在职工程硕士GCT_数学__第14章行列式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,行列式,向量,线性方程组,矩阵,矩阵的特征值和特征向量,第,1,章 行列式,（,特定的算式,）,一、行列式的概念,二、行列式的性质,三、行列式的计算,第,1,章 行列式,一、行列式的概念,1.,2,阶和,3,阶,行列式,行列式的,元素,行列式的,主,对角线,行列式的,次,对角线,例,共,3!,项的代数和,2.,n,阶,行列式,共,n!,项的代数和,特别,：,一阶,行列式,3.,几种,特殊,的行列式,（对角,行列式）,（上三角,行列式）,（下三角,行列式）,例,特别：,二、行列式的性质,设,的,转置行列式,：,1,、,即行列式与其转置行列式相等。,2,、,即,提公因子。,推论,：如果行列式中某行（列）元素,全,为,0,，,则此行列式的值为,0,。,3,、,若,互换,行列式的,任意,两行（列），则行列式,的值,改变符号,。,推论,1,若行列式中有两行（列）元素,完全相同,，则此,行列式的值为,0,。,推论,2,若行列式中有两行（列）元素,成比例,，则此,行列式的值为,0,。,例,设行列式,则行列式,（）,C,A.,B.,C.,D.,（,04,年,）,4,、,行列式中把某一行（列）的 倍,加到,另一行,对应,元素上，行列式的,值,不变,。,例,5,、,（对,列,也有同样的性质）,例,计算行列式,解,原式,（,多种方法,）,补,如果 则,的值为（）,.,解,法一,原式,A.,B.,C.,D.,C,解,法二,用性质,4,，把,相同的部分抵消掉,补,不恒为零的函数,（）,A.,没有零点,B.,至多有一个零点,C.,恰有,两个零点,D.,恰有,3,个零点,（,09,年,）,解,法一,不确定,可排除,C,，,D,若取,则 是 的,零点。,故排除,A,选,B.,B,函数,的,零点,方程,的,根,曲线,与 轴的,交点,（,的横坐标,）,（按第一列拆开）,为,一次函数,，,其图像与 轴,最多,一个交点。,法二三、行列式的计算,1.,化为,上三角,行列式,（观察,上三角行列式,列,的特点）,基本方法有两种,化为,上三角,行列式,按某行（列）展开（,降阶法,）,例,计算行列式,解,原式,例,计算行列式,解,原式,提示,2,、,按某行（列）展开（,降阶法,）,元素 的,余子式,：,元素 的,代数,余子式,：,行列式中,每个元素,都有余子式、代数余子式,.,元素 的余子式、代数余子式的值与元素,本身的值无关,，而只与 所在的,位置,有关。,n,阶,行列式中，每个元素的余子式、代数余子式是,一个,n-1,阶,行列式。,例,求行列式 的第二行第一列元素的,代数,余子式,或,.,定理,行列式可按,任意,一行（列,),展开。,2,、,按某行（列）展开（,降阶法,）,（若,，则,行列式,例,1,计算行列式,解,法一,（,按第一行展开,）,原式,解,法二,（按第二行展开）,原式,例,2,计算行列式,解,原式,用此法时，通常,先,初步选定,一个,好的行（列），,先,用行列式的,性质,把选好的行（列）化为,只剩一个,元素不为零,，然后,再按此行（列）展开,。,三阶,行列式的计算一定要,非常熟练,!,总结,例,3,计算行列式,解,原式,例,4,计算行列式,解,法二,原式,例,已知四阶行列式 ，其第,3,列,元素分别为,它们对应的,余子式,分别为 ，则行列式,（）,A.,B.,C.,D.,B,解,余子式,代数余子式,推论,：,行列式中,某行元素,与,另一行,对应元素的,代数,余子式乘积之和,等于,0,.,（对列也适合）,例,（证明：,设,则,又 把 按第三行展开 得,故,补重要,设 ，则,.,解,法一,分别求出,法二,法三,可看成,补重要,设 ，则,=,（）,.,A.,B.,C.,D.,解,A,法一,分别求出,法二,提示！,3,、,应用公式,特点,：,0,元素集中在,左下角,或,右上角,。,范德蒙行列式,范德蒙行列式,补,设 ，则,.,解,（,0,元素较多，但不集中）,D,例,A.,B.,C.,D.,（）,.,解,补,（）,.,A.,B.,C.,D.,C,解,此行列式为,范德蒙行列式,补,方程 ，,根,的,个数,为（）,.,C,A.,B.,C.,D.,解,此行列式,转置,后为一,范德蒙行列式,行列式,故 方程有,4,个根,.,4,、其它行列式的计算,例,计算行列式,解,特点,：,每行元素的和都相等,原式,例,方程 的根为（）,.,A.,B.,C.,D.,C,解,每行元素的,和,都相等,行列式,方程的根为,.,例,行列式,解,特点,：,每行元素的,和,都相等,（）,.,A.,B.,C.,D.,C,例,设 是方程 的三个,根,，,解,则行列式 的值等于（）,.,A.,B.,C.,D.,B,（,05,年,）,关键求出,经观察知，是方程 的根,不妨设,则另两根的,和,为：,故,从而行列式的值为,0.,法一,法二,是方程 的三个根,比较系数 得,故 行列式的值为,0.,例,行列式,展开式,中的,常数项,为,（）,D,（,07,年,）,A.,B.,C.,D.,解,设,在上式中，令 得,例,行列式 展开式中 的,系数,A,（,03,年）,A.,B.,C.,D.,是（）,.,解,法一,（,解此类题的常用方法,）,(,展开 想象,),+,行列式,故 的系数为,2.,法二,展开式中含 的项即,次对角线上元素的乘积,.,补,方程 的,实数根,的,个数,是（）,.,B,A.,B.,C.,D.,解,行列式,第,2,、,3,列均减去第一列，并,方程只有一个实根。,常数！,补,方程 的,实数根,的,个数,是（）,.,A,A.,B.,C.,D.,无实数根,解,第,2,、,3,列均减去第一列,行列式,方程有一个实根。,补,当 时，计算 阶行列式,特值代入法 选项验证法,的值为（）,.,A,A.,B.,C.,D.,解,当 时，,经,验证,选,A.,补,阶行列式,特值代入法 选项验证法,（）,.,B,A.,B.,C.,D.,解,当 时，,经,验证,选,B.,