高等数学第九章D9_7方向导数与梯度.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章,第七节,一、方向导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,问题的提出,考虑二元函数,z=f(x,y),的偏导数,仅反映函数在,水平方向,（横轴方向）上的变化率。,同理，偏导数,仅反映函数在,垂直方向,上的变化率。,在实际问题中，还需要考虑函数在斜方向上的变化率问题，如冷热空气的流动，温度场的变化等。,一、方向导数的定义,函数在某一方向上的变化率，称为函数在该方向,上的,方向导数,。,与,l,同方向的单位向量为,则射线,l,的参数方程为,动点从,沿方向,l,运动到点,P,时，函数产生的增量,称之为函数在,l,方向上的增量。,称之为函数在,l,方向上的,平均变化率,。,如果极限,存在,l,的参数方程为,则称它为,f,(,x,y,),在点 处沿方向,l,的,方向导数,。,记为,问题,1,：,方向导数与偏导数的关系？,问题,2,：,函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是,什么？如何计算方向导数？,如果极限,存在，,则称它为,f,(,x,y,),在点,处沿方向,l,的方向导数。,方向导数,就是函数在点 处沿方向,l,的,变化率,。,（,1,）在,x,轴的正方向上，,假设,z=f,(,x,y,),在点 偏导数存在,问题,1,：,方向导数与偏导数的关系？,假设,zf,(,x,y,),在点 偏导数存在,（,2,）在,x,轴的负方向上，,问题,1,：,方向导数与偏导数的关系？,（,3,）同理，在,y,轴的两个方向上,正方向：,负方向：,则函数在,该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在,.,偏导数,均存在，,结论,1,：,如果函数,z=f,(,x,y),在点,的两个,即：,偏导数是一种特殊的方向导数,。,结论,2,：,偏导数存在不能保证斜方向的方向导数存在。,思考：,若函数沿任意方向的方向导数均存在，是否保证偏导数一定存在？,例,1,：,解：,不存在,。,结论,3,定理,如果函数,f,(,x,y,),在点 可,微分,，那么函数在该点沿任一方向,l,的,方向导数,存在，且有,其中 是方向,l,的,方向余弦,.,证,:,由假设，,f,(,x,y,),在点 可微，故有,问题,2,：,函数沿任意方向的,方向导数均存在的条件,是,什么？如何,计算,方向导数？,但点 在以 为始点的射线,l,上时，应有,这就证明了,方向导数,存在，且其值为,计算可微函数方向导数的步骤：,（,1,）确定给定方向,l,的方向余弦：,即与,l,同方向的单位向量。,（,2,）计算偏导数,（,3,）利用公式计算,或,例,1,求函数 在点,P,(1,0),处沿从点,P,(1,0),到点,Q,(2,1),的方向的,方向导数,.,解,:,这里方向,l,即,向量,的方向，与,l,同向的,单位向量,为,所求方向导数为,解,由方向导数的计算公式知,故,定义,:,若函数,则称,为函数在点,P,处沿方向,l,的,方向导数,.,在点,处,沿方向,l,(,方向角为,),存在下列极限,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记作,对于三元函数,f,(,x,y,z,),来说,定理,:,则函数在该点,沿任意方向,l,的方向导数存在,证明,:,由函数,且有,在点,P,可微,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,例3,.,求函数,在点,P,(1,1,1),沿向量,的方向导数,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,:,向量,l,的方向余弦为,例,4.,求函数,在点,P,(2,3),沿曲线,朝x,增大方向的方向导数,.,解,:,将已知曲线用参数方程表示为,它在点,P,的,切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5,设,是曲面,在点,P,(1,1,1),处,指向外侧的法向量,解,:,方向,的方向导数,.,在点,P,处沿,求函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对于封闭的曲面，上述两个法向量中，一个指向曲面的外侧，另一个则指向曲面的内侧。,令,则曲面上任意一点,P,(,x,y,z,),处的法向量可取为,指向外侧,，,则指向内侧,，,令,故,又,解：,的方向余弦，即与 同方向的单位向量为,故,定义：,设函数,f,(,x,y,),在平面区域,D,内具有,一阶连续偏导数,则对于每一点 都可定出一个,向量,这,向量,称为函数,f,(,x,y,),在点 的,梯度,，记作,，即,二、梯度,问题,：,函数在点,P,沿哪一方向增加的速度最快，或变化率最大？,问题：,引进梯度概念的意义是什么？,（,1,）梯度与方向导数的关系,是,l,的方向余弦，,为最大值。,就是,梯度在射线,l,上的投影,。,为最小值。,结论,即,：,函数在梯度方向上的方向导数最大,，或者说函数在,梯度方向上的增加速度（变化率）最快（最大）；而沿,梯度的反方向函数减少最快。,设函数,f,(,x,y,z,),在空间区域,G,具有,一阶连续偏导数,，则对于每一点 ，都可定出一个,向量,这,向量,称为函数,f,(x,y,z,),在点 的,梯度,，将它记作 ，即,梯度的概念可以推广到三元函数,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,解,由梯度计算公式得,故,梯度的基本运算公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,7.,证,:,试证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处矢径,r,的模,（,2,）等高线与梯度,为,z=f,(,x,y,),的一条等高线,当平面,z=c,上下移动时，得到一簇互不相交的等高线。,（,2,）等高线与梯度,等高线在点,P,(,x,y,),处的一,个法向量可取为,设,的方向余弦为,这表明,梯度,的方向与等高线上这点的一个法线方向,相同，而沿这个方向的,方向导数,就等于 。,结论,：,函数在一点的,梯度,与等高线在这点的一个,法线方向,相同，它的指向为从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，,梯度的模,就等于函数在这个,法线方向,的,方向导数,.,如果我们引进曲面,f,(,x,y,z,)=,c,为函数,f,(,x,y,z,)=,c,的,等量面,的概念，则可得函数,f,(,x,y,z,),在点 的,梯度,的方向与过点 的等量面,f,(,x,y,z,)=,c,在这点的,法线,的一个方向相同，它的指向为从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而,梯度的模,等于函数在这个,法线方向,的,方向导数,.,三、物理意义,函数,(,物理量的分布,),数量场,(,数性函数,),场,向量场,(,矢性函数,),可微函数,梯度场,(,势,),如,:,温度场,电位场等,如,:,力场,速度场等,(,势场,),注意,:,任意一个向量场不一定是梯度场，因为其不一,定是某个数量函数的梯度场,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,故,练习,：设在,xo y,平面上，各点的温度与点的位置关系为,解,解,沿梯度方向温度变化率最大，最大值为,沿负梯度方向最小，最小值为,内容小结,1.,方向导数,三元函数,在点,沿方向,l,(,方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向,l,(,方向角为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.,关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,梯度在方向,l,上的投影,.,思考与练习,1.,设函数,(1),求函数在点,M,(1,1,1),处沿曲线,在该点切线方向的方向导数,;,(2),求函数在,M,(1,1,1),处的,梯度,与,(1),中,切线方向,的夹角,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线,1.(1),在点,解答提示,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数沿,l,的方向导数,M,(1,1,1),处切线的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P96 1,，,4,，,5,，,7,作业,第八节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1.,函数,在点,处的梯度,解,:,则,注意,x,y,z,具有轮换对称性,(92,考研,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,指向,B,(3,2,2),方向的方向导数是,.,在点,A,(1,0,1),处沿点,A,2.,函数,提示,:,则,(96,考研,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,已知位于坐标原点的点电荷,q,在任意点,试证,证,:,利用例,4,的结果,这说明场强,:,处所产生的电位为,垂直于等位面,且指向电位减少的方向,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,