十二 弯曲变形.ppt

CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY,第十二章 弯曲变形,摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。,在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。,12.1,概述,一、工程中的弯曲实例,桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。,但,在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。,例如，,车辆上的叠板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。,二、计算弯曲变形的目的,1,、研究刚度,2,、解静不定问题,3,、确定梁弯曲的动载系数。,控制变形：齿轮轴，镗刀杆,使用变形：叠板弹簧，跳水板,三、弯曲变形的基本概念,对称轴,轴线,纵向对称面,1,、挠曲线,梁,在,平面弯曲时，其轴线在载荷作用平面（纵向对称,面）内，变成了一条曲线，该曲线称为,挠曲线,。,表示：,连续光滑,特点：,w,=,f,(,x,),，它是,坐标,x,的连续函数。,2.,挠度和转角,规定,：向上的挠度为正,逆时针的转角为正,挠曲线方程：,转角方程：,:,是度量弯曲变形的两个基本量,四、画绕曲线近似形状的方法,1,、考虑支座的约束特点,固定端：,w,=0,=0,铰支座：,w,A,=0,w,B,=0,2,、考虑弯矩的变化,弯矩为正，凹,弯矩为负，凸,弯矩为,O,的线段，直线,弯矩为,O,的点，拐点,A,B,P,P,x,M,例：,12.2,挠曲线近似微分方程及其积分,一、挠曲线近似微分方程的导出,力学公式,数学公式,平面曲线,(,挠曲线,),上任意点的曲率公式。,纯弯曲梁变形后中性层的曲率公式，对于横力弯曲（,l5h,）可近似使用。,对于小挠度情形有,挠曲线的近似微分方程,二、积分法求弯曲变形,由挠曲线近似微分方程，,得：,对于等截面直梁，有：,说明：,（,1,）若,M,（,x,）,方程 或,EI,有变化，则应分段。,（,2,）,C,、,D,为积分常数，由边界条件和连续性条件确定。,固定端,：,w0,=0,确定积分常数：,（,1,）边界条件,（,2,）连续性条件,梁,的,挠曲线是一条连续而光滑的曲线，因此在挠曲线的任一点处（如：弯矩方程的分界处，截面的突变处）左右两截面的转角和挠度均相等。,A,铰支座：,w,A,=0,w,B,=0,例,：已知梁的抗弯刚度为,EI,。,试求图示简支梁在均布载荷,q,作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定,max,和,w,max,。,由边界条件,：,得：,梁的转角方程和挠曲线方程为：,最大转角和最大挠度分别为：,解：,例,:,已知梁的抗弯刚度为,EI,。,试求图示悬臂梁在集中力,P,作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定,max,和,w,max,。,解：,由边界条件,:,梁的转角方程和挠曲线方程为：,最大转角和最大挠度分别为：,例,:,试,求,图示简支梁的弯曲变形（抗弯刚度,:,EI,z,）,a,x,y,A,B,b,l,C,P,解：,1.,求,支反,力、写出弯矩方程；,AC,段：,x,1,CB,段：,2.,列出挠曲线微分方程，并积分；,AC,段：,CB,段：,3.,列出边界条件；,4.,连续性条件；,由连续性条件，可求得,x,2,由边界条件，可求得,5.,求最大转角和最大挠度,a,x,y,A,B,b,l,C,P,R,A,R,B,x,1,x,2,对,简支梁受,集中力，最大转角一般在两端截面上,:,比较两者，当,a,b,时,:,挠度最大值发生在,截面上，,当,a,b,时，发生在,AC,段：,将积分常数代入，得到转角方程和,挠曲,线方程,(,略,),。,讨论：,（,1,）,AC,段：,CB,段：,（,2,）,当须分段表示弯矩方程时，需用连续性条件、边界条件一起确定积分常数。,（,3,）,截面,最大挠度,很接近于梁中点挠度值,故,工程上常用中点的挠度代替最大挠度：,（,4,）,当,b,=,l,/2,时,（,5,）,积分法适用于,求任意截面的挠度和转角,.,a,x,y,A,B,b,l,C,P,R,A,R,B,x,1,x,2,例：,已知梁的抗弯刚度为,EI,。,试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定,max,和,w,max,。,解：,由对称性，只考虑半跨梁,ACD,由连续性条件：,由边界条件：,由对称条件：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,例：,用积分法求图示各梁的挠曲线方程，应分为几段？将出现几个,积分常数？并写出各梁的边界条件和连续条件。,边界条件,连续条件,边界条件,连续条件,边界条件,连续条件,边界条件,1.,挠度和转角,规定,：向上的挠度为正,逆时针的转角为正,挠曲线方程：,转角方程：,挠度和转角是度量弯曲变形的两个基本量。,内容回顾：,挠曲线的近似微分方程,2.,挠曲线近似微分方程,3.,积分法求弯曲变形,对于等截面直梁，有：,截面的转角方程,梁的挠曲线方程,说明：,（,1,）若,M,x,）,方程 或,EI,有变化，则应分段。,（,2,）,C,、,D,为积分常数，由边界条件和连续性条件确定。,挠曲线的近似微分方程,12.3,叠加法求弯曲变形,一、叠加法前提,材料服从胡克定律,小变形,二、第一类叠加法,载荷叠加法,当,梁上,同时作用有几种载荷时，可分别求出每一种载荷单独作用下的变形，然后将各个载荷单独引起的变形叠加，得这些载荷共同作用时的变形。,已知,：,q,、,l,、,EI,求,：,w,C,B,各种载荷与它所引起的变形成线性关系。,v,v,v,=,+,+,用叠加法求,例：,解：,若图示梁,B,端的转角,B,=0,，,则力偶矩,等于多少？,例：,解,:,例：,求图示梁,BD,两点的挠度,w,B,、,w,D,。,解：,v,例：,用叠加法确定图示梁,C,截面的挠度,w,C,和转角,C,。,解：,v,v,v,所以，,例：,用叠加法求图示梁中点,C,的挠度,w,C,A,B,q,L/2,L/2,C,A,B,L/2,L/2,C,q/2,q/2,A,B,L/2,L/2,C,q/2,例：,求梁中点,C,的挠度,w,C,解：,三、第二类叠加法,逐段分析求和法,为求梁某截面的挠度和转角，常把构件分成几段分别刚化处理，进而计算出每段变形在该截面处引起的挠度和转角，然后将它们分别叠加，得到该截面处总的挠度和转角，这种计算变形的方法称为,逐段分析求和法,，又称,位移叠加法,。,注此种叠加方法在求外伸梁，或受力比较特殊的悬臂梁的变形时，,比较方便。,v,例,求外伸梁,ABC,的外伸端,A,的挠度,。,解：,用逐段分析求和法。,（,2,）将,BC,段刚化,（,1,）将,AB,段刚化,（,3,）最后结果,l,A,B,a,C,q,A,B,q,A,B,C,qa,qa,2,/2,例,求外伸梁,ABC,的外伸端,A,的挠度和转角,。,解：,（,1,）将,BC,段刚化。,（,2,）将,AB,段刚化。,（,3,）最后结果,A,B,q,A,B,a,C,q,P=,qa,a,a,m=qa,2,D,qa,A,B,C,m=qa,2,/2,P=,qa,m=qa,2,D,例,求悬臂梁,ACB,的自由端,B,的挠度和转角,。,解：,（,1,）将,AC,段刚化。,（,2,）将,BC,段刚化。,B,C,A,B,q,a,a,C,qa,m=qa,2,/2,A,B,C,两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁,、,如图示，,梁的最大挠度是,梁的多少倍？,例：,16,倍,例,：,简支梁在整个梁上受均布载荷,q,作用,，,若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？,16,倍,12.4,梁的刚度校核,刚度条件：,、,是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。,一、梁的刚度条件,二、三类刚度问题,（,1,）刚度校核,（,2,）截面设计,（,3,）确定许可载荷,例,：图示工字钢梁，,l,=8m,，I,z,=2370cm,4,W,z,=237cm,3,，,w,=,l,500,，,E,=200GPa,，,=100MPa,.,试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷,P,，,并校核强度。,解：,由刚度条件,例：矩形截面 的纯弯曲梁如图所示,已知梁中性层上无应力,若将梁沿中性层 锯开,将锯开后的两梁叠合在一起并承受相同的弯矩,问锯开前后,即一根 的梁和两根 叠合在一起的梁,两者的最大弯曲应力和抗弯刚度的比值分别为多少,?,解,:,锯开前,:,最大应力,抗弯刚度,锯开后,两根 的梁独立作用,每梁承受,故叠合梁的,最大应力,抗弯刚度,两种情况下,最大应力和抗弯刚度的比值为,解除多余约束，代之相应的反力；变静不定梁为形式上的静定梁系统,一、静不定梁的概念,不能由静力平衡方程求出全部未知量的梁,静不定梁,或,超静定梁,二、相当系统的建立,方法步骤：,该梁称为原静不定梁的,相当系统,求,出,解除约束处的变形，并与实际变形比较，得补充方程；,三、用变形比较法解静不定梁,12.5,简单超静定梁,求图示静不定梁的支反力。,例：,解：,将支座,B,看成多余约束，,变形协调条件为：,另解,：,将支座,A,对截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件为：,12.6,提高梁弯曲刚度的措施,影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。,一、增大梁的抗弯刚度,EI,影响梁强度的截面几何性质,影响梁刚度的截面几何性质,1.,合理选择截面形状,2.,合理选择材料,影响梁强度的材料性能,影响梁刚度的材料性能,二、减小跨度或增加支撑,l,q,l/2,q,三、改变加载方式,l/2,P,l/2,l/3,P/2,P/2,l,q,第十二章结束了！,谢谢大家！,