地下水运动基本定律、基本微分方程和数学模型.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 地下水运动基本定律、基本微分方程和数学模型,第二章 地下水基本定律,介质：,地下水赋存于岩土的空隙中，并在其中运动。我们将赋存地下水的岩土称为介质。,渗透：,地下水在岩土空隙中的运动称为渗透。,第一节 达西定律,第一节 地下水运动的基本定律,:,达西定律,第一节 达西定律,一、渗透水流,实际水流,渗透水流,第一节 地下水运动的基本定律,:,达西定律,第一节 达西定律,一、渗透水流,（,1,）,不考虑渗流途径的迂回曲折，只考虑地下水流的主要流向。,（,2,）不考虑岩土的颗粒存在，假想渗透水流充满全部空间（包括骨架）。,两个假设,:,假设水流必须符合下列条件：,对于同一过水断面，假想水流的流量等于通过该断面的真实水流,流量,；,作用于任一面积上的假想水流的压力等于真实水流的,压力,；,假想水流在体积内所受的阻力和真实水流所受的,阻力,相同。,渗透水流,，简称,渗流,第一节 达西定律,第一节 达西定律,地下水流运动的驱动力是什么？,其流动的速度与什么有关？,思 考：,二、达西定律,1856,年法国水力学家达西,(Dacy),开展了大量实验,第一节 达西定律,达西定律，又称线性渗透定律,第一节 达西定律,实验结果：,渗流量或渗流速度与水力坡降成正比,用微分来表示，即：,此流速是假想水流的流速，实际水流的流速，根据过水断面可得,第一节 达西定律,达西定律的实质是水流在流动过程中,消耗的能量,与,流速和渗流长度,成正比，与含水层的渗透系数成反比。,第一节 达西定律,达西定律的适用范围,当雷诺数,Re,100,时，不适用；,在天然情况下，绝大多数地下水运动服从达西定律。,第一节 达西定律,渗透系数,K,水力坡度为,1,时的渗透流速。,第二节 数学模型,三、渗流中的几个概念（水文地质参数）,导水系数,T,当水力坡度为,1,时，通过整个含水层上的单位宽度流量。即：,T=KM,意义,：潜水位上升,(,下降,),一个单位时,从单位面积含水层增加,(,减少,),的水量。,第二节 数学模型,潜水给水度,第二节 数学模型,弹性释水系数,*,意义：,水平面为一个单位面积，高为含水层全厚度,M,的含水层柱体中，当水头降低一个单位时弹性释放出来的水量。,第二节 数学模型,潜水给水度与弹性释水系数的区别,释水机理：,潜水释水过程完全是重力释水；而承压水是由于含水层骨架压缩和地下水体膨状共同作用的释水。,第二节 渗流的基本微分方程和数学模型,释水率,s,取一处于平衡状态的承压含水层土体，研究其在水头变化时所引起的弹性释水或储存的过程。抽水前含水层上覆岩层的总压力为,P,，含水层内的水压力为,P,w,，岩层颗粒骨架的反作用力为,P,s,，,第二节 数学模型,1.,几个概念,抽水后，水头降低,H,，此时上覆岩层总压力不变，为保持平衡，水头降低减少的压力与骨架增加的压力相等，,此时水体积由于水压力减小而膨胀，从而释放出一定的水量，同时因含水层骨架被压缩而挤出一部分水量，合称弹性释水。,第二节 数学模型,对于含水层骨架有,：,对于水有：,V,s,含水层体积,V,w,水的体积,P,w,水的压力,P,s,骨架的压力,水弹性压缩系数,骨架压缩系数,第二节 数学模型,当水头降低总共可得到的弹性水量为,：,由于含水层中,dP,s,=dP,w,=,gdH,，,V,w,=nV,s,，,n,为孔隙率，有：,定义,：,水头降低一个单位时，从单位体积含水层中，因水体积膨胀和含水层骨架压缩挤出的弹性释放水量，称释水率第二节 数学模型,意义,：,水平面为一个单位面积，高为含水层全厚度,M,的含水层柱体中，当水头降低一个单位时弹性释放出来的水量。,第二节 数学模型,释水系数,*,释水率乘,以,该含水层的厚度，称为释水系数。,意义,：潜水位上升,(,下降,),一个单位时,从单位面积含水层增加,(,减少,),的水量。,第二节 数学模型,潜水给水度,导水系数,T,当水力坡度为,1,时，通过整个含水层上的单位宽度流量。即：,第二节 数学模型,T=KM,水的状态方程,对于给定质量的水体积，增加一个压力,dP,w,，水体积产生一定的压缩，根据质量守恒定律：,V,w,=,常数,取全微分有：,dV,w,+V,w,d,=0由于,dP,w,=,dH,第二节 数学模型,水的状态方程,第二节 数学模型,颗粒骨架的状态方程,颗粒骨架在压力的作用下主要表现为垂直方向的空隙变形，而颗粒本身体积基本不变，因此，颗粒的体积为一常量,：,V,s,-nV,s,=,常量,取全微分,dV,s,-ndV,s,-V,s,dn,=0,第二节 数学模型,假定含水层骨架仅在垂直方向变形有,：,d,(,Z,),=,(,Z,),dP,w,dn,=(1-n),dP,w,第二节 数学模型,颗粒骨架的状态方程,（,2,）渗流连续性方程,根据对渗流的假说，渗流场全部空间都被连续水流充满。在渗流场中取任一微小单元体，其坐标为（,X,、,Y,、,Z,），边长分别为,x,、,y,、,z,，,地下水的密度为,，,在,X,、,Y,、,Z,方向上的渗流速度为,u,、,v,、,w,。,在,t,时间内，沿,X,方向，流入单元的水量为：,Q,x,t=,u,y,z,t,第二节 数学模型,第二节 数学模型,而沿,X,方向流出的水量为：,两者之差为,X,方向增加的水量，即：,第二节 数学模型,沿,Y,方向增加的水量,沿,Z,方向增加的水量,第二节 数学模型,因此，在,t,时间内，单元体增加的水量为：,单元体内水占的体积为,n,x,y,z,，,n,为孔隙率，其水量为,n,x,y,z,。,在,t,内，单元体的水量变化为,第二节 数学模型,根据达西定律，水流流速在,X,、Y,、,Z,方向有,第二节 数学模型,地下水渗流连续性方程,表示：在渗流场中的任何局部，都必须满足质量守恒和能量守恒。,第二节 数学模型,对于稳定渗流，且假定,n,、,不变，则为,地下水稳定流的连续性方程,：,第二节 数学模型,（,3,）承压含水层的基本微分方程,在承压含水层中，含水层产生变形时，主要是在垂直方向（,z,）上，而,x,、,y,近似为不变，因此，连续性方程为,第二节 数学模型,第二节 数学模型,（用到水的状态方程、含水层骨架压缩的状态方程）,承压含水层三维非稳定渗流的微分方程,第二节 数学模型,若承压含水层水平等厚，渗透水流作水平二维流，则有：,第二节 数学模型,对均质各向同性的承压水作二维非稳定流时,对均质各向同性的承压水作二维稳定流时,第二节 数学模型,对于有注水或抽水时，,表示单位时间对单位面积含水层抽出或注入的水量，则,均质各向同性非稳定承压二维流,第二节 数学模型,（,4,）潜水含水层的基本微分方程,潜水含水层的顶部是潜水面，在非稳定渗流的过程中潜水面的位置在不断变化中，因此要精确处理这类问题比较困难，但实际问题中，地下水流接近水平流动，潜水面也比较平缓,.,因此，可作出一定假定条件来近似求解，即,裘布衣假定,。,第二节 数学模型,潜水面比较平缓，为缓变流；,渗流速度的水平分量,u,、,v,沿,z,高度没有变化，仅为,x,、,y,坐标和时间,t,的函数，即垂直流速可忽略不计或水头不随深度变化；,过水断面近似为一个垂直平面。,第二节 数学模型,裘布衣假设：,dx,H,h,x,z,dt,时间内，从上游断面流入的水量：,第二节 数学模型,从下游断面流出的水量：,从地表水渗的水量：,x,土体水量增量是：,第二节 数学模型,水量的变化会引起潜水面的上升或下降，在,dt,时间内潜水面变化：,第二节 数学模型,其对应的,dx,含水层水的体积变化量：,水量平衡：,第二节 数学模型,潜水二维流的微分方程：,布西涅斯克方程,第二节 数学模型,承压水二维流的微分方程：,形式相似，意义有所差别,当水头变化很小时，即,H,0.1,h,时，对均质各向同性的潜水有,T=Kh h,为潜水含水层平均厚度,第二节 数学模型,若隔水底板水平，以隔水底板为基准面，此时有，,H=h,，当无其他补给和排泄时，均质各向同性的潜水二维稳定流方程为：,第二节 数学模型,（,5,）定解条件和数学模型,初始条件,开始时刻水头函数在渗流场的分布规律，如果开始时刻渗流场内任意一点的水头已知为,H,0,，则初始条件的数学表达式为：,第二节 数学模型,注：,对于稳定流来说，定解条件中没有初始条件，因为地下水作稳定流时其运动要素是不随时间而变化的。,边界条件,是指在各个计算时刻，边界上某些函数的变化规律是已知的。边界条件主要有两种：,第二节 数学模型,第一类边界条件,（已知水头边界，,Dirichlet,条件）,是指待求的水头函数,H,(,x,y,z,),在边界,1,上的变化规律是已知的，其数学形式为,如：河流作为含水层的边界，其水位已知，就可作为一类边界处理。,第二节 数学模型,第二类边界,（已知流量边界,Neumann,条件）,边界上单位宽度的流量是已知的即为二类边界,2,，其数学表达式为：,q,-,单位宽度流量；,n,-,边界,2,的内法线方向（指向渗流场）,第二节 数学模型,当边界为隔水边界时，则,第二节 数学模型,当内边界为抽水井壁时，抽水流量已知：,微分方程与定解条件结合在一起称为,数学模型,或,定解问题,。数学模型的求解方法有：,1,、,解析解,：用数学方法直接求出数学模型的解，这种解称解析解，也是数学模型的精确解。,2,、,数值解,：把数学模型中的连续变量离散成离散变量，再进行求解，这种方法称数值解，求得的解为近似解。,第二节 数学模型,第三节 含水层中地下水的稳定流,承压含水层地下水的一维渗流,有一承压含水层均质，水平等厚，地下水的流线为,相互平行的水平直线,，两端水头已知，上游断面,x,1,处水头为,H,1,，下游断面,x,2,处的水头为,H,2,，此时地下水为一维渗流，求渗流过程中的水头变化规律与,x,2,处的流量。,第三节 地下水稳定流,承压含水层中地下水的二维渗流,若承压含水层的隔水顶板和底板不水平，含水层厚度沿水流方向作直线变化，而渗流宽度,B不变，此时地下水为二维渗流。通常在实际计算时常取含水层上下游二断面的平均厚度，求得的单位宽度流量的近似值：,第三节 地下水稳定流,若承压含水层的顶板和底板相互平行，含水层厚度不变，而渗流宽度,B,为直线变化，地下水位平面二维流。,第三节 地下水稳定流,例：,沿承压水流向有两个参照钻孔，孔,1,含水层厚度为,18.00,米，稳定水位标高,150.75,米，孔,2,含水层厚度为,25.00,米，水位标高,149.3,米。两孔相距,1000,米，含水层渗透系数,45,米,/,日。试求每公里宽度上承压含水层的天然流量。,第三节 地下水稳定流,均质潜水含水层地下水的二维渗流,某潜水含水层均质，各向同性隔水地板水平，且渗流宽度不变。流动状态满足裘布衣假定。因此潜水含水层的微分方程适用的。求浸润曲线和流量。,第三节 地下水稳定流,?,如何运用潜水含水层的微分方程求浸润曲线和流量,例,：河岸边剖面,2,处，隔水顶板标高为,10.52,米，河水位为,50.12,米，向距,500,米处剖面,1,处，隔水层标高,10.52,米，潜水位标高为,50.82,米，含水层的渗透系数为,10.00,米,/,日。求在宽度为,200,米的断面上流向河流的潜水流量，离剖面,1,为,110,米的潜水标高。,第三节 地下水稳定流,双层结构含水层,河谷双层结构，上层的渗透系数往往比下层的小得多，此时可将地下水分成两部分考虑，,上部当作潜水，下部当作承压水考虑，,通过整个含水层的单宽流量为上层和下层流量的总和。,第三节 地下水稳定流,岩层透水性沿水平方向急剧变化的含水层,根据水流连续性原理，通过二种透水性不同的岩层流量应当相等。,第三节 地下水稳定流,本章小结,达西定律：理解达西定律的涵义、,适用范围,地下水运动微分方程：推导过程、承压水与潜水运动方程的异同,地下水模型：微分方程,+,定解条件,