1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二节 复平面上的点集,1,、平面点集的几个基本概念,2,、区域与若尔当曲线,第一章,下页,返回,上页,1,基本概念,:,设,a,C,r,(0,+,),。,a,的,r,邻域,既是以,a,为圆心,r,为半径的开圆盘,N,r,(,a,),，定义为：,a,r,记作：,N,r,(,a,),a,=,z,|0|,z,-,a,|0,，,使得,则称,a,为,E,的,孤立点,（边界点而非聚点）；,则称,E,是,有界集,，否则称,E,是无界集；,开集,：所有点为内点的集合；,闭集,：或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
2、1,、任何集合的闭包一定是闭集；,3,、复平面上的有界闭集称为,紧集,。,2,、如果存在,r0,，使得,下页,返回,上页,集合的例子,:,例,1,、圆盘,U,(,a,r,),是有界开集；闭圆盘是有界闭集；,例,2,、集合,z|z-a|=r,是以为,a,心，,r,为半径的圆周，它是圆盘,U,(,a,r,),和闭圆盘的边界。,例,3,、复平面、实轴、虚轴是无界集。,例,4,、集合,E=,z|0|z-a|r,是去掉圆心的圆盘。圆心,a,是边界点，它是,E,边界的孤立点，是集合,E,的聚点。,下页,返回,上页,如果平面点集,D,满足以下两个条件,则称它为一个区域,.,(1),D,是一个,开集,；,(
3、2),D,是,连通的,就是说,D,中任何两点都可以用完全属于,D,的一条折线连结起来,.,2,、区域与若尔当曲线概念,下页,返回,上页,D,的所有边界点组成,D,的,边界,.,说明,(1),区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的,.,(2),区域,D,与它的边界一起构成,闭区域,下页,返回,上页,以上基本概念的图示,区域,邻域,边界点,边界,有界区域和无界区域,:,下页,返回,上页,(1),圆环域,:,课堂练习,判断下列区域是否有界,?,(2),上半平面,:,(3),角形域,:,(4),带形域,:,答案,(1),有界,;(2)(3)(4),无界,.,下页,返回,上页,10,连续曲线,
4、平面曲线的复数表示,:,下页,返回,上页,11,光滑曲线,:,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线,.,下页,返回,上页,简单曲线,:,没有重点的连续曲线,C,称为简单曲线,(,或若尔当曲线,).,下页,返回,上页,换句话说,简单曲线自身不相交,.,13,下页,返回,上页,简单闭曲线的性质,若尔当定理,定理,1.1,任意一条简单闭曲线,C,将复平面唯一地分成,C,I,(,C,),E,(,C,),三个互不相交的点集,.,满足：,I(C),E(C),边界,（,2,）,I,(,C,),是一个有界区域（称为,C,的内部）,.,（,3,）,E,(,C,),是一个无界区域（称为,C,的
5、外部）,.,（,4,）若简单折线,P,的一个断点属于,I,(,C,),，另一个端点属于,E,(,C,),，则,P,必与,C,相交,.,（,1,）彼此不相交,简单闭曲线的正、反向,.,14,课堂练习,判断下列曲线是否为简单闭曲线,?,答,案,简单,闭,简单,不闭,不简单,闭,不简单,不闭,下页,返回,上页,15,单连通域与多连通域的定义,:,复平面上的一个区域,B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于,B,就称为单连通域,.,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域,.,单连通域,多连通域,下页,返回,上页,例,1,指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的
6、解,无界的单连通域,(,如图,).,下页,返回,上页,是角形域,无界的单连通域,(,如图,).,无界的多连通域,.,下页,返回,上页,表示到,1,1,的距离之和为定值,4,的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域,.,下页,返回,上页,有界的单连通域,.,下页,返回,上页,例,2,满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域,?,下页,返回,上页,解,是一条平行于实轴的直线,不是区域,.,单连通域,.,下页,返回,上页,是多连通域,.,不是区域,.,下页,返回,上页,3,、小结与思考,应理解区域的有关概念,:,邻域、去心邻域、聚点、孤立点、内点、外点、闭集、开集、边界点、边界、有界集、无界集、区域,理解,Jordan,曲线、光滑曲线、单连通域与多连通域,.,下页,返回,上页,作业,:,第,42,页,6.(1)(3)(5),7,8,9,下页,返回,上页,
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