,后又成等差数列,求数列,的前,n,项和,.,a,n,n,解,:,设,等比数列,a,n,的公比为,q,依题意得,:,a,1,a,2,a,3,=512,a,2,3,=512,a,2,=8.,前三项分别减去,1,3,9,后又成等差数列,(,-,1)+(8,q,-,9)=2(8,-,3),q,=2,或,q,=,(,舍去,),.,q,8,1,2,a,n,=,a,2,q,n,-,2,=8,2,n,-,2,=2,n,+1,.,所求数列的前,n,项和,S,n,=+,+,1,2,2,2,2,3,2,n,+1,n,2,n,+1,n,-,1,1,2,3,2,2,4,S,n,=+,+1,2,2,n,+2,n,-,得,:,S,n,=+,+,-,2,n,+1,1,1,2,2,1,2,3,1,2,2,n,+2,n,S,n,=+,+,-,1,2,n,1,2,2,2,n,+1,n,1,2,=1,-,-,.,1,2,n,2,n,+1,n,10.,已知数列,a,n,中,a,1,=1,(2,n,+1),a,n,=(2,n,-,3),a,n,-,1,(,n,2,n,N,*,),求数列,a,n,的前,n,项和,S,n,.,=,.,a,n,-,1,a,n,2,n,-,3,2,n,+1,S,n,=,a,1,+,a,2,+,+,a,n,解,:,(2,n,+1),a,n,=(2,n,-,3),a,n,-,1,则,=,=,=.,a,n,-,2,a,n,-,1,2,n,-,5,2,n,-,1,a,2,a,3,3,7,a,1,a,2,1,5,=.,a,1,a,n,(2,n,+1)(2,n,-,1),3,a,n,=,(2,n,+1)(2,n,-,1),3,=,(,-,).,3,2,1,2,n,-,1,1,2,n,+1,3,2,1,2,n,-,1,1,2,n,+1,=,(1,-,)+(,-,)+(,-,)+,+(,-,),1,3,1,5,1,3,1,5,1,7,3,n,2,n,+1,=,.,(1),证,:,由已知,S,1,=,a,1,=,a,S,n,=,aq,n,-,1,当,n,2,时,a,n,S,n,-,S,n,-,1,=,aq,n,-,1,-,aq,n,-,2,=,a,(,q,-,1),q,n,-,2,.,在,a,n,中,从第,2,项开始成等比数列,.,12.,数列,a,n,中,a,1,=,a,前,n,项和,S,n,构成公比为,q,(,q,1),的等比数列,.(1),求证,:,在,a,n,中,从第,2,项开始成等比数列,;(2),当,a,=2,50,q,=,时,设,b,n,=log,2,|,a,n,|,求,|,b,1,|+|,b,2,|+,+|,b,n,|.,1,2,a,n,+1,a,n,=,q,(,n,2),a,(,q,-,1),q,n,-,2,a,(,q,-,1),q,n1,(2),解,:,由,(1),知,a,n,=,a,n,=1,a,(,q,-,1),q,n,-,2,n,2.,当,a,=2,50,q,=,时,b,1,=log,2,|,a,1,|=log,2,2,50,=50,1,2,n,2,时,b,n,=log,2,|,a,n,|=log,2,|2,50,(,-,1)(,),n,-,2,|=51,-,n,1,2,1,2,b,n,=51,-,n,(,n,N,*,).,当,1,n,51,时,|,b,1,|+|,b,2,|+,+|,b,n,|,=(51,-,1)+(51,-,2)+,+(51,-,n,),=51,n,-,n,(,n,+1),2,=,-,n,2,+,n,;,101,2,1,2,当,n,52,时,|,b,1,|+|,b,2,|+,+|,b,n,|,=+,50(50+1),2,(,n,-,51)(1+,n,-,51),2,=,n,2,-,n,+2550.,101,2,1,2,n,2,-,n,+2550,n,52.,101,2,1,2,综上所述,|,b,1,|+|,b,2,|+,+|,b,n,|=,-,n,2,+,n,1,n,51,101,2,1,2,=(50+49+,+1)+1+2+,+(,n,-,51),=51,n,-,(1+2+,+,n,),