第一节：多元函数的概念.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 多元函数的基本概念,一、平面点集,n,维空间,二、多元函数概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,五、小结 练习题,（,1,）邻域,一、多元函数的概念,（,2,）区域,例如，,即为开集,内点：,设,E,是平面上的一个点集，,P,是平面上的一个点,如果存在点,P,的某一邻域,则称,为,的内点,的内点属于,如果点集,的点都是内点，,则称,为开集,边界点：,外点：,如果存在,U,(,P,),使得,则称点,P,为,E,的外点,连通集：,连通的开集称为开区域，简称区域,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,例如，,（,3,）聚点,I,：,内点一定是聚点；,说明：,如果对于任意的,0,点,P,的去心邻域,内总有,E,中的点，则称点,P,是点集,E,的聚点,II,：在,内，总有,E,的无穷多个点；,III,：,点集,E,的聚点可以属于,E,，也可以不属于,E,例如,(0,0),是聚点但不属于,E,E,中任何一点都是,E,的边界点，,又如,E,中的任何一点都是,E,的聚点。,思考题：边界点是否一定是聚点？反之，聚点是否,一定是边界点？,（,4,）,n,维空间,当,n,=3,时，,(,x,y,z,),表示空间中的一个点或向量,表示空间中的全体点或全体向量。,因此，我们也称,为,中的一个点,或一个,n,维向量。,因此，我们也称,为,中的一个点,或一个,n,维向量。,定义线性运算如下：,这样定义了线性运算的向量集合,称为,n,维空间,称,(,x,y,),为,空间两点,x,和,y,之间的距离,设,中两点间的距离公式,中变元,x,的极限,如果,则称变元,x,趋于固定元,a,记作,类似地，内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,中变元,x,的极限,如果,则称变元,x,趋于固定元,a,记作,结论：,中邻域、区域等概念,则称 中的点集,为 中点,a,的,邻域。,二、多元函数的概念,f,称为对应规则或函数，,f,(,x,y,),称为,f,在点,(,x,y,),处的函数值。,函数值的全体所构成的集合称为函数,f,的值域，记作,函数与选用的记号无关，如,则称,f,是,D,上的二元函数,记为,类似地可定义三元及三元以上函数,n,元函数通常记为,或简记为,一元函数与多元函数的概念比较,一,元函数,y=f,(,x,):,二元函数,y=f,(,x,y,):,n,元函数,例,1,求 的定义域,解,所求定义域为,二元函数 的图形,（如下页图）,当,P,(,x,y,),取遍,D,上一切点时,得到空间点集,二元函数的图形通常是一张曲面,.,例如,单值分支,:,二、多元函数的极限,一元函数极限回顾：,如果在 的过程中，,f,(,x,),无限接近一个确定常数,A,，就称,A,是,f,(,x,),当 时的极限，记为,二元函数的极限：,如果在 的过程中,f,(,x,y,),无限接近一个确定常数,A,，就称,A,是,f,(,x,y,),当 时的极限，记为,都有,说明：,（,2,）二元函数的极限也叫二重极限,（,3,）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,（,1,）定义中 的方式比 的方式复杂的多,例,2,求证,证,当 时，,原结论成立,例,3,求极限,解,其中,证,例,4,证明 不存在,（,2,）取,此时，仍不能确定极限是否存在,（,1,）,P,(,x,y,),沿,x,轴趋于,(0,0),，,此时,y,=0,x,0,例,4,证明 不存在,证,（,3,）取,极限值随,k,的不同而变化，,故极限不存在,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,确定极限,不存在,的常用方法：,求二元函数的极限,常用,的方法：,（,1,）用定义验证其存在或不存在；,（,2,）利用变量代换转化为一元函数的极限，,再用一元函数中已有的方法；,（,3,）消去分子分母中极限为,0,的因子；,（,4,）利用极限运算性质（与一元函数相似）；,（,5,）利用函数的连续性；,解：,例,5,：求极限,解：,例,6,：求极限,解例,7,：求极限,四、多元函数的连续性,一元函数连续性回顾：,二元函数的连续性,如果函数,f,(,x,y,),在,D,的每一点都连续，,二元函数连续的三个要素,则称函数,f,(,x,y,),在,D,上连续，,或者称,f,(,x,y,),是,D,上的连续函数。,二元函数间断的情形比一元函数要复杂的多,因为当,f,(,x,y,),无定义，,所以在整个圆周,f,(,x,y,),间断。,例,8,证明函数,在,(0,0),处连续,解,取,故函数在,(0,0),处连续,.,例,9,讨论函数,在,(0,0),的连续性,解,取,其值随,k,的不同而变化，,极限不存在,故函数在,(0,0),处不连续,定义,3,如果函数,f,(,P,),在,D,的每一点都连续，则称,函数,f,(,P,),在,D,上连续，或者称,f,(,P,),是,D,上的,连续函数。,n,元函数的连续性,（,2,）多元初等函数,：由常数及,不同自变量表达的一元基本初等函数,经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用,一个式子表示,的多元函数叫,多元初等函数,（,3,）一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域,是指包含在定义域内的区域或闭区域,关于多元函数连续性的几点说明,（,1,）一切一元基本初等函数，作为一个二元或二,元以上的多元函数时，在其定义域内都是连续的。,不同自变量表达的一元基本初等函数,（,4,）利用多元函数的连续性可以计算在其连续点,处的极限。,例,解,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域,D,上的多元连续函数，在,D,上必定有界，且能取得它的最大值和最小值，即,（一）有界性及最大值和最小值定理,（,2,）至少存在两点,（,1,）存在正数,M,，使得对于任意的点,P,D,，均有,（二）介值定理,在有界闭区域,D,上连续的多元函数,f,(,P,),，,必取得介于最小值,m,和最大值,M,之间的任何值。,即对任意的,c,m,c,M,至少存在一点,P,D,使得：,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近,方式的,任意性）,四、小结,多元函数的定义,习题,91:4(3,5),5(2,4,6),6(3),8,第九章作业,第一节：,多元函数的基本概念,思考题,思考题解答,不能,.,例,取,但是 不存在,.,因为若取,练 习 题,练习题答案,不存在,.,观察,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,观察,不存在,.,