1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,计算方法,西北工业大学网络教育学院,主讲：,1,第六章 最小二乘法与曲线拟合,2,3,当数据量特别大时一般不用插值法。这是因为数据量很大时所求插值曲线中的未知参数就很多，而且数据量很大时，多项式插值会出现高次插值（效果不理想）或分段低次插值（精度不高）；另外，测量数据本身往往就有误差，所以，使插值曲线刻意经过这些点也不必要。,而曲线拟合是，首先根据物理规律或描点画草图确定一条用来拟合的函数曲线形式，也可选择低次多项式形式（所含参数比较少），然后按最小二乘法求出该曲线，它未必经过所有已知点，但它能反映
2、出数据的基本趋势，且误差最小，效果比较好。,4,一.定义,若秩(,A|b),秩(,A)，,则(6.1)无解，此时称（6.1）,为矛盾方程组。,6.1 矛盾方程组与最小二乘法,设有线性方程组,5,二、最小二乘法法,因(6.1)无解，故偏差(残量),6,7,8,(6.3)是,n,阶方程组,称为原矛盾方程组对应的正规方程组(或正则方程组,法方程组).故矛盾方程组的最小二乘解一定是相应的正规方程组的解,反之结论是否成立呢?,三.理论讨论,1.不难理解,偏差总量 无最大值,但有最小值,又,只有一个驻点(偏导为零的点),故该驻点一定就是最小值点,亦即法方程组(6.3)的解一定就是矛盾方程组的最小二乘解,.
3、当然,也可从数学上更严格推证这个结论(略)。,9,6.2 多项式拟合,10,11,12,13,14,15,基本要求:,1.熟悉曲线拟合的定义和几何意义;,2.会用最小二乘法求矛盾方程组的最小二乘解;,3.会用多项式曲线拟合给定数据;,4.会用参数是线性形式的曲线拟合给定数据.,作业:,作业集,B,第六章 1,2,3,4.,16,第七章 数值积分与数值微分,17,18,7.1,Newton-Cotes,求积公式,19,20,21,22,23,24,25,26,基本要求:,1.熟悉插值型求积公式;,2.熟悉常用的两个,Newton-Cotes,求积公式即两点梯型公式及三点,Simpson,公式及其
4、误差；,3.熟悉求积公式的代数精确度.,作业:,作业集,A,第七章 1,2(不推导,只画图说明几何意义)3.,27,提高求积精度,增加节点,分段使用节点少的,Newton-,Cotos,公式,即所谓的复化求积公式,整体使用节点多的,N-C,公式。,原因：,高次插值有时出现,Runge,现象，误差更大；,节点增多，,A,k,有正有负，不能保证稳定性。,7.2,复化求积公式,28,一常用复化求积公式,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,7.3,Romberg,求积算法,39,40,41,基本要求:,1.熟悉复化梯形公式和复化,Simpson,公式;,2.熟悉复化梯形公式和复
5、化,Simpson,公式的截断误差；,3.会编程上机使用,Romberg,算法.,作业:,作业集(,A),第七章 4,5.,42,7.4,Gauss,型求积公式,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,第八章,常微分方程初值问题的数值解法,58,59,8.1,Euler,法与梯形法,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,基本要求:,1.熟悉,Enter,显格式,梯形法及,Enter,预校法;,2.熟悉局部截断误差及绝对稳定性.,作业:,作业集(,B),第八章 1,2.,73,Taylor,展开法与,Run
6、ge,-,Kutta,方法,8.2,高阶单步法的构造,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,基本要求,:,1.,熟悉用,Taylor,展开式建立高阶单步法,;,2.,熟悉二阶中点公式,;,3.,会编程在计算机上使用变步长的,R-K,方法,.,作业,:,作业集,(,B),第八章,3.,84,83,线性多步法,只用到,初值就可循环计算。缺点,提高精度时，需增加,f(x,y),在其它一些点处值，每步计算量偏大，每步要标若干个,f,值。,本节介绍：线性多步法,计算,用到,每步计算量不大，但又能提高精度。,(819,）,前述方法：单步法,计算,，给定,、一般形式,85,（,819,）每步只需计算一次,f,值，然后进行线性运算,计算很简单，单恰当选取参数,可提高误差阶。,出发值计算：多步法不能自动开始计算，一般先由同阶,R-K,单步法求出所需初值。,二、线性多步法的构造,数值积分法和,Taylor,展开法,数值积分法,86,87,88,89,2.,Taylor,展开法,更灵活,90,91,8.4,一阶微分方程组数值解法,(略),92,基本要求,:,用数值积分法和,Taylor,展开法建立简单的线性多步计算中心公式,.,作业,:,作业集,(,B),第八章,4,7.,93,
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