材力讲稿第4章弯曲强度4.2.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,TSINGHUA UNIVERSITY,第四章 弯曲强度,材料力学,平面弯曲,外力,作用在梁的,纵向对称平面,内，,使梁的,轴线弯曲后仍在此对称平面内的弯曲变形,即：,平面弯曲,轴线的弯曲平面与外力的作用平面重合,的弯,曲形式,几个概念,剪力方程,弯矩方程,剪力随横截面变化的函数表达式,弯矩随横截面变化的函数表达式,剪力,(,F,S,),与横截面的法向垂直的内力,剪力图,弯矩图,剪力随横截面的变化曲线,弯矩随横截面的变化曲线,弯矩,(,M,),横截面上的内力偶矩,剪力与弯矩,梁的内力,二、符号规定,剪力与弯矩,梁的内力,剪力与弯矩,的正负号规则,剪力,F,S,一使截开部分梁段产生顺时针方向转动趋势者为正；逆时针方向转动者为负。,F,S,F,S,弯矩,M,使梁产生上凹、下凸变形的弯矩为正；反之为负。,剪力图和弯矩图,2,.,剪力,正,值画在,x,轴,上,方，,负,值画在,下,方。,做法：,1,.,横轴表示横截面位置，纵轴表示剪力或弯矩。,剪力图和弯矩图,3,.,弯矩,正,值画在,x,轴,下,方，,负,值画在,上,方。,弯矩图在受拉边,!,作,剪力图和弯矩图,的方法：,1,.,列方程法,2,.,叠加法,3,.,控制点法？,剪力图和弯矩图,M,x,_,ql,8,2,即：,弯矩,二,分布载荷集度,弯矩,一,力,剪,由此得到,x,截面上的,剪力,对,x,的,一,阶导数,x,截面上的,分布载荷集度,F,S,、,M,和,q,之,间的微分关系,梁,的平衡微分方程,剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系,弯矩图,凹凸性取决于该截面处的分布载荷集度,弯矩图,切线斜率,力,剪,剪力图,上,x,截面处的,切线斜率,该截面处的,分布载荷集度,即：,由此得到,F,S,、,M,和,q,之,间的微分关系,梁,的平衡微分方程,剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系,微分关系对应表,q,(,x,)=0,q,(,x,)=,q,=,q,x0,d,F,(,x,),d,x,=,q,q,0,q,0,q,0,F,=0,F,0,水平线,斜直线,斜直线,抛物线,极小值,抛物线,极大值,M,x,M,图,q,图,F,图,常量,S,S,d,F,(,x,),d,x,S,S,S,S,S,S,剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系,二、突变条件,q,x,F,x,M,x,M,图,q,图,F,图,F,F,F,F,S,S,M,e,M,e,M,e,M,e,突变条件对应表,剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系,控制点法,画剪力图与弯矩图主要步骤：,根据载荷及约束力的作用位置，,确定控制点,(,面,),。,确定控制面上的剪力和弯矩数值,(,假定剪力和弯矩都为正方向,),。,建立,F,S,一,x,和,M,一,x,坐标系，并将控制点,(,面,),上的剪力和弯矩值,标在相应的坐标系中,。,应用平衡微分方程,确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状,，进而画出剪力图与弯矩图。,剪力图与弯矩图,第,四,章 弯曲强度,如何确定控制面上的剪力和弯矩数值？,剪力图与弯矩图,第,四,章 弯曲强度,法一：,截面法,法二：,积分关系、突变条件,法一：,截面法,前面已经讲过。,剪力图与弯矩图,第,四,章 弯曲强度,法二：,积分关系、突变条件,通过平衡微分方程的积分确定弯矩图上极值点处的弯矩数值。,A,B,任一段梁上，,剪力增量等于,q,图的面积；,弯矩增量等于剪力图的面积F,s,【,例,4.8】,q,B,A,D,a,4,a,qa,F,Ay,F,By,试画出：,其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。,解：,1,确定约束力,根据梁的整体平衡，由,求得,A,、,F,二处的约束力,剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,法一：,截面法,q,B,A,D,a,4,a,qa,F,Ay,F,By,C,O,x,F,S,O,x,M,解,：,2,确定控制面,由于,AB,段上作用有连续分布载荷，故,A,、,B,两个截面为控制面，约束力,F,By,右侧的,C,截面，以及集中力,qa,左侧的,D,截面，也都是控制面。,3,建立坐标系,建立,F,S,x,和,M,x,坐标系,剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,qa,q,B,A,D,a,4,a,F,Ay,F,By,O,x,F,S,O,x,M,9,qa/,4,a,7,qa/,4,b,d,qa,c,qa,a,d,b,c,qa,2,解,：,4,确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在,F,S,x,和,M,x,坐标系中。,剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,C,qa,q,B,A,D,a,4,a,F,Ay,F,By,O,x,F,S,O,x,M,c,qa,9,qa/,4,a,7,qa/,4,b,d,qa,a,d,b,c,qa,2,5,根据微分关系连图线,对于剪力图,：在,AB,段，因有均布载荷作用，剪力图为一斜直线，于是连接,a,、,b,两点，即得这一段的剪力图；在,CD,段，因无分布载荷作用，故剪力图为平行于,x,轴的直线，由连接,c,、,d,二点而得，或者由其中任一点作平行于,x,轴的直线而得。,剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,C,q,B,A,D,a,4,a,qa,F,Ay,F,By,O,x,F,S,O,x,M,5,根据微分关系连图线,对于弯矩图：,在,AB,段，因有均布载荷作用，图形为二次抛物线。又因为,q,向下为负，弯矩图为凸向,M,坐标正方向的抛物线。于是，,AB,段内弯矩图的形状便大致确定。为了确定曲线的位置，除,AB,段上两个控制面上弯矩数值外，还需确定在这一段内二次抛物线有没有极值点，以及极值点的位置和极值点的弯矩数值。从剪力图上可以看出，在,e,点剪力为零。,9,qa/,4,a,7,qa/,4,b,d,qa,a,d,b,c,qa,2,c,qa,e,e,E,剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,C,q,A,E,x,E,6,确定弯矩图极值点的位置,q,B,A,D,a,4,a,qa,F,Ay,F,By,O,x,F,S,O,x,M,9,qa/,4,a,7,qa/,4,b,d,qa,a,d,b,c,qa,2,c,qa,e,e,E,e,81,qa,2,/32,e,E,剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,C,O,x,F,S,O,x,M,q,B,A,D,a,4,a,qa,F,Ay,F,By,9,qa/,4,a,7,qa/,4,b,d,qa,a,d,b,c,qa,2,c,qa,e,81,qa,2,/32,e,E,7,确定,剪力与弯矩的最大绝对值,剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,C,O,x,F,S,O,x,M,q,B,A,D,a,4,a,qa,F,Ay,F,By,9,qa/,4,a,7,qa/,4,b,d,qa,a,d,b,c,qa,2,c,qa,e,81,qa,2,/32,e,E,注,意到在右边支座处，由于约束力的作用，该处,剪力图有突变,（支座两侧截面剪力不等）,弯矩图在该处出现折点,（弯矩图的曲线段在该处的切线斜率不等于斜直线,cd,的斜率）,剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,C,x,F,S,x,qa/,2,qa/,2,F,S,F,S,q,q,M,x,M,x,q,q,【,例,4.9】,剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,法二：,积分关系、突变条件,q,q,q,q,x,F,S,x,F,S,qa,F,S,M,x,M,x,qa,2,/,2,qa,2,F,S,q,q,【,例,4.,10】,剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,法二：,积分关系、突变条件,q,q,F,S,【,例,4.,11】,第四章 弯曲强度,剪力图与弯矩图,法二：,积分关系、突变条件,剪力图与弯矩图的绘制方法小结：,根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。,确定控制面上的剪力和弯矩数值,(,截面法、积分关系、突变条件,),。,建立,F,S,一,x,和,M,一,x,坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。,应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。,剪力图与弯矩图,第四章 弯曲强度,刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,B,简单刚架的组成,横梁、立柱与刚节点。,立柱,刚节点,横梁,刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,刚架,若干杆件通过刚性连接而成的结构。,面内载荷作用下，刚架各杆横截面上的内力分量,轴力、剪力和弯矩。,特 点,内力分量的正负号与观察者位置的关系：,轴力的正负号与观察者位置无关；,剪力的正负号与观察者位置无关；,弯矩的正负号与观察者位置有关。,刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,轴力的正负号与观察者位置无关,刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,剪力的正负号与观察者位置无关,F,S,F,S,刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,弯矩的正负号与观察者位置有关,刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,刚架内力图的画法,(1),无需建立坐标系；,(2),控制面、平衡微分方程；,(3),弯矩的数值标在受拉边,;,(4),轴力、剪力画在里侧和外侧均可，,但需标出正负号；,(5),注意节点处的平衡关系。,刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,节点处的平衡关系,F,N,F,S,F,N,F,S,M,M,F,N,F,S,F,N,F,S,B,M,M,刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,【,例,4.12】,已知平面刚架上的均布载荷集度,q,长度,l,。,B,试：,画出刚架的内力图。,刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,B,解：,1,、确定约束力,ql,刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,B,ql,解：,2,、确定控制面。,B,B,A,C,刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,B,A,B,A,解：,3,、确定控制面上的内力。,F,S,(,B,),F,N,(,B,),M,(,B,),考察立柱,AB,的平衡,刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,B,B,C,解：,3,、确定控制面上的内力。,F,N,(,B,),F,S,(,B,),M,(,B,),考察 横梁BC,的平衡,刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,解：,4,、画剪力图和弯矩图。,ql,a,b,a,b,c,b,将控制面上的剪力和弯矩分别标在,F,S,和,M,坐标中。,根据微分关系连图线。,剪力图标上正负号。,弯矩图画在受拉的一侧。,b,c,刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,解：,4,、画轴力图。,将控制面上的轴力标在,F,N,坐标中。,连图线。,b,a,b,c,根据轴力的拉、压性质，在图上标上正负号,。,刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,F,N,F,S,qa,2,/,2,qa,2,/,2,【,例,4.13】,刚架的内力与内力图,第四章 弯曲强度,弯曲内力,讨论,第四章 弯曲强度结论与讨论,第四章 弯曲强度,关于弯曲内力的几点,重要结论,平衡微分关系的灵活应用,怎样快速而正确地确定控制面上的剪力和弯矩,一个重要概念,三个微分方程,一套方法,关于弯曲内力的几点,重要结论,结论与讨论,第四章 弯曲强度,确定控制面上剪力和弯矩有几种方法？怎样确定弯矩图上极值点处的弯矩数值？,结论与讨论,第四章 弯曲强度,怎样快速而正确地确定控制面上的剪力和弯矩,q,q,确定控制面上剪力和弯矩有几种方法？怎样确定弯矩图上极值点处的弯矩数值？,结论与讨论,第四章 弯曲强度,法一：,截面法,法二：,积分关系,突变条件,第,四,章 弯曲强度,通过平衡微分方程的积分确定弯矩图上极值点处的弯矩数值。A,B,任一段梁上，,剪力增量等于,q,图的面积；,弯矩增量等于剪力图的面积。,F,s,结论与讨论,平衡微分关系的灵活应用,根据梁的剪力图和弯矩图能不能确定梁的受力，能否确定梁的支承性质与支承位置？,只给定梁的剪力图能不能确定梁的受力，能不能确定梁的支承性质与支承位置？答案是否具有唯一性？由给定的剪力图能否确定弯矩图，答案是否唯一？,结论与讨论,第四章 弯曲强度,平衡微分关系的灵活应用,纯弯曲梁的正应力,第四章 弯曲强度,一、纯弯曲与横力弯曲的概念,二、纯弯曲梁的正应力,三、横力弯曲梁的正应力,纯 弯 曲,横力弯曲,横截面上只有,M,、,没有,F,S,的弯曲,横截面上既有,M,、,又有,F,S,的弯曲,F,F,F,S,Fa,M,一、纯弯曲与横力弯曲的概念,纯弯曲梁的正应力,1.,实验分析,二、纯弯曲梁的正应力,纯弯曲梁的正应力,纯弯曲梁的正应力,1.,实验分析,纵向线,:,变形现象：,上层纤维缩短，下层纤维伸长,仍为直线，相对旋转了一角度,弯成了相互平行的弧线，仍与横向线垂直,二、纯弯曲梁的正应力,横向线,:,纯弯曲梁的正应力,纯弯曲梁的正应力,平面假设,假设：,(,2,),纵向线处于简单拉伸或压缩状态,单向受力假设,(,1,),横截面变形后仍为平面，且仍垂直于梁的轴线,(,3,),同一高度上的纵向线的变形相同,横截面上只有正应力,横截面上同一高度的正应力相等,平面假设,纯弯曲梁的正应力,中性层,中性轴,既不伸长、也不缩短的纵向层,横截面,弯曲时各横截面绕其中性轴旋转,中性轴,横截面与中性层的交线,两个名词：,中性层,纯弯曲梁的正应力,2.,公式推导,(,1,),变形几何学方面,(,2,),物理学方面,纯弯曲梁的正应力,中性层曲率半径,(,3,),静力学方面,z,轴必须通过横截面的形心,对称图形,I,yz,0,自然满足,EI,z,梁的,抗弯刚度,，,反映梁抵抗弯曲变形的能力,纯弯曲梁的正应力,或,横截面上的正应力,与横截面的形状和尺寸有关，,单位：,m,3,抗弯截面系数,最大正应力,纯弯曲梁的正应力,常用截面,W,z,：,纯弯曲梁的正应力,三、横力弯曲梁的正应力,在横力弯曲情况下：,横截面上既有正应力，又有切应力,可按纯弯曲梁的正应力公式计算横力弯曲梁的正应力,横截面将发生翘曲，不再保持为平面,精确的分析表明：,当 时,纯弯曲梁的正应力,纯弯曲梁的正应力,【,例,4.14】,求,1,-,1,截面上,D,与,E,点的正应力以及梁的最大正应力。,解：,1,.,D,与,E,点的应力,解：,F,(,kN,),8,12,S,2,.,梁的最大应力,M,(,kN,m),12,.,纯弯曲梁的正应力,【,例,4.14】,求,1,-,1,截面上,D,与,E,点的正应力以及梁的最大正应力。,