第6章 矩阵的Kronecker积与Hadmard积.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第6章 矩阵的,Kroneker,积和,Hadamard,积,The,Kroneker,Product and,Hadamard,Product,概述,：,内容：,介绍,Kronecker,积和,Hadamard,积,讨论,K-,积，,H-,积的运算性质、之间的关系,K-,积与矩阵乘积的关系,K-,积，,H-,积的矩阵性质,K-,积的矩阵等价与相似关系,介绍应用,向量化算子,重点：,K-,积及其应用,61,Kroneker,积和,Hadamard,积的定义,定义6,.,1（,P,.,136）,设矩阵,A=,a,ij,m,n,和,B=,b,ij,s,t,矩阵，则,A,B,的,Kronecker,被定义为,A,B：,A,B=,a,ij,B,m,n,设,A=,a,ij,m,n,和,B=,b,ij,m,n,为同阶矩阵，则,A,和,B,的,Hadamard,被定义为,A,B：,A,B=,a,ij,b,ij,m,n,例题1,设 ，计算,A,B，B,A，I,B，A,B，I,A,K-,积，,H-,积的基本结果：,A,和,B,中有一个为零矩阵，则,A,B=0，A,B=0,I,I=I,，I,I=I,若,A,为对角矩阵，则,A,B,为分块对角矩阵，,A,B,为对角矩阵。,K-,积的基本性质,定理6,.,1,（,P,.138）,设以下矩阵使计算有意义，则,（,kA）,B=,A,（k,B,）,A,（,B+C,）=,A,B+A,C,（,A,B,）,C=,A,（,B,C,）,（,A,B,）,H,=A,H,B,H,A,B,B,A,H-,积的基本性质：,设,A，B,为同阶矩阵，则,A,B=B,A,（,kA）,B=,A,（k,B,）,A,（B+C）=AB+,A,C,（AB）C=,A,（,B,C）,（,A,B,）,H,=A,H,B,H,Kronecker,和,Hadamard,的关系：,定理6,.3,（,P,.,139）,K-,积,与矩阵乘法,定理6,.2,（,P,.,138）,设矩阵,A，B，C，D,使得下列运算有意义，则有,(,A,B,)(,C,B,)=,（,AC,）,（,BD,）,意义：,建立,Kronecker,积和矩阵乘法的相互转换。,特别情形：,设,A,F,m,m,，,B,F,n,n,，,则,A,B=,(,I,m,B,),(,A,I,n,)=,(,A,I,n,)(,I,m,B,),6,.2,Kronecker,积和,Hadamard,积的性质,Kronecker,积的矩阵性质,定理6,.4,（,P,.,140）,设矩阵使下列运算有意义，则,当,A，B,分别为可逆矩阵时，,A,B,为可逆矩阵，而且有,(,A,B,),1,=A,1,B,1,当方阵,A,F,m,m,，B,F,n,n,时，方阵,A,B,F,mn,mn,的行列式为,|,A,B,|=|A|,n,|B|,m,若,A，B,是,Hermite,矩阵，则,A,B,是,Hermite,矩阵,若,A，B,是酉 矩阵，则,A,B,是酉矩阵。,Kronecker,与矩阵等价、相似关系,定理6,.5,（,P,.,141）,设矩阵,A，B，,为同阶的等价矩阵，则,(,A,I,),等价于,(,I,B,),设方阵,A,相似与,J,A,，,方阵,B,相似于,J,B,，,则,(,A,B,),相似于,(,J,A,J,B,),K-,积特征值和特征向量,定理6,.6,（,P,.,142）,设,A,F,m,m,的特征值特征向量分别是,i,，,x,i,，B,F,n,n,的特征值、特征向量分别是,j,，,y,j,，,则,(,A,B,),的特征值是,i,j,。特征向量是,(,x,i,y,j,),。,(,A,I,)+,(,I,B,),的特征值是,i,+,j,，特征向量是,(,x,i,y,j,),更一般的结果：,定理6,.7,（,P,.,142）,的特征值为,Kronecker,的函数性质,定理6,.8,（,P,.,143）,设是,f,(,z,),解析函数，,f,(,A,),有意义，则,f,(,I,A,)=I,f,(,A,),f(,A,I,)=f(,A,),I,特例：,例题1,设,A,F,m,n,，B,F,s,t,，,证明,rank（A,B）=rank（A）rank（B）,例题2,（,P,.,144）,，,设,，,求,(,A,B,),的特征值和特征向量,求,(,A,I,)+(,I,B,),的特征值和特征向量,例题3：,证明对任何方阵，有,6,.,3 矩阵的向量化算子和,K-,积,向量化算子,Vec,定义,（,P,.,143）,设,A=,a,ij,m,n,则,Vec,(,A,),=,(,a,11,a,21,a,m1；,a,12,a,22,a,m2；,；,a,1n,a,2n,a,mj,),T,性质：,（,P,.,146）,Vec,是线性算子：,Vec（k,1,A+k,2,B）=k,1,Vec,(,A,),+k,2,Vec,(,B,),2,定理6.10,（P,.,146）,Vec,(,ABC)=(C,T,A,),VecB,3,Vec,(,AX)=(I,A,),VecX,4,Vec,(,XC)=(C,T,I,),VecX,用向量化算子求解矩阵方程组,思想,：用,Vec,算子，结合,Kronecker,积将矩阵方程化为线性方程组求解。,1、,A,F,m,m,，,B,F,n,n,，,D,F,m,n,，,AX+XB=D,分析：,AX+XB=D,（,I,A,+,B,T,I）,VecX,=,VecD,G=,（,I,A,+,B,T,I），,方程有惟一解的充要条件是,G,为可逆矩阵，即,A,和-,B,没有共同的特征值。,例题1,（,P,.,147）,用向量化算子求解矩阵方程组,2、,A，X,F,n,n,，,AX-XA=,kX,分析：,AX-XA=,kX,（,I,A,A,T,I）,VecX,=,k,VecX,H,=,（,I,A,A,T,I,)，,方程,(,k,I,-,H,),y=0,有非零解的充要条件是,k,为,H,的特征值，,k,=,i,j,。,例题2,求解矩阵方程,AX,XA=,2X,用向量化算子求解矩阵方程组,3 A，B，D，X,F,n,n,，,AXB=D,分析：,AXB=D,（,B,T,A）,VecX,=,VecD,L=,B,T,A，,方程有惟一解的充要条件是,L,为可逆矩阵.,例题3,求解方程,A,1,XB,1,+A,2,XB,2,=D,例题4,设,A,C,m,m,，B,C,n,n,，D,F,m,n,，,证明谱半径,(,A,),(,B,),1,时方程：,X=AXB+D,的解为,