大学物理第5章 刚体的定轴转动.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,5,章 刚体的定轴转动,1,演示实验,1,、茹科夫斯基转椅,（,和车轮,）,2,、陀螺仪,3,、质心运动,（,杠杆,）,4,、不同质量分布的等质量柱体滚动,5,、车轮进动,一、刚体的定轴转动定律,二、转动刚体的角动量守恒,三、刚体转动的功和能,四、无滑动滚动,瞬时转轴,（补充）,五、进动,目 录,2,5.1,刚体的定轴转动定律,z,O,m,i,r,i,外力矩沿,z,轴分量的代数和,刚体沿,z,轴的角动量,刚体对,z,轴的转动惯量,3,2,、适用于转轴固定于,惯性系,中的情况。,3,、,对于转轴通过质心的情况，如果质心有加速度，上式也成立。,（,惯性力对质心的力矩和为零,）,1,、由关于定点的质点系角动量定理，向过该点的固定转轴投影得到。,4,转动,平面,外力对固定转轴力矩的计算：,：沿转轴方向,：沿转轴反方向,转动平面内的分力对转轴的力矩,5,计算转动惯量的几条规律：,1,、对同一轴可叠加：,2,、平行轴定理：,3,、对薄平板刚体，有,垂直,轴定理：,J,c,J,d,m,C,质心,r,i,x,z,y,i,x,i,m,i,y,2,4,1,mR,6,常用的转动惯量,直径,薄球壳：,直径,球体：,过中点垂直于杆,细杆：,过一端垂直于杆,圆柱体：,对称轴,7,例,2,：证明球体对任意直径的转动惯量为：,证明：如图所示，在坐标,z,处取高为,dz,的小圆柱作为质元，,dz,z,R,r,o,8,例：一飞轮的转动惯量为,J,，在,t=0,时的角速度为,0,，此后飞轮经历制动过程，阻力矩,M,的大小与角速度的平方成正比，比例系数为,k,，,当,=,0,/3,时，飞轮的角加速度,=,？从开始制动到,=,0,/3,所经历的时间,t=?,解：,9,与一维质点动力学方法一致,10,【,例,】,转轴光滑，初态静止，求下摆到,角时的角加速度，角速度，转轴受力。,11,解：,刚体定轴转动,1,、,受力分析,2,、,关于,O,轴列转动定理,【,思考,】,为什么不关于过,质心,轴列转动定理？,12,由,求w,：,13,（,1,）,平动：,质心运动定理,3,、,求转轴受力,14,（,2,）,转动：,关于质心轴列转动定理,为什么？,15,【,例,】,一长为,L,，质量为,m,的均匀细棒，水平放置静止不动，受垂直向上的冲力,F,作用，冲量为,F,t,（,t,很短），,冲力的作用点距棒的质心,l,远，求冲力作用后棒的运动状态。,解（,1,）,质心的运动,质心以,v,C0,的初速做上抛运动。,l,F,C,16,（,2,）,在上抛过程中棒的转动,绕过质心转轴，列转动定理：,l,F,C,在上抛过程中，棒以恒定角速度,绕过质心轴,转动。,【,演示,实验,】,质心运动,（,杠杆,）,17,5.2,转动刚体的角动量守恒,1,、绕定轴转动,2,、几个刚体,绕同一定轴,转动,【,演示,实验,】,茹科夫斯基转椅,(,和车轮,),、陀螺仪,3,、关于过质心轴,若合外力矩为零，则刚体总角动量守恒，角动量可在这几部分间传递。,若合外力矩为零，则刚体角动量守恒。,若对过质心轴合外力矩为零，则对该轴刚体角动量守恒。,无论质心轴是否是惯性系。,18,5.3,刚体转动的功和能,力矩的功,：,不太大刚体的重力势能,：,机械能守恒定律,：,只有保守力做功时,合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功，等于它的转动动能的增加,19,用机械能守恒重解：,转轴光滑，初态静止，求下摆到,角时的角加速度，角速度。,20,解,：,杆机械能守恒,比用转动定律简单！,势能零点,绕固定轴转动动能,21,杆动能的另一种表达：,科尼西定理,势能零点,质心动能,绕过质心轴转动动能,22,5.4,刚体的无滑动滚动,瞬时转轴,（补充）,1,、,平面平行运动,只考虑圆柱，球等,轴对称刚体,的滚动。,质心做平面运动绕过质心垂直轴做转动,2,、无滑动滚动：,R,C,p,w,任意时刻接触点,P,瞬时静止,无滑动滚动条件：,【,思考,】,下一时刻,P,点位置？,23,转动惯量小的滚得快！,【,演示实验,】,不同质量分布的等质量柱体滚动,质心运动定理,过质心轴转动定理,纯滚动条件,（,运动学条件,）,【,例,】,两个质量和半径都相同，但转动惯量不同的柱体，在斜面上作无滑动滚动，哪个滚得快？,mg,f,R,C,x,y,24,3,、轴对称,刚体无滑动滚动,中的瞬时转轴,C,p,A,B,D,E,F,时刻,t,接触点,P,瞬时静止；,在时间,(,tt+,t,),内，以,P,点为原点建立平动坐标系；,时间,(,t,t+,t,),内，,刚体的运动（质心平动、绕质心轴转动）可以看成：,绕过,P,点且垂直于固定平面的转轴的,无滑动滚动。,接触点,P,：,瞬时转轴,瞬时转动中心,25,绕,瞬时转轴的转动定理的形式？,虽然,p,点瞬时静止，但有加速度，所以除了力矩,M,p,外，还,应考虑惯性力矩。,下面证明：,对于无滑动滚动的,轴对称刚体，接触点,p,的加速度沿过,p,点的半径方向，因此，关于过,p,点的转轴，惯性力矩等于零。,惯性力作用在质心上，方向与,p,点的加速度方向相反。,关于过,p,点转轴的转动惯量,轴对称刚体，绕,瞬时转轴的转动定理：,26,证明：,p,点相对惯性系的加速度,p,点相对质心的加速度,R,C,p,w,按切、法向分解,：,无滑动滚动：,p,点加速度沿半径方向,a,p,过,p,点转轴惯性力矩等于零,27,【,例,】,两个质量和半径都相同，但转动惯量不同的柱体，在斜面上作无滑动滚动，哪个滚得快？,关于瞬转轴列转动定理重解：,mg,f,R,C,p,简单多了！,28,5.5,刚体定轴转动的角动量定理,和角动量守恒定律,讨论,力矩对时间的积累效应。,质点系：,对点：,对轴：,刚体：,刚体定轴转动的角动量定理,29,刚体定轴转动的角动量守恒定律：,对刚体系，,M,外,z,=,0,时，,此时角动量可在系统内部各刚体间传递，,而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。,茹科夫斯基转椅,(KL016),陀螺仪,（,KL029,）,转台车轮,(KL017),演示,角动量守恒：,30,克服直升飞机机身反转的措施：,装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩,装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消,TV,角动,量守恒定律,(,注,3,),31,滑冰运动员的旋转,猫的下落（,A,）,猫的下落（,B,）,32,m,(,黏土块,),y,x,h,PO,M,光滑轴,均质圆盘,（水平）,R,例,如图示，,求：,碰撞后的瞬刻盘,P,转到,x,轴时盘,解：,m,下落：,(1),m,P,h,v,对,（,m,+,盘），,碰撞中重力对,O,轴力矩可忽略，,(2),已知：,h,，,R,，,M,=2,m,，,=60,系统角动量守恒：,33,(3),对,（,m,+,M,+,地球）系统，,m,mg,O,M,R,令,P,、,x,重合时,E,P,=0,，,则：,(5),由,(3)(4)(5),得：,由,(1)(2)(3),得：,(4),只有重力作功，,E,守恒。,（,m,+,盘）角动量,34,旋进：,5.6,旋进,（进动，,precession,）,如玩具陀螺的运动：,轴转动的现象。,高速旋转的物体，其自转轴绕另一个,35,p,2,p,1,m,2,m,1,r,2,m,1,r,1,L,2,L,1,L,O,z,点的 不平行于 。,若质量对转轴分布对称，,下面我们就讨论这种,质量对转轴分布对称,对转轴不对称，,的刚体的旋进问题。,刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。,例如，图示的情形：,质量,则：,则对轴上,O,36,M,d,L,mg,O,L,从而产生旋进运动。,玩具陀螺的旋进：,只改变方向而不改变大小，,37,d,L,O,旋进角速度：,演示 车轮旋进,（,KL023),TV,旋进,防止炮弹翻转,（注,2,）,38,回转效应产生附加力矩：,轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。,左转,d,L,M,M,d,t,=,d,L,附加力,附加力,轴承,附加力可能造成轴承的损坏，附加力矩也可能造成翻船事故。,M,左转弯的力矩,三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。,L,39,地球转轴的旋进，岁差,随着地球自转轴的旋进，北天极方向不断改变。,北极星,3000,年前,小熊座,现在,小熊座,12000,年后,天琴座,（织女）,T,=25800年,C,1,C,2,F,1,F,2,太阳,赤道平面,黄道平面,地球,北天极,地轴,L,地球自转角动量,（,F,1,F,2,）,M,地球自转轴旋进,40,地轴,旋进,旋进周期,25800,年,秋分点,春分点,西,分点每年在黄道上,西移,50.2,太阳年（回归年）：,太阳由春分,秋分,春分,恒星年（时间长）：,地球绕太阳一周的时间,岁差,（precession）,岁差,=,恒星年,太阳年,=20,分,23,秒,北半球,南半球,黄道面,赤道面,太阳,东,41,我国古代已发现了岁差：,每,50,年差,1,度（约,72,/,年）,前汉（公元前,206 23,）,刘歆发现岁差。,晋朝（公元,265 316,）,虞喜最先确定了岁差：,将岁差引入历法：,391,年有,144,个闰月。,祖冲之（公元,429 500,）,编,大明历,最先,（,精确值为,50.2,/,年）,42,当旋进发生后，总角速度,只有刚体高速自转时，才有,这时也才有 和以上 的表示式。,当考虑到 对 的贡献时，,自转轴在旋,进中还会出现微小的上下的周期性摆动，,运动叫,章动,（,nutation,）。,这种,43,1.,定轴转动的运动学问题,解法,：利用定轴转动的运动学描述关系,2.,转动惯量的计算,解法：,（,1,）定义法：,习题基本类型,O,v,定 轴,P,z,r,44,（,2,）平行轴定理,若有任一轴与过质心的轴平行，相距为,d,，,刚体对其转动惯量为,J,，,则有,J=J,C,+m d,2,。,3.,定轴转动的动力学问题,解法,：利用定轴转动中的转动定律,步骤,：,（,1,）审题，确定研究对象；,（,2,）建立坐标系；,（,3,）对研究对象进行受力分析和受力矩分析，并按坐标系的正方向写出外力矩的表达式及规律方（注：受力分析和受力矩须取隔离体），并用线角量关系将,F=ma,与,M=J,联系起来；,（,4,）计算对轴的转动惯量；,（,5,）解方程，求未知，并对结果进行必要的讨论。,45,4.,定轴转动中的功能问题,解法,：利用,动能定理,和,机械能守恒定律,5.,角动量原理及角动量守恒定律,6.,混合题型,解法,：,应用,运动学公式、转动定律,和,角动量守恒定律。,46,5.1,一 汽车发动机的转速在,7.0s,内由,200rev/min,均匀地增加到,3000rev/min,。,（,1,）求这段时间内的初角速度、末角速度及角加速度2,）求这段时间内转过的角度；,（,3,）发动机轴上装有一半径为,r,=0.2m,的飞轮，求它边缘上一点在这第,7.0s,末的切向加速度、法向加速度和总加速度。,（,1,）初角速度：,解,：,0,=2200/60=20.9(,rad/s,),末角速度：,=23000/60=314(,rad/s,),角加速度为：,（,2,）转过的角度为,47,总加速度为：,总加速度与速度（切向）之间的夹角,（,3,）切向加速度为,法向加速度为,48,由于转动惯量具有可加性，所以已挖洞的圆板的转动惯量,J,加上挖去的圆板补回原位后对原中心的转动惯量,J,1,就等于整个完整圆板对中心的转动惯量,J,2,即,R,O,R,/2,C,5.2,从一半径为,R,的均匀薄板上挖去一个直径为,R,的圆板，所形成的圆洞中心在距原薄板中心,R,/2,处，所剩薄板的质量为,m,。,求此薄板对于通过原中心而与板面垂直的轴的转动惯量。,R,O,R,/2,C,解,：,设板质量密度为,厚度为,a,，,则,J,=,J,2,-,J,1,49,由于,则,最后求得,R,O,R,/2,C,50,5.3,如图，两物体质量为,m,1,、,m,2,，滑轮的质量为,m,，半径为,r,，,可视作均匀圆盘。已知,m,2,与桌面间的滑动摩擦系数为,k,，,求,m,1,下落的加速度和两段绳子中的张力各为多少。设绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴受的摩擦力忽略不计。,解,：,（绳在轮上不打滑）,（向下为正）,（向右为正）,线角量关系：,对,m,1,、,m,2,、滑轮分别进行受力分析，,画出,示力图,（顺时针为正）,a,a,m,2,m,1,r,T,1,m,1,g,f,T,2,T,1,T,2,方程组的解为,：,5.4,如图，两个圆轮的半径分别为,R,1,和,R,2,质量分别为,M,1,、,M,2,，二者皆可视作均匀圆柱体且同轴固结在一起，可绕一水平固定轴自由转动。今在两轮上绕有细绳，绳端分别挂上质量为,m,1,和,m,2,的两个物体。求在重力作用下，,m,2,下落时轮的角加速度。,解,：,（向上为正）,（向下为正）,对,m,1,、,m,2,、整个滑轮分别进行受力分析，,画出,示力图,（顺时针为正）,m,1,m,2,R,2,R,1,M,1,M,2,o,a,1,T,1,m,1,g,a,2,T,2,m,2,g,T,1,T,2,53,线角量关系,（绳在轮上不打滑）,：,方程组的解为,：,54,5.5,一根均匀米尺，在,60cm,刻度处钉到墙上，且,可以在竖直平面内自由转动。先用手使,米尺保持,水平,，然后释放。求刚释放时米尺,的角加速度和,米尺到竖直,位置时的角加速度。,解,：,设米尺总质量为,m,，,则直尺对悬点的转动惯量为：,对米尺，手刚释放时，由转动定律：,O,mg,C,l,1,l,2,55,C,mg,O,mg,C,l,1,l,2,在米尺转到竖直,位置过程中,，系统（,尺,+,地球,）,机械能守恒,：,56,5.6,坐在转椅上的人手握哑铃。两臂伸直时，人、哑铃和椅系统对竖直轴的转动惯量为,J,1,=2kg,m,2,。,在外人推动后，此系统开始以,n,1,=15r/min,转动，当人两臂收回时，使系统的转动惯量变为,J,2,=0.80kg,m,2,，它的转速,n,2,是多大？,解,：,两臂收回过程中，系统的机械能是否守恒？什么力做了功？做功多少？设轴上摩擦忽略不计。,由于两臂收回过程中，人体受的沿竖直轴的外力矩为零，所以系统沿此轴的角动量守恒,两臂收回时，系统的内力（臂力）做了功，所以系统的机械能不守恒。臂力做的总功为：,57,58,5.7,如图所示，均匀杆长,L,=0.40m,，,质量,M,=1.0kg,，,由其上端的光滑水平轴吊起而处于静止。今有一质量为,m=,8.0g,的子弹以速度,=200m/s,水平射入杆中而不复出，射入点在轴下,d,=3,L,/4,处。,（,1,）求子弹停在杆中时杆的角速度,。,（,2,）求杆的最大偏转角。,解,：,L,（,1,）系统（,杆,+,子弹,），在,碰撞过程,中，,合外力矩为,0,，因而系统的角动量守恒。（在俯视图中，选,为正方向,）,59,（,2,）系统（,杆,+,子弹,+,地球,），,上摆过程,，,只有重力（保守力）做功,，系统的,机械能守恒,（选,杆竖直时,势能为零,）。,L,C,60,5.8,一转台绕竖直固定固定轴转动,，每转一周所需时间,t,=10s,，,转台对轴的转动惯量为,J,=1200kg,m,2,。,一质量为,M=,80kg,的人，,开始站在转台中心，随后沿半径向外跑去,，当人离,转台中心,r,=2,m,时,转台的角速度多大,？,解,：,系统（,人,+,转台,）没有受到沿轴的,合外力矩,作用，因而其,角动量守恒,，即：,由此可得转台后来的角速度,61,