第1章 行列式 1.ppt

线性代数,2015-2016,（,2,）,梅冬芳,meidf,dfmei,线性代数,简介,实际中的问题都是研究多个变量之间的关系，这些问题在多数情况下又可以线性化，而线性化了的问题就可以利用计算机计算出来，线性代数正是分析解决这种问题的有力工具。,线性（,linear,）指量与量之间按比例、成直线的关系,课程内容,行列式,矩阵,线性方程组,向量空间与线性变换,特征值和特征向量 矩阵的对角化,二次型,课程要求,看书,完成课后作业,理论联系实际,考试：闭卷，平时成绩（点名,+,作业）占,30%,，期末考试占,70%,孙子算经,：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”,鸡 与 兔,鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有,35,个头；从下面数，有,94,只脚。问笼中各有几只鸡和兔？,答：有,23,只鸡和,12,只兔,如何得来？,有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有,35,个头；从下面数，有,94,只脚。问笼中各有几只鸡和兔？,有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有,35,个头；从下面数，有,94,只脚。问笼中各有几只鸡和兔？,没读过书也知道答案,!,你知道他是怎么做的吗？,他的做法是：把每只兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，每只兔子就只有,2,只脚。,这样就从下面数共有,70,只脚：,94-70=24,，是捆起来的兔子的脚的只数,所以兔子的数量为,12,只，于是鸡的数量为,23,只,第,1,章,行列式,1.,行列式,回忆二元及三元方程组的求解,.,a,11,x,1,+,a,12,x,2,=,b,1,a,21,x,1,+,a,22,x,2,=,b,2,(1),(2),若,a,11,0.,+(2),得,(1),(3),代入,(1),得,(4),a,11,x,1,+,a,12,x,2,=,b,1,a,21,x,1,+,a,22,x,2,=,b,2,观察二元方程组和解,a,11,a,12,a,21,a,22,b,1,b,2,a,12,a,22,a,11,a,21,b,1,b,2,x,1,x,2,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排,称列）的数表,定义,即,二阶行列式,.,列标,行标,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,例如,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意,分母都为原方程组的系数行列式,.,例,解,:,定义,记,算式称为由上述,3,行,3,列数表所确定的,三阶行列式,.,三阶行列式,(1),沙路法,三阶行列式的计算,(2),对角线法则,注意,红线上三元素的乘积为正号，蓝线上三,元素的乘积为负号,三阶行列式,2,.,三阶行列式展开包括,3!,项，每一项都是位于不同行，,不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负,.,说明,1.,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方,程组引入的,.,沙路法,二阶与三阶行列式的计算,小结,思考：二阶和三阶行列式是由,？,项的代数和？每一项,是由几个元素相乘？每一项的正负号如何确定？,求解三元线性方程组,a,11,x,1,+,a,12,x,2,+,a,13,x,3,=,b,1,a,21,x,1,+,a,22,x,2,+,a,23,x,3,=,b,2,a,31,x,1,+,a,32,x,2,+,a,33,x,3,=,b,3,其解为,例,.,计算三阶行列式,解,：,D,=105+(-432)+234,-(-202)-(-341)-(-435),=72,沙路法,三阶行列式的计算,或者，,(8),余子式，,M,11,由,(8),知，三阶行列式可用其二阶余子式的线性组合表示,.,三阶行列式中,去掉第,i,行第,j,列,剩下元素按原来次序组成的,二,阶行列式记为,M,ij,，,称为,第,i,行第,j,列元素,的,余,子式,.,A,ij,=(,1),i,+,j,M,ij,称为,D,的,代数余子式,如,a,11,的余子式：,A,ij,=(,1),i,+,j,M,ij,如果定义一阶行列式,|,a,|=,a,则,二阶行列式可表示为,上述表明二阶，三阶行列式均可由其余子式的组合表示，也即高阶可由低阶行列式线性表示。,对于一元线性方程,ax,=,b,（,a,0,）,.,其解,三阶行列式可表示为,行列式是什么样的？,四阶行列式,四阶以上的呢？,思考,定义,1.1.1,称为一个,n,阶行列式.,它可由,n,个,n,1,阶,行列式线性表示,，如,：,其中,A,ij,=(,1),i,+,j,M,ij,a,ij,的代数余子式,n,阶行列式的展开式,n,阶行列式,主对角线,副对角线,主对角元,元素,a,ij,的余子式,M,ij,M,ij,定义为：,n,阶行列式的展开式,二阶行列式,三阶行列式,n,阶行列式,例,1,.,计算三阶行列式,解二,：,D,=,解一,：,D,=1*0*5+,（,-4*3*2,）,+2*3*4-,（,-2*0*2,）,-,（,-3*4*1,）,-,（,-4*3*5,72,还可看出,+0,=84,12,=72,=,D,+36,=,24,+60,=72,=,D,行列式为某一行元素乘以对应代数余子式之和,+84,=,12,24,=72,=,D.,以及,行列式也为某一列元素乘以对应代数余子式之和,例,2,证明,主对角行列式,用数学归纳法证明,课堂练习,计算下三角行列式、副对角行列式。,1.1.2,性质,：,性质,1,：,D,=,D,转置,，值不变,D,为,D,的转置行列式,性质,2,：,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,例,3,计算行列式,行列式基本计算公式,行列式定义,性质,3.,（,i,）,数 乘,性质,3.,（,ii,）,加法,性质,3,之推论,1,=0,某行为,0,，值为,0,例,4.,证明：,性质,4.,行列式中两行对应元素相等，值为,0.,即,某两行相等，值为,0,性质,4,之推论,2,=0,某两行成比例，值为,0,某行倍加到另一行，值不变,性质,5.,行列式中，某行元素数乘,k,，加到另一行的对应元素上，值不变,.,即,例,5.,计算行列式：,性质,6.,行列式中交换某两行或两列，行列式仅改变符号,.,即,两行,/,列互换，值为负,