线代第1讲行列式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,返回,第一讲 行列式,一、考试要求,二、主要内容,三、典型例题分析,2.,会利用行列式的性质和行列式按行,(,列,),展开定理计算行列式,.,1.,了解行列式的概念，掌握行列式的性质,.,一、要求,二、主要内容,1.,排列的逆序数、奇偶排列、对换的定义及逆序数的计算法,.,2.,n,阶行列式的定义,称为,n,阶行列式,.,即,表示所有取自不同行不同列的,n,个元素乘积,的代数和，,各项的符号由排列,的奇偶性决定，,奇负偶正，,1),行列式与它的转置行列式相等,.,2),互换行列式的两行（,列,）,行列式变号,.,则此行列式为零,.,若行列式有两行,（,列,）完全相同，,3),行列式的某一行（,列,）中所有的元素都乘以同一,数,k,等于用数,k,乘此行列式,.,3.,行列式的性质,(,即某一行,(,列,),可提取公因数,),若行列式有两行（,列,）元素对应成比例，,则此行列式为零,.,第,i,行 与,j,行 互换，,(,列,)(,列,),式,可拆成,两个行列式之和,，,4),若行列式的某一行,(,列,),的元素都是两数之和，,5),把行列式的某一行（,列,）的各元素乘以同一数加到另一,(,列,),对应的元素上去，,行列式不变,这两个行列式的这一行,(,列,),的,元素分别为对应的两个加数之一，则,该行列,其余各行,(,列,),的元素,与原行列式相同,.,4.,行列式按行,(,列,),展开定理,余子式与代数余子式的定义：,行列式按行（列）展开定理：,的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,.,行列式,等于,它的,任,一行（,列,）,即,且,元素的余子式或代数余子式,只与,元素的位置,有关，,与,该元素的值,无关,.,行列式的每个元素分别对应着,一个余子式,和,一个代数余子式,.,行列式,任一行,（列）,的元素,与,另一行,（列）,的,对应元素的代数余子式,乘积之和等于零，,即,或,说明：,5.,主要公式及结论,1),2),3),4),范德蒙,(,Vandermonde,),行列式,5),方阵的行列式,设,A,与,B,是,n,阶方阵，,三、典型例题分析,计算行列式，,或利用性质化为上,(,下,),三角形行列式等,已知结果的行列式求，,或用行,(,列,),展开定理求,.,特别二阶或三阶行列式可对角线法求,.,或利用定义求，,利用行列式的性质进行计算,，常用：,(1),其余,各行,(,列,),加到,同一行,(,列,),上去，,(2),其余,各行,(,列,),加或减,同一行,(,列,),的倍数，将行列式,化简,(3),逐行,(,列,),相加减或,逐行,(,列,),的倍数相加减,，,化简,行列式；,(4),把行列式,拆成,几个行列式的和（差）,.,适用于,各列,(,行,),诸元素之和相等,的情形；,或,化为上（下）三角形行列式,；,适用于,相邻,行,(,列,),诸元素大小比较接近,的情形；,(,此种情况要注意先后顺序,),解法,1,：,例,1.,计算行列式,.,1.,数字型行列式,解法,2,：,直接按某一行,(,列,),展开，再计算,4,个三阶行列式,.,解法,3,：,例,2,计算,n,阶行列式,解,:,此行列式的特点是：,各行,(,列,),元素之和相等,.,特点：,解：,例,3.,计算,其余行与第一行比,仅主对角线元素不同,或,其余列减第一列的倍数，得下三角形行列式,.,例,4.,解法,1,：,箭形行列式,此行列式的特点是：,其余行与第一行比仅,第一,及,主对角线上,的元素不同,.,解法,2,：,加边法,例,5.,计算,特点：,相邻的行,(,列,),元素较接近,解法,2,：,例,6.,计算,特点：,除最后一行外，相邻的行,(,列,),的元素较接近,法二：,法三：,按第一行展开，用递推法,法,4,：,用数学归纳法,.,若按最后一行展开，,如：,例,7.,证明：,证法一：,(08,1,计算题中一问,),(,用归纳法,),（三对角行列式）,证法二：,(,用递推法,),证法三：,(,化为上三角形,),例,7.,求,解：,已知,例,8.,解：,2.,抽象行列式,已知,A,为,3,阶矩阵，且,则,分析：,(05,1,4,04),分析：,法,1,：,法,2,：,(04,1,2,04),分析：,(10,2,04),分析：,的第,n,列元素的代数余子式之和,计算,n,阶行列式,例,9.,解：,3.,关于代数余子式,已知,则,已知,则,分析：,例,10.,计算,的所有元素的代数,余子式之和,.,分析：,直接计算较繁，,行列式的所有元素的代数余子式，,即方阵,A,的伴随阵,的所有元素,.,的所有元素的代数余子式之和为：,