固体物理第三章晶格振动.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,材料的热学性能,?,材料的热学性能主要有热容、热膨胀、热传导、热稳定性等。,有什么用？,为选材、用材、改善材料热学性能、探索新材料和新工艺等打下物理理论基础。,材料的热学性能和材料中什么东西有联系？,原子振动，电子运动,第三章 晶格振动与晶体热学性质,晶格振动与格波,实际晶体中的原子并非完全固定不动，原子是不断运动的，具有动能，但是通常情况下原子又不能远离格点，被束缚在格点附近做周期性振动,由于晶体具有周期性结构，原子振动相互关联，在晶体中形成格波。,3.1,一维晶格的振动,一、一维简单格子,设晶格常量为,a,，原子,n,偏离平衡位置的位移为,u,n,，只考虑最近邻的相互作用，晶格振动时相邻两原子在,t,时刻的距离,晶格作小幅度振动，即,|,d,|,a,，则相邻两原子的相互作用能可以展开为,其中,U,(a),为相邻两原子在间距等于晶格常量时的相互作用能，一般可取为,0,，而,为相邻原子间的作用力,1,、一维简单格子的互作用力,忽略高阶项，只保留到,2,阶项，则,该近似称为简谐近似，在该近似下，原子间的相互作用力,是弹性恢复力，式中,是弹性恢复力常数,第,n,个原子的所受作用力为,2,、一维单原子链的运动方程与解,第,n,个原子的运动方程,每个原子对应一个方程，如果原子链有,N,个原子则有,N,个方程，上式实际上就是,N,个联立的齐次方程组,3,、玻恩,-,卡门条件（周期性边界条件）：,设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相联结，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。,1,2,n,N,N+1,N+2,N+n,上述方程具有波动形式的解,其中,A,为振幅，是圆频率，,q,是波矢,。,q,的物理意义：沿波的传播方向（即沿,q,的方向）上，单 位距离两点间的振动位相差。,格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波 的形式在整个晶体中传播，称为格波。,对于确定的,n,：第,n,个原子的位移随时间作简谐振动,对于确定时刻,t,：不同的原子有不同的振动位相,把该解代入运动方程,即,由上式可以看出频率是波矢,q,的周期函数，周期为 ，正好为一维链的倒格矢，即格波频率具有,倒格子周期性,式中,q,换成,-q,时，频率也不变，频率具有,反演对称性,。,11,设波包的传播速度为,v,，则,由,得,波格传播的速度是波长的函数，波长不同的波格传播速度不同。通常称 与,q,的关系称为,色散关系,。,12,格波的波矢量,q,的取值范围？对于指数函数,如果,qa,改变,2,p,值，结果并没有什么不同，因为,所以,qa,可以取在,p,与,p,之间，已涵盖该指数函数的所有独立值,或,此即一维单原子链的,第一布里渊区,13,3,、波矢,q,的个数，模式数,由于晶体的体积是很有限的，因而格波波矢的取值不能是任意的，必然受到边界条件的限制，设晶体包含,N,个原子，由边界条件的周期性有：,带入位移的表达式可得到,o,q,14,重要结论：,上式说明晶格振动的波矢数目等于晶格原胞数目，由色散关系式知给定一个,q,总有一个 与之对应。给定一组 就表示原子的一种振动形式，我们称之为振动模式。,这说明,q,只能取一系列不连续的值，在,q,空间，一个,q,值与一个点对应，这些点在空间均匀分布，相邻,q,点的“距离”为 ，而,q,的取值在第一布里渊区，它的大小为,所以允许的,q的总数为,3.2,一维双原子链晶格的振动,一、一维双原子链晶格的振动,第,2,n,号原子,由虎克定律,F,2n-1,F,2n+1,2n,2n,号原子的运动方程,2n+2,2n,2n+1,2n-1,3,、试探解,同理，,2n+1,号原子的运动方程为,F,2n,F,2n+2,把,u,2,n,、,u,2,n+1,代入以上两个运动方程 关于,A,、,B,的两个方程,A,、,B,非零解，系数行列式为,0,4,、色散关系,a,b,M,m,M,m,1,2,u,2n,1,色散关系与力常数,和格常数,a,有关,对于实际晶体，,(0),在,10,13,10,14,Hz,，对应于远红外光范围。,离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在 ,(0),附近的强烈吸收。,当,q,=0 ,A,=0,当,q,=,5,、波矢,q,的取值、格波支数,利用波恩,卡门边界条件，波矢,q,的取值,m=0,1,2,波矢数,=,原胞数,N,格波模式总数,=,原子总数,=2 N,原子间力常数均为,A,O,q,o,3.2,三维晶格振动,一、关于波矢,q,一个,m,值对应一个,q,点，波矢取分离值，均匀,分布相邻,q,点“距离”为,内，,q,点的取值数,=,（,1,）一维,设,N,1,、,N,2,和,N,3,分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数。那么，晶体的总原胞数为：,N,N,1,N,2,N,3,a,1,a,2,a,3,（,2,）三维h,1,h,2,h,3,整数,一组（,h,1,、,h,2,、,h,3,）确定一个波矢,q,点，波矢,q,分离值、均匀分布,。,可取的,q,点数,=,在,q,空间中，每一个,q,的取值（状态）所占的空间为：,结论：,三维晶体有,N,个原胞，每个原胞内有,s,个原子（一个基元）,波矢数,=,原胞数,N,振动模式数,=,所有原子自由度数,3sN,3.3,晶格振动的量子化和声子,在简谐近似下，晶体中存在,3,sN,个独立的简谐格波，晶体中任一原子的实际振动状态由这,3,sN,个简谐格波共同决定,.,晶格振动的系统能量是否可表示成,3,s,N,个独立谐振子能量之和吗？,首先以单原子为例,波矢为,q,的格波引起的第,n,个原子的位移为,格波不同引起的原子位移一般也不同,一、简正振动,第,n,个原子的总位移应为所有格波引起位移的迭加,将 和,A,q,写在同一表达式 中,其中,按经典力学,，系统的,总能量,为动能和势能之和,包含交叉项,交叉项,有交叉项对建立物理模型和数学处理都带来困难,.,简正变换,:,式中 称为简正坐标,.,Q,(,q,t,),代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的坐标，称为简正坐标。,广义动量,经典谐振子能量,简正坐标,由,N,个原子组成的一维晶体，其晶格振动能量可看成,N,个谐振子的能量之和,.,广义坐标,按照量子力学，独立的简谐振子的能量,所以一维晶格振动的总能量,晶格振动的能量是量子化的，能量的增减以 计量,.,当,n,=0,时,-,零点能,上述方法可以推广到,三维晶格,设每个原胞中含,p,个原子,光子,1905,年爱因斯坦在研究光电效应时提出,光子,的概念,.,光是运动着的粒子流光子,每个光子的能量为,对照光子,的概念,我们将格波的能量量子,称为,声子,.,注,:,(1),声子是,准粒子,.,光子是真实粒子,可在真空中存在,.,声子是人们为了更好理解和处理晶格集体振动而设想的一种粒子,不能游离于固体之外,.,二、声子,3.6,晶格的比热,一、固体的定容热容,E,固体的平均内,能,按照经典理论,每个自由度的平均能量,-,能均定理,N,个原子，晶体总能量,热容是一个与温度和材料无关的常数,.,-,杜隆珀替定律,实验表明在低温时热容量随温度迅速趋于零,!,与实验不符,根据量子理论,在简谐近似下,晶体的能量为,频率的计算比较复杂,在一般讨论中，常用,爱因斯坦模型,和,德拜模型,.,比热的量子理论,二、,爱因斯坦模型,1907,年爱因斯坦采用了非常简单的假设：假设晶体中的原子振动是相互独立的，所有原子都具有同一频率,0,.,-,爱因斯坦温度,温度较高时,与杜隆,珀替定律相符,温度非常低时,按温度的指数形式降低,按温度的指数形式降低,这是经典理论所不能得到的结果，解决了长期以来困扰物理学的一个疑难问题,实验表明,:,温度很低时,-,爱因斯坦模型,过于简单,忽略了各格波之间的,频率差别,.,温度较高时,与杜隆,珀替定律相符,温度非常低时,德拜于,1912,年提出了另一个简化模型,考虑了格波的的频率分布,.,(1),把晶体视为连,续介质,即把格波看作是,弹性波,.,(2),假定横波和纵波的,波速相等,.,低温时，只有长声学波被激发，对比热容产生影响，所以实际上，德拜模型考虑的正是长声学波对比热的影响,.,基本思想,:,三、德拜模型,q,是准连续的,所以频率也是准连续的，则,德拜 T,3,定律：低温时晶体的比热与T,3,成正比。,低温,T,与实验曲线符合,与实验曲线符合,例：,设有一长度为,L,的一价正负离子构成的一维晶格,正负离子间距,为,a,正负离子的质量分别为,m,+,和,m,_,近邻两离子的相互作用势为,式中,e,为电子电荷,b,和,n,为参量常数,求,(1),参数,b,与,e,n,与,a,为关系,(2),恢复力系数,(3),q,=0,时的光学波的圆频率,2,、简述声子的概念和声子的性质,