概统 6-3.ppt

3,区间估计,单个正态总体的置信区间,两个正态总体均值及方差的置信区间,单侧置信区间,但是点估计也有明显的缺点，就是没有提供关于估计精度的任何信息,.,前面我们讨论了参数的点估计，这一估计方法是用一个统计量 作为未知参数 的估计，一旦给定了样本观测值就能算出 的估计值,.,在使用中较为直观，也较为方便,.,为了解决上面的问题，我们常需要估计出未知参数的一个可能范围，这个范围在数轴上就是一个区间，我们希望给出两个区间端点（都是随机变量），用此两端点所构成的区间（是随机区间）来估计参数 ，使这个随机区间以比较大的概率套住 的真值，这就是区间估计的问题,.,设总体分布中含有一个未知参数 ，由样本,确定的两个统计量 及,，对于给定的 ，满足,称随机区间 为 的置信水平为 的,置信区间,.,分别称为,置信下限,和,置信上限,若 越,小,，就越,大,，覆盖住 的,可能性,就,越大,.,同时，,区间,的长度就,越大,，区间过大，区间估计,没意义,了,.,正确提法：在给定的较大的置信水平 下，使,称为,置信水平,.,平均长度最小,的区间估计为,最好的,区间估计,.,一 单个正态总体的置信区间,1.,单个正态总体,均值,的置信区间,设总体 ，为 的样本，给定,置信水平为 ，分别为样本均值和样本方差,.,1,已知,由 是 的一个无偏估计，又,由第二章知,由正态分布表可知，对给定的 ，一定存在,一个值 ，使,即 的分布不依赖,于任何,未知参数，有,这样，我们就得到了关于 的一个置信水平为,的置,信区,间,2,未知,方差未知时，考虑能否用 的无偏估计,来代替参数 ，由第五章定理四知,因而对给定的置信水平 ，可由 分布表查出,分位数 的数值，根据分位数的定义可知,于是关于 的一个置信水平为 的置,信区,间为,即,例,1,某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取,9,个，测得直径（单位：,mm,）如下,14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8,设滚珠直径服从正态分布，若,求直径均值的置信水平为,0.95,的置信区间,.,(1),已知滚珠直径的标准差,;,(2),未知标准差,解,2.,单个正态总体,方差,的置信区间（,未知,）,设样本 来自正态总体,均未知,由于样本方差 是 的无偏估计，随机变量,，由,可得 的置信水平为 的,置信区间为,例,2,设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命 服从正态分布,其中 未知，,寿命试验，测得寿命数据如下（单位：,h,）,1502 1480 1485 1511 1514 1527 1603 1480,1532 1508 1490 1470 1520 1505 1485 1540,求灯泡寿命方差 的置信水平为,0.95,的置信区间,.,解,今随机的抽取,16,只灯泡进行,二 两正态总体均值及方差的置信区间,1两个总体,均值差,的置信区间,设正态总体 与 相互独立，,和 分别为总体 的样本,.,分别为总体 和 的样本均值，,分别为总体 和 的样本方差,.,构造总体均值差 的区间估计,.,1,均为已知,因为,所以，统计量,得 关于的置信水平为 的置信区间为,*,2,，但 未知,由,*,式得,用 的无偏估计,代替,得 关于的置信水平为 的置信区间为,未知,从而,例,3,有二个建筑工程队，第一对有,10,人，平均每人每月完成,50,m,2,的住房建筑任务，标准差,S,1,=6.7,m,2,；第二对有,12,人，平均每人每月完成,43,m,2,的住房建筑任务，标准差,S,2,=5.9,m,2,.,试求 的置信水平为,0.95,的置信区间,.,解,相互独立，,2.,两个总体,方差比,的置信区间,设正态总体 与,和 分别为总体 的样本,.,分别为总体 和 的样本均值，,分别为总体 和 的样本方差,.,构造总体方差比 的区间估计,.,均未知,由第五章定理七知,的分布已知且其中不含任何未知参数，由,得 关于的置信水平为 的置信区间为,例,4,某自动机床加工同类套筒，假设套筒的直径服从,正态分布，现从两个不同班次,A,班和,B,班的产品中各抽,取,5,个套筒，测得它们的直径（单位：,cm,）分别为,A,班：,2.066,，,2.063,，,2.068,，,2.060,，,2.067,B,班：,2.058,，,2.057,，,2.063,，,2.059,，,2.060,试求两班所加工的套筒直径的方差比 的置信水平为,0.90,的置信区间,.,解,三 单侧置信区间,在上述讨论中，对于未知参数 ，我们给出两个统计量 ，得到 的双侧置信区间 ，而在一些实际问题中，我们只关心置信,上限,或,下限,例如，对于元件、设备的寿命问题，希望平均寿命越长越好，而不能过短，所以我们关注的是平均寿命的下限，此时置信区间可采用 的形式,与之相反，对产品的次品率等问题，我们关注的是它的上限，置信区间可设为 的形式,这就引出了,单侧置信区间,的概念,设总体分布中含有一个未知参数 ，由样本,确定的两个统计量 及,，对于给定的 ，满足,称随机区间 为 的置信水平为 的,置信区间,.,分别称为,置信下限,和,置信上限,称为置信水平,.,若 越,小,，就越,大,，覆盖住 的,可能性,就,越大,.,同时，,区间,的长度就,越大,，区间过大，区间估计,没意义,了,.,正确提法：在给定的较大的置信水平 下，使,平均长度最小,的区间估计为,最好的,区间估计,.,设 是来自总体 的一个样本，对于,给定的 若统计量 满足,称随机区间 是 的置信水平为 的,单侧置,信区间,，,称 为 的置信水平为 的,单侧置信下限,信区间,，,又若统计量 满足,称随机区间 是 的置信水平为 的,单侧置,称 为 的置信水平为 的,单侧置信上限,例5,从一批灯泡中随机地抽取,20,只做寿命试验，计算得 （,h,），,.,设灯泡寿命服从正态分布，求灯泡寿命的平均值 的置信水平为,0.95,的单侧置信下限与单侧置信区间,.,解,本节结束，谢谢！,例,1,某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取,9,个，测得直径（单位：,mm,）如下,14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8,设滚珠直径服从正态分布，若,(1),已知滚珠直径的标准差,;,(2),未知标准差,求直径均值的置信水平为,0.95,的置信区间,.,解,由题可知,（,1,）,计算得,从而关于 的一个置信水平为,0.95,的置信区间为,2,）,关于 的一个置信水平为,0.95,的置信区间为,例,2,设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命 服从正态分布,其中 未知，今随机的抽取,16,只灯泡进行,寿命试验，测得寿命数据如下（单位：,h,）,1502 1480 1485 1511 1514 1527 1603 1480,1532 1508 1490 1470 1520 1505 1485 1540,求灯泡寿命方差 的置信水平为,0.95,的置信区间,.,解,的置信水平为,0.95,的置信区间为,例,3,有二个建筑工程队，第一对有,10,人，平均每人每月完成,50,m,2,的住房建筑任务，标准差,S,1,=6.7,m,2,；第二对有,12,人，平均每人每月完成,43,m,2,的住房建筑任务，标准差,S,2,=5.9,m,2,.,试求 的置信水平为,0.95,的置信区间,.,解,设两个总体相互独立且服从正态分布,.,查 分布表得,因为 ，,所以关于 的置信水平为,0.95,的置信区间为,解,例,4,某自动机床加工同类套筒，假设套筒的直径服从,正态分布，现从两个不同班次,A,班和,B,班的产品中各抽,取,5,个套筒，测得它们的直径（单位：,cm,）分别为,A,班：,2.066,，,2.063,，,2.068,，,2.060,，,2.067,B,班：,2.058,，,2.057,，,2.063,，,2.059,，,2.060,试求两班所加工的套筒直径的方差比 的置信水平为,0.90,的置信区间,.,查表得,于是，得 的置信水平为,0.90,的置信区间为,由题意,例,5,从一批灯泡中随机地抽取,20,只做寿命试验，计算得 （,h,），,.,设灯泡寿命服从正态分布，求灯泡寿命的平均值 的置信水平为,0.95,的单侧置信下限与单侧置信区间,.,解,方差 未知，,即,从而 的置信水平为 的单侧置信下限为,的置信水平为 的单侧置信下限为,的置信区间为,即这批灯泡的平均寿命大于,1634.81,小时,