线性代数2chapter1(2-3)方阵的行列式克拉默法则.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Chapter 1(2),方阵的行列式,教学要求：,1.了解行列式的定义和性质;,2.掌握三阶、四阶行列式的计算法，,会计算简单的,n,阶行列式;,3.了解排列与对换;,4.会用,Gramer,法则解线性方程组.,定义1.,二阶行列式定义为,主,对角线,副对角线,对角线法则,二阶,行列式的计算,定义2.,三阶行列式定义为,三阶行列式的计算,-对角线法则,注意,红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三,元素的乘积冠以负号,说明,1.,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,2,.,三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为,负.,考察三阶行列式如下：,定义3.,代数余子式,剩下的元素按原来的排法构成一个新的行列式,定义4.,是,一个算式，且,注意：,行列式是一些乘积的代数和，每一项乘积都是由行,列式中位于不同行不同列的元素构成的.,(,3)定义4中行列式按第一行展开，同样也可按第一列,展开，甚至按行列式中任意行或列展开.,由此可计算一些行列式.,Example1.,Proof.,（,数学归纳法）,不是对角行列式，,性质1,行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,性质2,互换行列式的两行（列）,行列式变号.,说明,行列式中行与列具有同等的地位,因此行列,式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,例如,推论,如果行列式有两行(列)完全相同,则行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,性质3,行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,推论,行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质,行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,注意与矩阵数乘运算的区别,性质5,若行列式,D,的某一列（行）的元素都是两数之和.,则,D,等于下列两个行列式之和：,例如,性质,把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,性质7.,行列式按行（列）展开法则,下面证明:,证,相同,同理,性质8.,Laplace,定理,(2),Laplace,定理,为方便起见，引用以下符号：,其一、利用行列式的性质，或通过将行列式化为,三角行列式来计算行列式的值.,Solution.,ex,3.,已知204,527,255三数都能被17整除，,不计算行列式的值，证,明,三阶行列式,也能被17整除.,Solution.,Solution.,Solution.,Solution.,其二、当行列式各行(列)元素之和相同时，应先把各,列(行)加到第1列(行)，提取公因式后再考虑.,Solution.,故原,方程的解为,思考,其三、根据行列式的特点，利用行列式的性质，将行,列式的某一行(列)化出尽量多的0元素，然后由定义,按该行(列)展开.,Solution.,Solution.,其四、当各阶行列式具有同一结构形式时，可利用数,学归纳法计算或证明行列式的值.,Solution.,（数学归纳法）,这个行列式称为,Vandermonde,（,范德蒙）行列式，,可见,Vandermonde,（,范德蒙）行列式为零的充要条件是,注意,不是,Vandermonde,行列式,解法1,其五、先用展开或拆项等方法，将原行列式表成低阶,同型行列式的线性关系，再由递推法得出结果.,解法2,其六.当行列式为三线非0行列式时，将其转化为三角,行列式来计算.,其七、加边法，即在行列式值不变的情况下，加上一,行一列.用于主对角线上元素不同，其余元素相同(或,各行其余元素成比例)的行列式.,Solution.,Solution.,定义1.,如,2431是一个4级排列.,定义2.,在,一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一,个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.,例如,排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序,逆序,逆序,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的,逆序数为3+1+0+1+0=5,.,定义3.,逆,序数为偶数的排列称为偶排列;,逆,序数为奇数的排列称为奇排列.,定义4.,在一个排列中某两个数的位置调换，而其余的数不,动，从而构成一个新的排列，这种调换叫做对换.,将,相邻两个数字对换，叫做相邻对换.,结论1.,对换改变排列的奇偶性.,结论2.,关于,n,阶行列式的另一定义,ex,14.,已知,Solution.,含 的项有两项,即在,中对应于,1.线性方程组,当,方程个数与未知数个数相同时,线性方程组的形式为:,则称此方程组为,非,齐次线性方程组,;,此时称方程组为,齐次线性方程组,.,2.,Gramer,法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解,可以表为,其中 是把系数行列式,中第,j,列的元素用方程,组右端的常数项代替后所得到的,n,阶行列式，即,证明,在把 个方程依次相加，得,由代数余子式的性质可知,于是,当 时,方程组(2)有唯一的一个解,由于方程组 与方程组 等价,故,也是方程组(1)的解.,3.重要定理,定理1.,如果线性方程组的系数行列式不等于0，则方,程组一定有解，且解是唯一的.,定理2.,如果线性方程组无解或有两个不同的解，则,它的系数行列式必为0.,推论1.,如果齐次线性方程组的系数行列式,则齐次线性方程组只有唯一零解.,推论2.,如果齐次线性方程组有非零解，则它的,系数行列式,Solution.,Solution.,要使齐次,线性方程组有非零解，则要求系数行列式为零.,The end,