1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,8,*,厄米算符,厄米算符,1/31/2026,1,8,力学量的测量结果,当系统处于某个量子态时，测量力学量,A,将可能得到各种不同的结果，每种结果都有确定的出现概率。,如果对大量处于这种状态的系统进行多次测量，所得结果的平均值将趋于一个确定的极限值：,由于,A,是厄米算符，这个极限值必定是实数。,每一次测量的结果必定围绕平均值涨落。涨落被定义为,由于,A,的平均值是实数，,也是厄米算符。,如果体系处于这样一种状态，测量,A,所得的结果是一个确定的值，则测量值的涨落,这样的状态叫做力学量,A,的本征态。,1
2、/31/2026,2,8,力学量的本征态,当系统处于力学量,A,的本征态时，,这意味着被积函数必须等于零：,这个平均值其实是一个确定的值，通常记为,叫做,A,的,一个本征值，对应的态是,A,的一个本征态，记为,上述方程构成算符,A,的本征方程：,量子力学有一个基本假定：测量力学量,A,时所有可能得到的结果，都是相应的线性厄米算符的本征值。,当系统处于,态时，每次测量的结果都是,由于厄米算符的平均值必定是实数，因此，厄米算符的本征值必定是实数。,1/31/2026,3,8,本征态的正交性,如果系统的力学量,A,有两个属于不同本征值的本征态，,假定这两个本征态的标积存在：,厄米算符的属于不同本征值
3、的本征函数彼此正交。,如果所考虑的本征函数是归一化的，则有：,正交归一性可以统一写成,1/31/2026,4,8,角动量的本征值问题,在球坐标系下考虑角动量的,z,分量的本征值问题。,周期性边条件,1/31/2026,5,8,平面转子的能量本征值问题,考虑绕,z,轴转动的平面转子，其哈密顿量为：,对应于一个能量本征值,有两个不同的本征态,这种多个本征态对应于同一个本征值的情况叫做简并。,平面转子的能量本征态是二重简并的。,1/31/2026,6,8,动量的本征值问题,在直角坐标系下考虑动量的,x,分量的本征值问题。,如果粒子的位置不受限制，动量本征值可以取一切可能的实数值，并且连续变化。而本征函数不能归一化：,不过，不同本征值的波函数却是正交的：,定义如下函数,并取“归一化”系数,动量本征函数按以下方式归一化,1/31/2026,7,8,自由粒子的能量本征值问题,当粒子沿直线自由运动时，其哈密顿量为：,对于自由运动，能量本征值可以取一切非负的实数值。,对应于一个非零的能量本征值,有两个不同的的本征态,粒子做自由运动时的能量本征态是二重简并的。,1/31/2026,8,8,
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