线性代数的应用(1).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数的应用,西安理工大学应用数学系,内容提纲,本篇通过三个具体的应用实例介绍线性代数在工程技术、经济管理等领域中的应用，并给出利用,Matlab,软件来求解这些具体问题的方法。,药方配制问题,交通流量分析,人口迁徙问题,一、药方配制问题,通过中成药药方配制问题，达到理解向量组的线性相关性、最大线性无关组向量的线性表示以及向量空间等线性代数的知识,问题：某中药厂用,9,种中草药（,A-I,），根据不同的比例配制成了,7,种特效药，各用量成分见表,1,（单位：克）,1,号成药,2,号成药,3,号成药,4,号成药,5,号成药,6,号成药,7,号成药,A,10,2,14,12,20,38,100,B,12,0,12,25,35,60,55,C,5,3,11,0,5,14,0,D,7,9,25,5,15,47,35,E,0,1,2,25,5,33,6,F,25,5,35,5,35,55,50,G,9,4,17,25,2,39,25,H,6,5,16,10,10,35,10,I,8,2,12,0,2,6,20,一、药方配制问题,（,1,）某医院要购买这,7,种特效药，但药厂的第,3,号药和第,6,号药已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品。,（,2,）现在该医院想用这,7,种草药配制三种新的特效药，表,2,给出了三种新的特效药的成分，请问能否配制？如何配制？,1,号新药,2,号新药,3,号新药,A,40,162,88,B,62,141,67,C,14,27,8,D,44,102,51,E,53,60,7,F,50,155,80,G,71,118,38,H,41,68,21,I,14,52,30,一、药方配制问题,解：,（,1,）把每一种特效药看成一个九维列向量，分析,7,个列向量构成向量组的线性相关性。,若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药；,若向量组线性相关，并且能找到不含 的一个最大线性无关组，则可以配制,3,号和,6,号药品。,一、药方配制问题,在,Matlab,窗口输入,u1=10;12;5;7;0;25;9;6;8;,u2=2;0;3;9;1;5;4;5;2;,u3=14;12;11;25;2;35;17;16;12;,u4=12;25;0;5;25;5;25;10;0;,u5=20;35;5;15;5;35;2;10;0;,u6=38;60;14;47;33;55;39;35;6;,一、药方配制问题,u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20;,U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,U0,r=,rref(U,),计算结果为,一、药方配制问题,U0=r=1 2 4 5 7,1 0 1 0 0 0 0,从最简行阶梯型,U0,中可以看,0 1 2 0 0 3 0,出，,R,（,U,）,=5,，向量组线性,0 0 0 1 0 1 0,相关，一个最大无关组为,0 0 0 0 1 1 0 u1,，,u2,，,u4,，,u5,，,u7,，,0 0 0 0 0 0 1 u3=u1+2u2,四个零行,u6=3u2+u4+u5,故可以配制新药,一、药方配制问题,（,2,）三种新药用,v1,，,v2,，,v3,表示，问题化为,v1,，,v2,，,v3,能否由,u1-u7,线性表示，若能表示，则可配制；否则，不能配制。,令,U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,v1,v2,v3,U0,r=,rref(U,),由,U0,的最后三列可以看出结果,一、药方配制问题,计算结果为,可以看出,v1=u1+3u2+2u4,v2=3u1+4u2+2u4+u7,v3,不能被线性表示，,所以无法配制,二、交通流量的分析,通过一个简单的城市交通模型，练习方程组的建立与求解,问题：某城市有如图的交通图，每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段的机动车流量。,针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相等。,请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流量,xi,（,i=1,2,3,4,）,二、交通流量的分析,260,251,D,C,320,357,360,260,A,B,220,292,单行道,4,节点交通图,二、交通流量的分析,解：根据已知条件，得到各节点的流通方程,A,：,B,：,C,：,D,：,二、交通流量的分析,整理得方程组为,在,Matlab,窗口输入,二、交通流量的分析,计算结果为,二、交通流量的分析,三、人口迁徙模型,设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有,6%,的市区居民搬到郊区去住，而有,2%,的郊区居民搬到市区。假如开始时有,30%,的居民住在市区，,70%,的居民住在郊区，问,10,年后市区和郊区的居民人口比例是多少？,30,年、,50,年后又如何？,三、人口迁徙模型,这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示。,一年以后，市区人口为,xc1,(1,0.06)xc0,0.02xs0,，郊区人口,xs1,0.06xc0,(1,0.02)xs0,用矩阵乘法来描述，可写成：,三、人口迁徙模型,从初始到,k,年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为,输入：,A,0.94,0.02;0.06,0.98,x0,0.3;0.7,x1,A*x0,x10,A10*x0,x30,A30*x0,x50,A50*x0,得到：,三、人口迁徙模型,本题特征值和特征向量的意义：,无限增加时间,k,，市区和郊区人口之比将趋向一组常数,0.25/0.75,。,为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵,A,的效果，先求,A,的特征值和特征向量，得到,三、人口迁徙模型,令,它是特征向量的整数化，得到,四、其他应用：情报检索模型,情报检索模型：,假如数据库中包括了,n,个文件，而搜索所用的关键词有,m,个。可以把数据库表示为,m,n,的矩阵,A,。比如有,7,本书，,6,个关键词,x,（初等，代数，矩阵，理论，线性，应用）：则,A,就是,67,的矩阵。书名中有此关键词的就将该对应元素置,1,。,搜索结果可以表示为乘积,y,A,T,x,，它是,n1,列向量。于是,y,的各个分量就表示各书与搜索向量匹配的程度。,y,值最大的元素对应于匹配最好的书籍，是读者可能最需要的。,四、产品成本的计算：,产品成本的计算：,某厂生产三种成品，每件产品的成本及每季度生产件数已知。试提供该厂每季度在每种产品上的成本表。,成本矩阵为,M,，,季度产量矩阵为,P,四、产品成本的计算,将,M,和,P,相乘，得到的矩阵设为,Q,，,Q,的第一行第一列元素为,Q(1,1),0.1,4000,0.3,2000,0.15,5800,1870,不难看出，,Q,表示了夏季消耗的原材料总成本。从线性变换的角度来看，,Q,矩阵把以件数为单位的产品空间映射到了以元为单位的成本空间。,四、用逆阵进行保密编译码,在英文中有一种对消息进行保密的措施，就是把英文字母用一个整数来表示。然后传送这组整数。这种方法是很容易根据数字出现的频率来破译，例如出现频率特别高的数字，很可能对应于字母,E,。,可以用乘以矩阵,A,的方法来进一步加密。假如,A,是一个行列式等于,1,的整数矩阵，则,A,1,的元素也必定是整数。而经过这样变换过的消息，同样两个字母对应的数字不同，所以就较难破译,。,接收方只要将这个消息乘以,A,1,就可以复原。,四、网络和图,图为,1,，,2,，,3,，,4,四个城市之间的空运航线，用有向图表示。则该图可以用下列航路矩阵表示：,经过一次转机（也就是坐两次航班）能到达的城市，可以由邻接矩阵的平方,A2,A12,来求得,。,四、信号流图模型,信号流图是用来表示和分析复杂系统内的信号变换关系的工具。,右图方程如下：,写成矩阵方程,x=,Qx,Pu,移项整理，可以得到求信号向量,x,的公式。,u,x1,x2,-G2,G1,四、信号流图模型,(I Q)x=,Pu,，,x=inv(I Q)*,Pu,定义系统的传递函数,W,为输出信号与输入信号之比,x/u,，则,W,可按下式求得：,W=,x/u,=inv(I Q)*P,四、平板稳态温度的计算,四、,化学方程的配平,确定,x1,x2,x3,x4,，使两边原子数相等称为配平，方程为,写成矩阵方程,四、现代飞行器外形设计例,把飞行器的外形分成若干大的部件，每个部件沿着其表面又用三维的细网格划分出许多立方体，这些立方体包括了机身表面以及此表面内外的空气。对每个立方体列写出空气动力学方程，其中包括了与它相邻的立方体的共同边界变量，这些方程通常都已经简化为线性方程。对一个飞行器，小立方体的数目可以多达,400,000,个，而要解的联立方程可能多达,2,000,000,个。,四、卫星遥感图象处理,卫星上用三种可见光和四种红外光进行摄像，对每一个区域，可以获得七张遥感图象。利用多通道的遥感图可以获取尽可能多的地面信息，因为各种地貌、作物和气象特征可能对不同波段的光敏感。而在实用上应该寻找每一个地方的主因素，成为一张实用的图象。每一个象素上有七个数据，形成一个多元的变量数组，在其中合成并求取主因素的问题，就与线性代数中要讨论的特征值问题有关。,