第03章 平面问题的直角坐标解答_2010-习题课.ppt

习题课,习题课例题,1,例,1,：,如图所示，矩形截面简支梁（,l,h,），,宽度为,1,，体力不计。试用如下应力函数求应力分量：,习题课例题,1,解：已知应力函数，考虑用逆解求解此问题。,（,1,）考察所假设的应力函数是否满足相容方程,代入应力函数，得,由此得,于是应力函数可改写为,习题课例题,1,（,2,）,由应力函数求应力分量,（,3,）考察边界条件，并求待定系数,在主要边界,y,=,h,/2,上，应精确满足式（215）：,习题课例题,1,上式要恒成立，则必须满足：,代入,应力式，有,(,1),(,2),(,3),(,4),习题课例题,1,在,次要边界,x,=0,上,，只给出了面力的主失量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分边界条件代替：,结合方程,(4),：,由此得,：,(5),解得,：,将所求参数代入应力表达式即可。,习题课例题,1,例,2,：,如图所示，矩形截面长柱体（长度,h,远大于深度,2,b,），,宽度为,1,，远小于深度和长度，在顶部受集中力,F,和力矩,M,=,Fb,/2,作用，体力不计。试用如下应力函数：,求解：,（,1,）分析该问题能简化成什么平面问题？,（,2,）求应力分量；,（,3,）设,A,点无位移且过它的垂直线段转角为,0,，试求位移分量；,习题课例题,2,解：,1,、由题意知该弹性体为等厚度板，所受外力平面于板面长度，沿板厚方向均匀分布，板面上无外力作用，因此该问题能简化为平面应力问题。,2,、求应力分量,已知了应力函数，考虑用逆解求解此平面应力问题。,（,1,）考察所假设的应力函数是否满足相容方程,经验证，它是满足相容方程的。,习题课例题,2,（,2,）,由应力函数求应力分量,（,3,）考察边界条件，并求选定系数,在主要边界,x,=,b,上，应精确满足式（215）：,自然满足。,习题课例题,2,在,次要边界,y,=0,上,，只给出了面力的主失量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分边界条件代替：,由此得,：,代入得,：,习题课例题,2,3,、求位移分量,（,1,）该问题为平面应力问题，首先将所求应力分量代入平面应力问题的物理方程(2-12),习题课例题,2,（,2,）由应变求位移，代入几何方程(2-8)：,前两式分别积分，可得,代入几何方程第三式，并整理可得,习题课例题,2,等式左右两边分别为,y,和,x,的函数，要想对于所有的,y,和,x,均成立，只可能两边都等于同一常数,w：,分别积分，可得,习题课例题,2,代入位移分量公式，并整理可得,其中表示刚体位移量的常数,u,0,，,u,0,和,w,，须由约束位移条件确定。,习题课例题,2,由已知有,A,点不移动，且过该点的垂直线段不转动。有如下约束位移条件：,将位移分量代入，可求出三个待定常数,习题课例题,3,例,3,：习题3,5,解：按半逆解法的步骤进行求解。,(1)假定应力分量的函数形式；,假设,或假设,习题课例题,3,(2)由应力推出应力函数的一般形式,对,y,积分可得,其中有二个关于,x,的待定函数。,将应力分量代入应力公式(2-24)，有,习题课例题,3,(3)由相容方程求应力函数；,上述一次方程对所有,y,均应满足，故其系数和自由项均必须为0,将上步所得,应力函数的一般形式,代入相容方程，整理后有,习题课例题,3,由上述二个方程可求得二个待定函数的一般形式：,根据第一节内容，应力函数中的一次式不影响应力分布，故应力函数式中与应力分布无关的一次式可忽略，有,习题课例题,3,(4)由应力函数求应力分量,其中的,5,个待定常数由边界条件来确定。,将应力函数,f,代入应力公式(2-24)，,f,x,=0,，,f,y,=,r,g,，,可得应力分量：,习题课例题,3,(5)考察边界条件，利用边界条件确定待定系数,将应力分量在相应边界处的值代入上述条件，有,首先考察左右两边的主要边界条件：,(,1),(,2),习题课例题,3,其次考察次要边界,y,=0,的边界条件,(,3),(,4),(,5),由于此边界上均没有任何面力，这就要求当,y=,0,时，对于任何,x,值，均有,s,y,=0,t,xy,=0,。由,应力公式,知，这是不可能的，除非式中的,A=B=C=E=F=,0,。,为此，应用圣维南原理，只能要求此部分边界上合成的主矢量和主矩为,0,。对于上边界，有习题课例题,3,将,(1)(5),联立求解，得：,综上所述，将各待定常数代入，可得应力分量的最终解答为：,习题课例题,4,例,4,（习题,3-11,）,：,挡水墙密度为,r,1,，,厚度为,b,，,水密度为,r,2,，如,3-11,图所示，试求应力分量。,习题课例题,4,解：按半逆解法的步骤进行求解。,(1)假定应力分量的函数形式；,由应力边界条件，可假设在区内,s,y,沿,x,方向是一次式变化，,即,习题课例题,4,(2)由应力推出应力函数的一般形式,对,x,积分可得,其中有三个关于,y,的待定函数。,将应力分量代入方程(2-24)，有,习题课例题,4,(3)由相容方程求应力函数；,上述二次方程对所有,x,均应满足，故其系数和自由项均必须为0,将上步所得,应力函数的一般形式,代入相容方程，整理后有,习题课例题,4,由上述三个方程可求得三个待定函数的一般形式：,根据第一节内容，应力函数中的一次式不影响应力分布，故上述各式中与应力分布无关的一次式均已忽略。,习题课例题,4,(4)由应力函数求应力分量,其中的,9,个待定常数由边界条件来确定。,将应力函数,f,代入应力公式(2-24)，,f,x,=,r,1,g,，,f,y,=0,，,可得应力分量：,习题课例题,4,(5)考察边界条件，利用边界条件确定待定系数,首先考察左右两边的主要边界条件：,其次考察次要边界,x,=0,的边界条件,应用圣维南原理，此部分边界上合成的主矢量和主矩为,0,，有:,习题课例题,4,将应力分量代入所有应力边界条件，联立求解，得：,综上所述，将各待定常数代入，可得应力分量的最终解答。,课后作业,作业,3,：,如图所示，矩形截面柱体承受偏心载荷,F,作用，不计柱体自身重量，试解答如下几个问题：,（,1,）判断此问题属于哪一类平面问题，并说明理由；,（,2,）假设应力分量,s,x,=0,，求该问题的应力分量和应变分量；,（,3,）假设,O,点不移动，且该点截面内的垂直和水平微分线段不能转动，求其位移分量。,