近世代数课件--正规子群.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学与计算科学学院,*,7.5,正规子群、商群与群的同态基本定理,定义,7.5.1,设,H,为,群,(,G,),的一个子群，若对任意的,a,G,，,都有,aH=Ha,，,则,称,H,为,G,的正规子群（或不变子群）。,若,G,为交换群，则,G,的每个子群都是,G,的正规子群；反之，由,aH=Ha,，,不能说明元素,a,与,H,中的每个元素都可交换。,一般的群,G,，,至少有两个正规子群，一个是,G,的,最小子群,e,，,另一个是,G,的最大子群,G,自身。这两个子群称为平凡的正规子群。,2/1/2026,数学与计算科学学院,例,7.5.1,设,(,G,),是一个群，令,C,g,=,c,|,c,G,c,g,=,g,c,g,G,，,则,C,g,是,G,的正规子群。,证 由,e,C,g,知，,C,g,是,G,的非空子集。,对,a,b,C,g,g,G,因,(,a,b,),g,=,a,(,b,g,)=,a,(,g,b,)=(,a,g,),b,=(,g,a,),b=g,(,a,b,),，,又,a,-,1,g,=(,g,-,1,a,),-,1,=,(,a,g,-,1,),-,1,=g,a,-,1,，,所以,a,b,a,-,1,C,g,，,故,C,g,是,G,的,子群。,对,a,G,，,由于,aC,g,=,a,c,|,c,C,g,=,c,a,|,c,C,g,=,C,g,a,因此,C,g,是,G,的正规子群。,2/1/2026,数学与计算科学学院,例,7.5.2,H,=(1),(12),是三次对称群,S,3,的子群，但不是正规子群。,因为,(13),H,H,(13),，,(23),H,H,(23),，,若取,A,=(1),(123),(132),，,容易验证,:,A,是,S,3,的子群，并且是由,(123),生成的循环子群。又因为,(1),A,=(123),A,=(132),A,=,A,(1)=,A,(123)=,A,(132)=(1),(123),(132),(12),A,=(13),A,=(23)A,=,A,(12)=,A,(13)=,A,(23)=(12),(13),(23),因此,A,是,S,3,的正规子群。,2/1/2026,数学与计算科学学院,定理,7.5.1,群,(,G,),的一个子群,H,是正规子群的充要条件是：对于,g,G,，,都有,gHg,-,1,=,H,。,“”,gHg,-,1,=,(,gH,),g,-,1,=,(,Hg,),g,-,1,=,Hgga,-,1,=,He,=,H,“”,gH,=,(,gH,),e,=,gH,(,g,-,1,g,),=,(,gHg,-,1,),g,=,Hg,定理,7.5.2,群,(,G,),的一个子群,H,是正规子群的充要条件是：对于,gG,，,h,H,，,都有,ghg,-,1,H,。,“”,由,定理,7.5.1,即可得。,“”,ghg,-,1,H,gHg,-,1,H,H,=,a,(,a,-,1,Ha,),a,-,1,a,-,1,Ha=gHg,-,1,2/1/2026,数学与计算科学学院,若,H,是群,(,G,),正规子群，则,H,的,右,(,或左,),陪集称为,H,的,陪集。,若,H,是群,(,G,),正规子群，则,G,关于,的商集记作,G,/,H,，,即由,H,的,陪集构成的集合，并且,是,(,G,),上的同余关系,。定义,G,/,H,上的运算,如下：,Ha,Hb=H,(,a,b,),a,b,G,于是,(,G,/,H,)是一个群，称为,(,G,),关于正规子群,H,的商群。当,G,为有限群时，有,|,G,|/|,H,|,=,|,G,/,H,|,2/1/2026,数学与计算科学学院,定理,7.5.3,任意一个群,(,G,),的商群,(,G,/,H,),都是,(,G,),的满同态像。,自然同态,f,:,G,G,/,H,g,Hg,是一个,满同态。,研究子群,H,的一个作用就是可以通过,H,来推测整个群,G,的性质。如果现在是一个正规子群,H,的话，那么就有两个群，正规子群,H,以及,商群,G,/,H,可以利用了。,2/1/2026,数学与计算科学学院,定义,7.5.2,设,f,是从群,(,G,),到,群,(,G,),的,一个满同态，则称,G,的单位元,i,在,f,下的原像构成的,G,的子集,g,|,f,(,g,)=,i,g,G,为满同态,f,的核，记为,Ker,f,。,例如，,f,(,x,y,),=,x,是从群,(R,2,+),到,群,(R,+),的,满同态,群,(R,+),的单位元是,0,Ker,f,=,(,x,y,)|,f,(,x,y,),=,0,=,(0,y,)|,y,R,2/1/2026,数学与计算科学学院,定理,7.5.4,若,f,是从群,(,G,),到,群,(,G,*,),的,一个满同态，则,Ker,f,是,(,G,),的正规子群，并且,(,G,/,Ker,f,),(,G,*,),。,例,.,如前例,f,(,x,y,),=,x,，,Ker,f,=,(0,y,),|,y,R,。,R,2,/,Ker,f,=,x,|,x,R,x,=,(,x,y,),|,y,R,a,b,=,a,+,b,(R,2,/,Ker,f,),(R,+),2/1/2026,数学与计算科学学院,定理,7.5.5,若,f,是从群,(,G,),到,群,(,G,*,),的,一个同态，并且,H,是,(,G,),的子群，则,H,的像,f,(,H,),是群,(,G,*,),的子群；若,f,是满同态，则,(,G,),的正规子群,N,的像,f,(,N,),是群,(,G,*,),的正规子群。,定理,7.5.6,若,f,是从群,(,G,),到,群,(,G,*,),的,一个同态，并且,H,和,N,分别是,(,G,*,),的子群和正规子群则,H,和,N,的原像,H,=,f,-,1,(,H,),和,N,=,f,-,1,(,N,),分别是,(,G,),的子群和正规子群。,2/1/2026,数学与计算科学学院,