数学建模第09章-概率模型.ppt

第九章 概率模型,9.1 传送系统的效率,9.2 报童的诀窍,9.3 随机存贮策略,确定性因素和随机性因素,随机因素可以忽略,随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现,随机因素影响必须考虑,概率模型,统计回归模型,马氏链模型,随机模型,确定性模型,随机性模型,传送带,挂钩,产品,工作台,工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。,背景,在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高,传送带效率,的途径,9.1 传送系统的效率,问题分析,进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的,生产周期相同,，即生产一件产品的时间相同。假设每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。,可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的,比例,，作为衡量传送带效率的数量指标。,工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内,任一时刻的可能性相同,。,模型假设,1）,n,个工作台,均匀排列，,n,个工人生产相互独立，生产周期是常数；,2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是,等可能,的；,3）一周期内,m,个均匀排列的挂钩,通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；,4）每人在生产完一件产品时都,能且只能触到一只挂钩,，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。,模型建立,定义,传送带效率,为一周期内运走的产品数（记作,s,待定）与生产总数,n,（,已知）之比，记作,D=s,/,n,若求出一周期内每只挂钩非空的概率,p,，,则,s=mp,为确定,s,，从,工人,考虑还是从,挂钩,考虑，哪个方便？,设每只挂钩为空的概率为,q,，则,p,=1-,q,如何求概率,设每只挂钩不被一工人触到的概率为,r,，则,q=r,n,设每只挂钩被一工人触到的概率为,u,，则,r,=1-,u,u,=1/,m,p,=1-(1-1/,m,),nD,=,m,1-(1-1/,m,),n,/,n,一周期内有,m,个挂钩通过每一工作台的上方,模型解释,若(一周期运行的)挂钩数,m,远大于工作台数,n,则,传送带效率(一周期内运走产品数与生产总数之比）,定义,E,=1-,D,(一周期内未运走产品数与生产总数之比）,提高效率的途径：,增加,m,习题,1,当,n,远大于,1时,E,n,/2,m,E,与,n,成正比，与,m,成反比,若,n,=10,m,=40,D,87.5%,(89.4%),9.2 报童的诀窍,问题,报童售报：,a,(零售价),b,(购进价),c,(退回价),售出一份赚,a-b,；退回一份赔,b-c,每天购进多少份可使收入最大？,分析,购进太多,卖不完退回赔钱,购进太少,不够销售赚钱少,应根据需求确定购进量,每天需求量是随机的,优化问题的目标函数应是长期的日平均收入,每天收入是随机的,存在一个合适的购进量,等于每天收入的期望,建模,设每天购进,n,份，,日平均收入为,G,(,n,),调查需求量的随机规律每天需求量为,r,的概率,f,(,r,),r,=0,1,2,准备,求,n,使,G,(,n,),最大,已知售出一份赚,a-b,；,退回一份赔,b-c,求解,将,r,视为连续变量,结果解释,n,P,1,P,2,取,n,使,a-b,售出一份赚的钱,b-c,退回一份赔的钱,0,r,p,9.3 随机存贮策略,问题,以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。,（,s,S,),存贮策略,制订下界,s,上界,S,，当周末库存小于,s,时订货，使下周初的库存达到,S,;否则，不订货。,考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订,（,s,S,),存贮策略,使(平均意义下),总费用最小,模型假设,每次订货费,c,0,每件商品购进价,c,1,每件商品一周贮存费,c,2,每件商品缺货损失费,c,3,c,3,相当于售出价，所以,c,1,c,3,每周销售量,r,随机、连续，概率密度,p,(,r,),周末库存量,x,订货量,u,周初库存量,x+u,一周的销售是集中在周初进行的，即每周贮存量按,x+u-r,计一周内不随时间而改变。（可考虑修改此假设）,建模与求解,（,s,S,),存贮策略,确定,(,s,S,),使目标函数每周总费用的期望值最小，即长期经营中每周总费用的平均值,s,订货点，,S,订货值,平均费用,订货费,c,0,购进价,c,1,贮存费,c,2,缺货费,c,3,销售量,r,建模与求解,1）设,x 0时,求,u,使,J,(,u,)最小，确定,S,建模与求解,S,P,1,P,2,0,r,p,2）对库存,x,，确定订货点,s,若订货,u,u+x=S,总费用为,若不订货,u,=0,总费用为,订货点,s,是,的最小正根,建模与求解,不订货,最小正根的,图解法,J,(,u,)在,u+x=S,处达到最小,x,I,(,x,),0,S,I,(,S,),s,I,(,S,),+c,0,I,(,x,)在,x=S,处达到最小值,I,(,S,),I,(,x,)图形,建模与求解,J,(,u,)与,I,(,x,)相似,I,(,S,),的最小正根,s,